毕业论文--基于时频分析的微震信号识别与分析.docx

第 50 页 共 50 页湖南大学毕业设计（论文）摘要进入二十世纪以来，电子技术的发展使微震信号的识别与分析成为可能，在国外，发达国家很早就开始了检测系统的研究并且在技术方面也日臻成熟，微震检测早已成为其采矿安全管理环节必不可少的一部分。为了避免采矿安全事故，以及预防地震、滑坡等自然灾害，则需要利用合理的手段监测微震信号，必须首先建立微震信号分析系统，对微震信号进行正确的检测、分析和分类，以达到目的。本文基于小波变换以及HHT变换两种方式分别对微震信号进行识别与分析。首先，系统而简要的介绍了微震现象以及其理论基础，对不同的微震信号进行分类、定义以及探究其产生的原因。采用小波变换进行分析，利用其良好的时频局部化分析，通过变化突出微震信号的特征。其次，针对微震信号监测以及其信号中存在的干扰，利用HHT变换对非线性及非平稳 信号有较好的分析和处理效果通过HHT变换，对微震信号进行经验模态分解，再对本征模态函数进行希尔伯特变换，从而进一步得到该信号的希尔伯特谱、时频能量谱等，以便对微震信号进行分析。 关键词：微震信号；干扰信号；分析；小波变换；HHT变换目 录1 绪论41.1背景及研究意义41.2国内外研究及应用动态41.3存在问题51.3.1小波变换在微震信号分析中的应用61.3.2 HHT变换在微震信号分析中的应用61.4本文所做工作72 微震信号的分析办法92.1非平稳信号92.1.1短时傅立叶变换92.1.2 Wigner-Ville分布102.1.3小波变换102.1.4 HHT变换112.2 小结123 小波变换基础理论133.1小波变换理论的发展133.2小波变换基础理论133.2.1傅里叶变换133.2.2小波分析理论143.2.3连续的小波变换153.2.4离散小波变换163.2.5二进小波变换173.2.6连续小波变换、离散小波变换和二进制小波变换的区别173.2.7多分辨率分析183.2.8 Mallat算法203.3常用小波基函数介绍及应用性能分析223.3.1小波基函数的选取223.3.2小波分解层数的确定233.3.3 仿真分析253.4 小结294 HHT变换理论基础294.1 HHT变换发展294.1.1 HHT变换的发展应用294.2 HHT方法原理304.2.1瞬时频率304.2.2固有模态函数314.2.3经验模态分解324.2.4 Hilbert变换344.3 基于HHT变换的微震信号仿真374.4总结455 总结与展望465.1总结465.2展望47致 谢48参考文献49附 录501 绪论 1.1背景及研究意义微震信号（Microseismic signal）是现代采矿业以及灾害监控部门历来所重视的问题。早期受制于技术及成本的原因，微震信号的检测技术并不能满足社会的需要，进入二十世纪以来，电子技术的发展使微震信号的识别与分析成为可能，但其并不受社会的青睐及重视，而在20世纪30年代，频发的矿难以及自然灾害造成的巨大损失使人们对监测系统的发展日趋关注，对于人身安全的苛刻要求使社会迫切的需要一种能够准确预报、预防灾害发生的监测系统，于此同时，人们逐渐注意到灾害、矿难发生前所产生的微震信号，研究者希望通过分析山体及建筑产生的微震信号来避免人身及财产的损失，然而微震监测技术的不成熟以及高昂的成本使得其难以普及。随着现代电子技术的发展，大量电子产品的出现使得微震信号的研究及检测有了突破性的进展，而如今，微震监测系统已成为采矿安全管理环节必不可少的一部分，微震信号检测系统的应用也涉及到当今社会的各行各业。在我国，社会经济蓬勃发展，安全问题日益凸显，而对于微震信号的研究与检测可以进一步改善矿产开采、建筑桥梁建设、地质灾害监控以及预防等行业的现状，并对其产生促进作用，这对于国家的经济发展有着极大地意义。 1.2国内外研究及应用动态大部分材料在承受荷载时都会产生能量的积攒与释放这一现象。其在外部作用力的影响下，北部很有可能产生局部弹塑性能集中，而随着能量积聚到某一极限值，其产生的微裂隙将会逐渐扩大，此时的弹性波或应力波也会随着微裂隙的扩大而在其周围的岩体进行快速释放与传播。同时，对于体积较大的岩体，这种弹性波的或应力波的释放过程，其高频信号的衰减过程极为快速，所监测得到的数据频率比较低，但含有能量却比较大，我们将频率在20到200HZ的信号称之为微震信号；但对于体积较小的岩体来说，其产生波的频率值大于200HZ，同时含有能量较小，我们称这种波为声发射波（Acoustic Emission，简称为AE），由于二者大部分性质具有相似性，故人们为了避免概念上的混淆，通常将实验室和开采现场的这种较大程度上的能量释放称之为微震。微震信号研究这一课题的重要性及迫切性吸引了国内外众多学者的目光，上世纪90年代，各国在地质微震监测技术上得到突破性的进展：美国科研工作者通过冲击压力的实验证明了微震成像技术的可能性；在英国，该国机构通过对地震源力学、微震成像技术、岩石学三方面的研究进而研究出宏观岩石破裂探测技术；在澳大利亚，研究人员通过大量实验，研制了更具时代特征、更加精密的微震检测设备，其应用了较为成熟的灵敏传感设备和监测分析软件系统，并在实际微震灾害的监测、预警、治理、抢救方面取得了广泛的推广及应用。在国内微震检测技术发展较为迅速，特别是在大型油气开采、矿石开采及海关检测方面。在1959年北京市门头沟矿山首次采用由中科院改装研制的581微震设备来探测矿山内部冲击地压的活动情况。2008年，心跳微震系统首次应用于深圳，用于检测集装箱内的生命痕迹，该系统通过在集装箱外感应收集生命的心跳跳动频率波形判断是否有生命在集装箱内，该系统是世界最为领先的检测系统，目前已被广泛应用于加强进出口口岸、保卫码头等方面。 1.3存在问题20世纪末，随着微震监测技术的大量应用，为科研工作者的研究积累了大量的科学依据，很多地质、建筑、自然灾害为题得到了一定上的预防和治理。可以说，通过对微震信号的监测与分析进而判断灾害发生的地理区域取得了极大的进展，但微震的分析与监测仍存在亟待解决的问题。第一，无法准确判断灾害发生的地理位置和具体时间。尤其是在预警微震时间上很难再微震信号的分析中得出准确的答案。然而对于一种灾害的预防监控体系，确切的时间与地点永远是人们最为关注的。第二，在微震信号的采集过程中伴随着干扰信号，如何更加有效率的分辨、剥离干扰信号是研究的一大难题，同时，如何在信号传输过程中保证信号的完整与不失真，并能够同时完成信号的告诉传输也是面临的问题。 1.3.1小波变换在微震信号分析中的应用小波分析是当今数学中一个发展迅速的新学科，它具有理论深刻和应用十分广泛的特点。而小波变换则是将小波分析的理论研究与实践紧密相结合，现如今，它已在科技信息领域取得了瞩目的成就。小波变换的一大应用便是信号处理，信号处理的主要目的是：准确的分析、判断、编码压缩和量化以及快速的传递或储存。而小波变换中的许多分析应用都可以归结为信号处理问题，对于分析性质随时间是非稳定的信号，小波分析的效果要优于现今最为常用的傅里叶变换。而微震信号确是一种不稳定的低频信号，通过小波变换的伸缩平移等运算功能可以更加细致的对微震信号使用多尺度的细化分析，解决了傅里叶变换所所不能解决的问题，同时小波变换在信号的去噪、识别、分类、传递等方面具有优势，这无疑是符合微震信号的分析。事实上小波变换在数学应用领域十分广泛，包括：数学领域内的诸多学科、量子力学、图像处理、信号分析、应用物理、声音人工合成、医学成像和诊断、地震预测、矿山和油井安全数据分析、机械故障诊断等方面。 1.3.2 HHT变换在微震信号分析中的应用1998年，美籍华裔科学家Norden.E.Huang等人提出了一种新的处理非平稳信号的方法HilbertHuang变换（简称HHT变换），HHT变换是一种两步骤的信号处理方法，首先，采用经验模态分解（Empirical Mode Decomposition,简称EMD）的办法获得有限个固有模态函数（Intrinsic Mode Function，简称IMF,也称作本征模态函数）然后对每一个IMF进行HHT变换和瞬时频率的方法得到Hilbert谱，其中最为关键的EMD方法，此方法从本质上来讲是对信号进行平稳化处理，其结果是将信号中真实存在的不同尺度波动或趋势逐级进行分解，产生一系列具有不同尺度特征的数据序列。通过将EMD方法和Hilbert结合，产生的HHT变换，其最大特点在于引入了IMF分量，并赋予复杂数据以振动模式瞬时频率这一物理意义，通过求取瞬时频率，可以清晰的定义波间及波内的频率调制，这两种频率调制在傅里叶变换中是难以分辨的，而在小波变换中也只能模糊的分辨出波间频率调制。波间和波内频率调制的提出，对非平稳与非线性的信号给出了更为深刻的认识。同时，因为HHT变换是基于信号本身进行特征尺度分析，所以其具有自适性，可以用于分析各种数据，例如：生物心电信号、脑电信号分析、海洋潮汐、地震信号、建筑工程等领域，可以预见，在未来，HHT变换定将在更多的领域发挥更大的作用。1.4本文所做工作针对上述情况，如何对微震信号进行有效的检测、分析和分类是对其进行定位监测的前提条件。为此本文主要完成的了以下几方面工作：1. 提出了基于小波变换的微震信号分析的方法阐述了小波变换的理论、性质和小波变换的时频多分辨分析的实质。在对小波变换性质进行详细讨论的同时，利用MATLAB语言编写计算程序，实现小波变换在非稳定信号的检测分析以及应用。2. 提出了基于HHT变换的微震信号的分析方法阐述了HHT变换的理论、性质特点，描述HHT分析方法的具体实现过程，同时利用HHT时频响应函数准确识别微震信号，并通过实测数据证明HHT变换对微震信号的分析是有效的。3.总结结论最后，总结本文结论，简单对比两种方法对于分析微震信号的优劣，并指出在微震信号的检测分析、分类识别等方面，应用HHT方法将对今后研究有着更大的作用。 谐波分析 微震信号分类 微震信号分析 控制策略 信号采集 数据压缩与去噪 传送到控制分析中心图1.1 微震信号分析流程图2 微震信号的分析办法 2.1非平稳信号 微震信号属于非平稳信号，非平稳信号指的是参数分布或者分布律随时间发生变化的信号。当然，平稳信号和非平稳信号都是针对随机信号而言，一般的分析方法有时域分析、频域分析、时频联合分析等。而目前较典型的处理非平稳信号的时频方法有短时傅立叶变换、Wigner-Ville时频分布、小波分析变换和HHT变换等。但其方法均存在缺陷，我们对常规的非平稳信号的时频分析方法分别做阐述。 2.1.1短时傅立叶变换短时傅立叶变换的发展是建立在在传统傅立叶变换基础之上的，它是研究非平稳信号最为直接的方法。其基本思想是将信号划分成许多小的时间间隔，假设信号在这些时间间隔内是平稳的，利用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定在那个时间间隔内所存在的频率。这些频谱的总体就表示了频谱在时间上的变化情况。可以说，短时傅里叶变换就是在傅立叶变换上添加时间窗，通过利用时间轴上的连续滑动窗口，来获得时频分布，公式定义： （2.1） 式中，信号是解析信号，是滑动时间窗，g*表示共轭复数。但由于短时傅里叶变换是建立在傅立叶谱分析的基础之上，故需假设待分析的数据为分段平稳，然而这种假设却很难被验证。同时受到Heisenberg不确定性原理所制约，使得其在频率与时间上，分辨率无法共同达到最小，这进一步说明在实现这种方法也有实践上的困难。例如：为了得到更高的时间分辨率，那么所加的时间窗必须足够窄，如果为了得到高的频率分辨率，又需要窗口足够长，这些冲突限制了短时傅立叶变换分析方法的应用与发展。 2.1.2 Wigner-Ville分布 Wigner-Ville分布是一种最为基本，也是现代应用最多的时频分布方法。 Wigner-Ville分布有时又被称为Heiesnbger小波。其定义是中心协方差函数的傅立叶变换，信号的Wigner-Ville分布定义为： （2.2）式中，是积分变量，t是时移，*表示共轭复数。Wigner-Ville分布一定程度上克服了STFT的问题，其结果有着较高的分辨率。然而Wigner-Ville分布为双线性，有着大量的交叉项，这使得人们对信号的真实时频特征的正确分析受到了干扰。为了抑制交叉项的影响，近年来研究者又提出多种平滑的Wigner-Ville分布，这些分布统一称为Cohen类分布。而平滑方法是指在积分算数式中乘以一个核心函数： （2.3）式中，(,v)称为核心函数，当(,v)=1时，式为Wigner-Ville分布。这种平滑方法对于一定类型的信号能较好地减小交叉干扰项影响，但同时也在不同程度上降低了信号的时频分辨率。 2.1.3小波变换小波变换最初由法国物理学家Morlet于20世纪末在分析地震信号时所提出的。他在分析中发现这一类信号具有一个显著的特点：在这一类信号的分析中，在低频段必须需要有极高的频率分辨率才能够进行，而在高频段的频率分辨率，却可以比较低；与之相应的是，依据不确定性的原理，在这一类信号的分析中，在低频段可以使用比较低的时间分辨率，而在高频段则必须使用比较高的时间分辨率。根据所发现信号分析的特征，Morlet提出了小波变换的概念。 （2.4）式中，(t)为满足必须条件的小波基函数，a表示尺度因子，b表示平移因子。利用不同的a与b的值构成截然不同的小波函数。 小波变换利用基小波函数的伸缩与平移，逐渐成为了一种窗口固定，但形状可调整的局部时频分析的方法，进一步实现了频率窗与时间窗的动态调整，有着多分辨率分析的特性。其在时域与频域上同时有着较优的局部化特性，并且因为对高频部分采取了逐渐精确细分的时域或者空域步长，故能够对分析对象的任何细节进行聚焦，即低频部分拥有高频率的分辨率和低时间的分辨率，而高频部分拥有高时间的分辨率和低的频率分辨率，故被研究者称誉为“数学显微镜”。小波变换是如今数学应用领域中的一个迅速发展的方向，是非平稳信号处理与分析的一种有效的工具。 2.1.4 HHT变换希尔伯特黄变换(HHT变换)是一种新型的时频分析方法，可以进行非平稳、非线性信号线性化与平稳化的处理，其被研究者看做是现代以来，以傅立叶变换做为基础，对于稳态谱与线性进行分析的重大发现。它经由经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，简称EMD)方法和Hilbert变换(Hilbert Transform)两部分构成，方法核心部分为EMD分解过程。这一方法主要的创新在于创造了固有模态函数(Intrinsic Mode Function)的概念以及通过将任意的信号分解成为IMF的方法EMD方法的提出，IMF的引入，使瞬时频率有了实际物理意义，不再受Fourier分析所限制，能够通过依据数据本身具有的时间尺度特征来使用经验模态分解，同时在分解的过程中保留数据本身的特性，同时再对各IMF分量进行Hilbert变换，以此来获得Hilbert谱，通过这种方式可以准确的得到信号的时频图、幅值谱和时频谱，也可同时得到包括有时间、频率、振幅在内的三维离散时频谱,其提供了清晰明确的时频特征局部细节。HHT法拥有良好的客观性与自适性，常用于描述有非线性、非平稳变化特征的信号。虽然HHT方法依赖于先验函数基的Fourier变化及小波等分析方法，但其对于处理非平稳信号更为有效，是更具普适性的时频局部化分析方法。 2.2 小结本章主要对微震信号的主要性质以及主要分析方法类型进行了介绍，这是采取合适方法分析微震信号的基础。微震信号属于非平稳信号，且出现时间短暂，具有突然性，持续时间不确定，运用不同的方法对微震信号分析会有不同的结果。因此需要选择适当的非平稳信号模拟微震信号进行分析，如此才能够对微震信号进行更好的研究。3 小波变换基础理论 3.1小波变换理论的发展小波变换是现代数学一个迅速发展的新领域，其具有理论深刻、应用广泛、构造简单等特点。小波变换最初的思想来自于数学的伸缩、平移与变换的方法。小波变换最早由Haar在1910年所提出，但事实上当时并未用“小波”称呼这种新的数学方法。 1984年，法国物理学家A.Grossman率先提出了小波理论，1986年法国数学家Meyer首先将小波理论与计算机分析思想相结合，并提出了多分辨分析的概念，这使得小波变换迅速超越Fourier变换与Gabor变换，成为现今最常应用的信号信息处理运算方法，小波变换通过对于信号的伸缩与平移，对信号进行多尺度的细致分析，能够更加有效的从信号中提取所需的信息，解决了Fourier变换所不能解决的问题，而今，小波变换更被称为“数学显微镜”，被认为是调和分析发展史上的里程碑。 3.2小波变换基础理论 3.2.1傅里叶变换定义函数的连续傅里叶变换为： （3.1）F（w）的逆变换可以定义为： （3.2） 傅里叶变换是时域与频域相互转换的工具，我们可以通过傅里叶变换分析得出平稳信号的频率特征，但对于非平稳信号来说，傅里叶变换缺少对信号某一时间范围内的局部频谱分析能力，因此傅里叶变换在信号分析中存在局限性：利用傅里叶变换提取信号频谱必须用到信号的全部时域信息；傅里叶变换无法反映随时间变化的信号频率成分的情况。然而在遇到实际问题时，而你们关心的是某局部时间范围内的信号特征，例如：地震波、音波、心电图等，故在这种情况下需引入时频局部变化分析。 3.2.2小波分析理论小波变换继承于Gabor变换的局部化思想,同时又克服了Gabor变换分辨率单一、离散的正交基较少等缺点，尤其是在分析非平稳的信号时，当信号波形产生剧烈变化时，主频率为高频,那么要具有高时间分辨率时,窗口于时间轴上表示要较窄,而在波形变化较为缓的时间段,主频率为低频,则需具有高频率分辨率，窗口于频率轴上表示要较窄，然而Fourier变换与Gabor变换均无法做到类似的多分辨率分析。我们设,(t)被称为是基本小波或者函数的母小波，则： （3.3）上式为小波变换，其中a 0为尺度因子，反映的是位移,其值可为正可为负， 基本小波的位移与尺度伸缩的描述。尺度因子a的作用是把基本小波(t)进行伸缩，a越大(t/a)越宽,也就是指在不同的尺度下，小波的持续时间(即分析时段)是随着a增大而增宽的。由此可证明，小波变换的等效频域表达式为： （3.4）由此可以得出,若()为幅频特性集中的带通型函数，呢么小波变换就具有表示待分析信号X()频域上的局部特征的能力，小波变换能够得到多分辨率分析的效果。虽然在分析频率上有高低之分，但其在各分析频段内的分析品质因数保持不变，因此它能准确表示待分析信号的幅频特性。这是小波变换相比较于Gabor变换的最大优势，若希望在时域上观察得更加细致，那么就需要压缩观察范围，并提高分析频率。表1频率变化时(t)参数的变化Fourier变换的核心函数是单一的，即，但小波变换的核心函数并不唯一，小波函数(t)是多样的，小波变换在工程应用中的最为关键的问题就是选取最优小波基，使用不同的小波基分析同一个问题将会产生不同的结果。 3.2.3连续的小波变换 小波函数定义为：设是平方可积的函数，即0。4. 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。 3.2.4离散小波变换 由小波基函数定义可知，小波基函数是由小波母函数通过伸缩和平移后所得到的一组函数系列，这说明小波基是非正交的完全过渡基函数。因此，在任意函数的小波展开系数之间存在关系，即CWT系数有着极大的冗余，为了减少计算量，同时在计算机上实现算法，通常将CWT变化离散化。通常把CWT中尺度参数a和评议参数的离散化公式分别认定为： （3.9）离散小波的变换系数可表示为：C=（3.10）其逆变换为：（3.11）C是一个与信号无关的常数 3.2.5二进小波变换对小波变换进行二进制离散，即取a为离散值，jz，b仍为连续的值。我们把这种离散化后的小波称为二进小波（Dyadic Wavelet）。二进小波变换介于连续小波变换与离线小波变换。若定义函数的二进小波变换系数为：（3.12）二进小波变换的逆变换为：（3.13）二进小波对信号的分析由变焦作用。可以通过加大或缩小j的值以达到更细致观察信号的效果。在这个意义上，小波变换被称之为数学显微镜。 3.2.6连续小波变换、离散小波变换和二进制小波变换的区别连续的小波变换实质上是一种冗余变换，其对复杂的信号分析不仅仅只关联于信号本身，还包括有小波变换本身的某些关联，小波空间存在有性质强烈的类型，这种小波空间是依赖于小波函数的类型，也与参数a与b的取值有关联，同时，如果对位移和尺度两者的参数进行不同的离散化，那么就会出现截然不同的小波变换。离散的小波变换不会产生冗余，在一定程度上避免了因为小波变换的关联而造成的分析变换结果的困难。病例与对原始信号进行逆分析。所以，一般采用离散小编换来进行分析。二进的小波变换不同于前两者，其只对于尺度参数来进行离散化，而对时域的平移参量仍然保持连续变化，因此二进的小波并不会破坏信号于时域上的平移不变量，这正是其对比与正交小波基的最大优点。 3.2.7多分辨率分析多分辨率分析(MRA，Multi-resolution Analysis)也称多尺度分析，其来自于计算机视觉，是建立在函数空间的理论概念，创建者S.Mallat是在研究图像处理问题时建立这套理论，并提出了著名的Mallat算法。MRA为正交小波基的构造提供了简便方法，同时也为正交小波变换的快速运算提供了理论依据。尤其是其基本思想与多抽样率滤波器组相一致，建立了小波变换与数字滤波器之间的联系。因此MRA在小波变换理论中具有十分重要的单位。多分辨率分析具有的性质：1. 一致单调性2. 渐进完全性3. 平移不变性4. 伸缩规则性5. 正交基存在性 由多分辨率的性质克制，所有的闭子空间V都是由同一尺度尺度函数变化后的平一系列张成的尺度空间，称（t）为多分辨率扥西的尺度函数。 多分辨率分析思想如下：当分析信号采样频率已满足Nyquist采样定理，那么归一频率带必须在-到之间，此时可分别使用理想低通的滤波器与理想高通的滤波器把其分解为频带介于0到/2之间低频部分与频带介于/2到之间高频部分，两者分别对应于信号的近似部分和细节部分，处理后的两路输出由于频带不交叠，故必定正交，同时因为两个输出带宽同时减半，因此，采样频率的减半并不会导致信息的丢失，带通信号的采样频率决定于其带宽的宽度，而并不决定于其频率的上限。类似过程对于每次分解后的低频部分可再重复进行下去，也就是说每一集分解把该机输入信号分解成一个低频的粗略的部分和一个高频的细节部分，而且每级输出采样频率都可以减半，通过这样的方式，可将原始信号进行多分辨分解。图2.1两层多分辨结构图任意信号f（t）L(R)2可表示为：其中，是适度函数，是小波函数，是尺度空间标准的正交基，为小波空间的标准的正交基。分解系数和分别是离散部分的逼近信号和细节信号，公式中的分解系数为：（3.14）（3.15）式中h（k）和g（k）为低通的数字型滤波器的单位取样响应与高通的数字型滤波器的单位取样响应，取，组成对称正交镜像滤波器组.式3.14和式3.15表示信号分别表示信号序列和滤波器单位取样响应h（-k）和g（-k）卷积后进行二抽取后所得到得。而滤波器组初输入是信号f（t）离散序列s，假定采样频率是，根据奈奎斯特采样定理，s所占据有效频带的范围为0到/2，使用一级分解（j=1），获得逼近信号和，分别用和表示，他们的频带范围各为：0，S=。以信号的三层分解来看，分解树如下图图2.1所示，其中A表示低频分量，D表示高频分量。 S A1 D1 D3 A3 D2 A2 图2.1三层小波分解结构图3.2.8 Mallat算法 多分辨率分析MRA诞生于实际工程应用，随着工程应用的逐渐深入，使得小波理论向更深层次的发展。一方面MRA为构造正交小波基提供了实用的方法，另一方面，为正交小波的快速算法提供理论的根据。Mallat通过借鉴塔式算法的思想，以多分辨分析的理论做为基础，进而得到了小波变换快速算法Mallat算法。由MRA，设和分别为j尺度空间与小波空间，（x）和（x）分别为在此尺度下的和空间的标准正交基，由于包含于，包含于，则必然（x），（x），即（x）和（x）可以用空间包含的正交基函数线性展开： （3.16）其中，系数h（n）和g（n）展开为：h（n）=,g(n)=, (3.17)式3.16与式3.17同时描述相邻的两尺度空间的基函数存在的关系，称之为二尺度方程。这个方程式表明了离散序列的小波变换的数学根据。式中的h（n）和g（n）只与相应的尺度函数（x）有关，而与具体的尺度无关，也将h（n）和g（n）称为滤波器系数。S.Mallat提出的离散正交小波变换的算法，可以对该系数进行快速分解：（3.18）（3.19）其中，和分别是和空间尺度系数和小波系数。Mallat分解算法结构示意图Mallat重构算法结构示意图 3.3常用小波基函数介绍及应用性能分析 3.3.1小波基函数的选取 小波分析中所用到的小波基函数并不唯一，在工程问题应用上，利用不同的小波基函数分析会产生不同的分析结果，由于小波基函数的选取上存在很大的灵活性，所以在选取小波基函数时只要满足小波基函数的允许条件即可，但满足允许条件的小波基函数也不是任意的，小波基函数应该存在如下的特点：1. 足够小：小波基函数在时域上都具有紧支集和近似紧支集，即在很小的一个区间之外的函数为零，换一种说法就是，函数应当具有速降特性。2. 波动性：也称震荡性，由小波母函数允许条件，即直流分量为零，由此可以断定小波必有正负交替波动性。因此，在应用的不同领域，可根据应用问题的本身特点来选取小波基函数，从这方面来看小波变换相比于传统的傅里叶变换更具有广泛的适应性。到目前为止人们已经构造出了各种各样的小波基函数。表中所示即为几种常见小波基函数的性能。表2 常用小波特性：常用小波函数波形： Haar小波函数 db10小波函数 bior4.4小波分解函数 bior4.4重构小波函数 coif3小波函数 sym5小波函数 Morlet小波函数 3.3.2小波分解层数的确定 为了检测和提取微震信号，则需确定合理的分解层数，对信号的频带进行了正确划分，频带划分原则需使信号基频接近于最低低频带中心，从而减小了基频分量相对于其他自频带的影响。设为采样频率，为基频，频带划分数量可由下式计算得到： （3.20） 仿真采用的基频=50Hz，采样频率 =12.8KHz，由上式的频带划分数目，p=7，即应该对信号进行6层对分辨率分析。所计算频带的范围如下图所示，a1、a2、a3、a4、a5、a6为小波分解的离散逼近型信号；d1、d2、d3、d4、d5、d6是离散细节型信号。而基频正好位于频带a6中点。 S 0-6400Hz a3 0-800Hz a1 0-3200Hz a6 0-100Hz a2 0-1600Hz d2 0-6400Hz a5 0-200Hz a4 0-400Hz d1 0-6400Hz d4 0-6400Hz d3 0-6400Hz d6 0-6400Hz d5 0-6400Hz图3 频带划分示意图 3.3.3 仿真分析 Matlab是Math Works公司于八十年代研制出的一套高性能的数值计算与可视化文件，它集矩阵运算、数值分析、信号处理、及图形显示于一体，组成了一个简便的用户环境。Matlab的出现使得各个领域在模拟及仿真方面有了长足的进步，其强大的功能为诸多领域的应用提供了有力支持。同时，各领域的专家为了研究方便，纷纷推出了相关方面的工具箱，其中主要有信号处理、控制系统、神经网络、非线性控制系统设计、样条、小波、通信等方面的工具箱，同时工具箱仍在不断地被完善、填充，工具箱的出现为各领域的工程应用与研究提供了工具。 本文的仿真基于Matlab2012b环境，利用了Matlab程序本身携带的小波分析程序工具箱，通过编写仿真代码、调试，最终得到仿真结果。 根据微震信号的特点设计的微震信号由两个调制频率和到达时间均不同的暂态信号组成，故微震信号选取为：，然而在实际问题中，微震信号并不会单独产生，通常会伴随有噪音信号，故需在微震信号的基础上叠加噪音信号以获得模拟信号，噪音信号的选取为e=e1+0.5randn(size(e1)。 选取sym8与db10小波对模拟信号进行消噪处理。设采样频率为12.8kHz对微震信号进行尺度分解。在不同尺度上，当某小波变换系数的模大于其相邻的亮点的值且至少严格大于其中一点的值时，记录该点的相应的小波变换系数，随着尺度的增加，由微震信号产生的小波变换模极大值逐渐增大，所以在小尺度下，小波变换的时间定为最为准确。这里取f=1下的高频子频带d1对应的模极大值来定位突变时刻。仿真结果如下： 样本序列表示在未加入噪音信号的情况下微震信号原本的图像信息，可以看到微震信号的产生是暂态的，时间极短且产生频率极低。 测试样本序列表示加入噪音干扰信号后的模拟信号图像信息，在图中可以清晰地看出信号波形的混乱且其信号幅值远远大于微震信号。 通过db10与sym8小波消噪处理后的的模拟信号波形 由图中所示，d1到d5反映了各层离散细节信息，a5包括了基频信息，反映了信号的概貌部分，以上仿真结果表明： 非平稳的暂态信号可通过信号的小波变换来表述。信号各点所对应的小编变换与噪音信号对应的小波变换在不同的辩驳变换尺度上的传递是不同的，利用这一特性可以清楚地分辨噪音信号、微震信号与非微震信号，以实现对微震信号的准确监测。 3.4 小结 本章首先介绍了小波分析的由来以及理论基础，然后又对连续小波变换、离散小波变换、二进小波变换，多分辨分析和Mallat算法等基本理论进行了简单的阐述和说明。为本章后续部分利用小波变换对微震信号的处理做了理论铺垫。同时，由于微震信号的非平稳、暂态特性的原因，对小波函数的选择做了必要说明。进而利用db10与sym8小波对模拟信号进行仿真分析。仿真结果表明：小波变换对微震信号的消噪有着明显的作用，且实现了对微震信号的分辨与定位。4 HHT变换理论基础4.1 HHT变换发展4.1.1 HHT变换的发展应用 希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang-Transform）是由N.E.Huang等人在1998年所提出的一种方法，其适用于非平稳、非线性数据的谱分析，简称为HHT。该方法一经提出后，就被广泛应用于数据分析的许多领域，例如信号处理、生物医学、地震工程等领域。希尔伯特黄变换的核心思想是指：将时间序列，经过经验模态分解(EmpiricalModeDecomposition，简称EMD)，分解成多个具有固有模态函数(IntrinsicModeFunction，简称IMF)，之后再利用Hilbert变换构造出解析信号，从而得出信号的瞬时频率和振幅，获得Hilbert谱。1999年，Huang又进一步改进了该方法，新的方法由Hilbert谱分析和经验模态分解(EMD)组成，通过此种方法所获得的Hilbert谱在联合的频率-时间域中描述原始信号具有极高的时频分辨率，在根本上避免了过去基于傅立叶分析的缺陷，而且使用EMD方法进行分解后所获得的IMF分量也有着清晰物理意义。 HHT方法的理论以信号的局部特征为基础，并且具有自适应性，其适合于分析信息量较大的频率伴随时间改变的非平稳、非线性信号。所以，在这方面，相比于小波基固定的小波分析，HHT方法更好。 HHT方法把分析信号做经验模态分解(EMD)，可以更加有效的把信号的各个频率成分转化为固有模态函数(IntrinsicModeFunction，IMF)的形式，从而将其在时间曲线内分离。不同IMF分量均为简单非线性信号或者平稳信号，均有简单的非线性特点。而其缓变波包特征是指：不同的特征尺度波动波幅伴随时间变化，所以也同时在时间上存在局域化特点，IMF则隶属窄带信号，刚好于满足进行HHT变换要求。通过对IMF进行HHT变换，能够得到包含振幅、频率、时间三者在内的三维离散的骨架谱，从而提供更加明确清晰的时频特征的局部细节。HHT方法有着更好的内在性、自适应性与客观性，对于信号非线性的反映能力强，适用于对非平稳动态与非线性变化的信号进行分析与刻画。 4.2 HHT方法原理 4.2.1瞬时频率“频率”是工程和物理学中最为常用的技术术语之一。通常我们所说的频率是指Fourier变换的参数 （4.1）称f为Fourier频率。但这只是针对于平稳信号而言。然而对于非平稳信号来说，Fourier频率并不再是合适的物理量。由于非平稳信号频率是伴随时间而变化的，那么我们必须要有要一个能够伴随时间而改变的频率概念，我们将其命名为瞬时频率。最早瞬时频率含有两种不同的定义，而后Ville 结合了两种定义，把信号瞬时频率进行定义： （4.2）上式，下标i表示瞬时（instantaneous），是信号解析信号，即瞬时频率可以定义为是解析信号相位函数求导。故此，对信号进行HHT变换时，在得到信号解析信号后，瞬时频率的定义更加明确。利用解析信号定义信号瞬时频率是现代较为认可的方式。对于任何时间序列，其HHT变换为 （4.3）其中是柯西主值，此变换对于任何函数均存在。由和组成复信号 （4.4）为解析函数称为是解析信号，式中 （4.5）分别是的振幅与相位。由于HHT变换事实上就是与的卷积计算。因此，其强调在空间上局部属性，由方程（4.4），瞬时频率： （4.6）由公式(4.6)可得，对于任何给定的时刻，只有唯一的瞬时频率值能够与之相对应，所以其只能表示为一种分量，因此其是单分量。但是，这种定义也依然存在着很大的争议，并因此使得Cohen在1995年引入了单分量函数。然而他并没有明确定义单分量信号，这使得人们无法确定一个信号是不是单分量。在无单分量函数明确定义的状况下，在多种情况下，我们将窄带信号作为标准来选择信号，以此来确定瞬时频率的意义。 4.2.2固有模态函数为了获得的瞬时频率含有意义，N.E.Huang对其再次进行了研究，得出了瞬时频率有意义的必要条件：函数一定关于局部零平均值所对称的，同时，跨零点的数量与极值点数量均相同。从这个观点出发，N.E.Huang等人得到被称之为固有模态函数的定义：一个固有模态函数应当满足以下的两个条件：(1)在数据范围中，极值点的个数和过零点的个数相等或者最多差一个；(2)任何点，由于局部的极大值所确定的包络线以及由局部的极小值所确定的包络线，其均值都为零。从传统的平稳高斯过程窄带要求概念来看，首要条件的达成是显而易见的，；而后面的条件却是创新的观点，它将全局性的限定，改变成局域性的限定，这样的限定是必要的，可以消除因为波形的不对称所造成瞬时频率波动。对于理想情况，此条件应当是数据局部均值要为零。而对于非平稳的信号，局部均值的计算与局部的时间尺度取值有关，然而这却是不能确定的。所以，EMD中所使用的经由局部极大值与经由极小值所定义的包络局部均值替代实际的均值的方式，以此保证每个固有模态函数存在局部对称的关系。这虽然只是近似，然而它确实能够避过确定局部的平均时间的尺度。即便它会因为信号的变形而产生假频，但我们可以观察到，其对于非线性影响却要小于非平稳性影响。固有模态函数表示数据的固有振荡模式，从定义来讲：即每次所提出的IMF只包含有一种振荡模式，但不会产生畸形波。就IMF定义来说，IMF能做为频率与振幅调制信号，但不一定为窄带信号，而就实际来看，其甚至有可能为非平稳。 4.2.3经验模态分解经验模态分解方法(Empirical Mode Decomposition，EMD)是把信号分解为一组有较好HHT变换性能的固有模态函数。较好HHT变换性能指信号经HHT变换后拥有明确的瞬时频率与瞬时振幅意义。EMD分解所采用的是筛分算法, 其步骤:（1）假设时间的序列信号，那么首先需找出信号的数据的所有极值点，并将所有局部最大值用三次样条插值函数构成数据的上包络，同理得出时间序列信号的下包络；（2）通过计算上下包络线的均值，得出原信号数据序列平均包络线； （4.7）（3）用原始的数据序列与均值取差，可以得到一个消除低频的新的数据序列； （4.8）理想情况下，如果满足IMF条件，那么便是的第一个imf分量。但就一般情况下，并不能满足IMF所需要的条件，由于包络的拟合过冲（overshoot）和欠冲（undershoot）一定是存在的，过程会产生新极值点，并且放大或移位之前所存在极值点，这导致波形中如果有一个微小的变化经过“筛分”过程后就会放大成为局部的极值点，筛分过程的另一个缺点是对非线性的数据，包络均值和真实局部的均值之间是存在着误差的，即便数据已经经过了多次的“筛分”，但是非对称波依然会存在，这主要是因为使用了包络平均的近似方法所造成的误差。但即使存在着问题，但经过实际应用，“筛分”的过程仍然能够分解数据中的内在振动尺度。筛分过程的目的有两个：其一，去除叠加波；其二，使波形对称。为了达到第二个目的，“筛分”过程需进行多次。如果不能满足，那么就把作为原始数据，重复上面的步骤，以得到上下包络线的均值，之后再用,计算结果是否满足IMF条件，重复过程k次，一直到其满足IMF的条件。 （4.9）这时得到信号的第