上海市普陀区2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科） 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1若集合 A=x|y= ， x R， B=x|x| 1， x R，则 AB= 2若函数 f（ x） =1+ （ x 0）的反函数为 f 1（ x），则不等式 f 1（ x） 2 的解集为 3若 且 是第二象限角，则 = 4若函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（ x+2） = f（ x），则 f 在（ ） 8的展开式中，其常数项的值为 6若函数 f（ x） =g（ x） =f（ x+ ），则函数 g（ x）的单调递增区间为 7设 P 是曲线 （ 为参数）上的一动点， O 为坐标原点， M 为线段 中点，则点 M 的轨迹的普通方程为 8在极坐标系中， O 为极点，若 A（ 1， ）， B（ 2， ），则 面积为 9袋中装有 5 只大小相同的球，编号分别为 1， 2， 3， 4， 5，现从该袋中随机地取出 3 只，被取出的球 中最大的号码为 ，则 10若函数 f（ x） =x 0），则方程 f（ x+1） +f（ x 3） =1 的解 x= 11某同学用球形模具自制棒棒糖现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为 3为 10共做了 20 颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 耗忽略不计） 12如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 有 10 个不同的点 （ i=1， 2， 3， ， 10），则 m1+值为 13设函数 f（ x） = ，记 g（ x） =f（ x） x，若函数 g（ x）有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 14已知 n N*，从集合 1， 2， 3， ， n中选出 k（ k N， k 2）个数 ， 之同时满足下面两个条件： 1 n； m（ i=1， 2， ， k 1），则第 2 页（共 18 页） 称数组（ 从 n 个元素中选出 k 个元素且限距为 m 的组合，其组合数记为例如根据集合 1， 2， 3可得 给定集合 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，可得 = 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 . 15若 a、 b 表示两条 直线， 表示平面，下列命题中的真命题为（ ） A若 a ， a b，则 b B若 a ， a b，则 b C若 a ， b，则 a b D若 a ， b ，则 a b 16过抛物线 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、 B 两点，且这两点的横坐标之和为 9，则满足条件的直线（ ） A有且只有一条 B有两条 C有无穷多条 D必不存在 17若 z C，则 “| 1， | 1”是 “|z| 1”成立的条件（ ） A充分非必要 B必要非充分 C充要 D既非充分又非必要 18对于正实数 ，记 f（ x）构成的集合：对于任意的实数 x1，R 且 有 （ f（ f（ （ 立下列结论中正确的是（ ） A若 f（ x） g（ x） f（ x） g（ x） B若 f（ x） g（ x） g（ x） 0，则 C若 f（ x） g（ x） f（ x） +g（ x） D若 f（ x） g（ x） 1 2，则 f（ x） g（ x） 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19在正四棱柱 ，底面边长为 1， 底面 成的角的大小为 果平面 底面 成的二面角是锐角， 求出此二面角的大小（结果用反三角函数值） 第 3 页（共 18 页） 20已知函数 f（ x） =2x+ ） （ ）若 x 0， ，求 f（ x）的取值范围； （ ）设 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知 A 为锐角， f（ A） = ，b=2， c=3，求 A B）的值 21某企业参加 A 项目生产的工人为 1000 人，平均每人每年创造利润 10 万元根据现实的需要，从 A 项目中调出 x 人参与 B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润 10（ a ）万元（ a 0）， A 项目余下的工人每年创造利润需要提高 （ 1）若要保证 A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 1000 名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加 B 项目从事售后服务工作？ （ 2）在（ 1）的条件下，当从 A 项目调出的人数不能超过总人数的 40%时，才能使得 A 项目中留岗工人创造的年总利润始 终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数 a 的取值范围 22已知椭圆 ： + =1 的中心为 O，一个方向向量为 =（ 1， k）的直线 l 与 只有一个公共点 M （ 1）若 k=1 且点 M 在第二象限，求点 M 的坐标； （ 2）若经过 O 的直线 l 垂直，求证：点 M 到直线 距离 d 2； （ 3）若点 N、 P 在椭圆上，记直线 斜率为 为直线 一个法向量，且 = ，求 |+| 的值 23已知各项不为零的数列 前 n 项和为 ， an（ n N*） （ 1）求证：数列 等差数列； （ 2）设数列 足： ，且 （ +） = ，求正整数 k 的值； （ 3）若 m、 k 均为正整数，且 m 2， k m在数列 ， ， = ，求 c1+ 第 4 页（共 18 页） 2016 年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题 解析 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 . 1若集合 A=x|y= ， x R， B=x|x| 1， x R，则 AB= 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中 x 的范围确定出 A，求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中 y= ，得到 x 1 0， 解得： x 1，即 A=x|x 1， 由 B 中不等式变形得： 1 x 1，即 B=x| 1 x 1， 则 AB=1， 故答案为： 1 2若函数 f（ x） =1+ （ x 0）的反函数为 f 1（ x），则不等式 f 1（ x） 2 的解集为 【考点】 反函数 【分析】 由 ，可得 ，因此 ，解出即可 【解答】 解： ， 有 ， 则 ，必有 x 1 0， 2（ x 1） 1，解得 1 x 故答案为： 3若 且 是第二象 限角，则 = 2 【考点】 两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值 【分析】 由 是第二象限角，及 值，利用同角三角函数间的基本关系求出 值，进而确定出 值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出 值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把 值代入计算，即可求出值 第 5 页（共 18 页） 【解答】 解： 是第二象限角，且 ， = ， ， = ，即 3 8 3=0， 解得： （不合题意，舍去因为 是第二象限角， 是第一象限或第三象限角， 0）或 3， 则 ） = = = 则 =2 故答案为： 2 4若函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（ x+2） = f（ x），则 f 是定义在 R 上的奇函数，所以有 f（ 0） =0，又因为 f（ x+2） = f（ x），所以有 f（ x+4） = f（ x+2） =f（ x），所以函数 f（ x）的周期为 4， 根据周期性可得出 f=f（ 0） =0 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ 0） =0， f（ x+2） = f（ x）， f（ x+4） = f（ x+2） =f（ x）， f（ x）的周期为 4， f=f（ 0） =0， 故答案为 0 5在（ ） 8 的展开式中，其常数项的值为 28 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 0 求出 r，将 r 的值代入通项求出展开式的常数项 【解答】 解：由二项式定理得 ， 令（ 8 r（ x 1） r=1，即 24 4r=0， r=6， 所以常数项为 ， 故答案为： 28 第 6 页（共 18 页） 6若函数 f（ x） =g（ x） =f（ x+ ），则函数 g（ x）的单调递增区间为 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 先求的 g（ x）的解析式，再利用正弦函数的单调增区间求得 g（ x）的单调递增区间 【解答】 解：对于函数 ，当时，函数 g（ x）单调递增， 求得 ， 故答案为： 7设 P 是曲线 （ 为参数）上的一动点， O 为坐标原点， M 为线段 中点，则点 M 的轨迹的普通方程为 84 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 由 ，可得曲线的方程为 2，设 P（ M（ x， y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程 【解答】 解：曲线 （ 为参数），即有 ， 由 ，可得曲线的方程为 2， 设 P（ M（ x， y）， 可得 ，代入曲线方程，可得 2，即为 2（ 2x） 2（ 2y） 2=1， 即为 84 故答案为： 84 8在极坐标系中， O 为极点，若 A（ 1， ）， B（ 2， ），则 面积为 1 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 由 = ，可得 可得出 面积 【解 答】 解： = ， 第 7 页（共 18 页） S = =1 故答案为： 1 9袋中装有 5 只大小相同的球，编号分别为 1， 2， 3， 4， 5，现从该袋中随机地取出 3 只，被取出的球 中最大的号码为 ，则 【考点】 离散型随机变量的期 望与方差 【分析】 由题意得 的可能取值为 3， 4， 5，分别求出相应的概率，由此能求出 【解答】 解：由题意得 的可能取值为 3， 4， 5， P（ =3） = = ， P（ =4） = = ， P（ =5） = = ， = 故答案为： 10若函数 f（ x） =x 0），则方程 f（ x+1） +f（ x 3） =1 的解 x= 4 【考点】 二次函数的性质；对数函数的图象与性质 【分析】 根据对数的运算性质，可得（ x+1）（ x 3） =5，解得答案 【解答】 解：因为 f（ x） = 所以 f（ x+1） +f（ x 3） =+3=x+1）（ x 3） =1， 即（ x+1）（ x 3） =5， 所以 x=4 或 x= 2（舍去）， 故答案为： 4 11某同学用球形模具自制棒棒糖现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为 3为 10共做了 20 颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 9 耗忽略不计） 【考点】 组合几何体的面积、体积问题 【分析】 根据糖浆的体积不变性求出每个棒棒糖的半径，从而求出棒棒糖的面积 【解答】 解：圆柱形容器的体积为 ， 设棒棒糖的半径为 r，则每个棒棒糖的体积为 ， 第 8 页（共 18 页） 解得 ， ， 故答案为： 9 12如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上，边 有 10 个不同的点 （ i=1， 2， 3， ， 10），则 m1+值为 180 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 以 A 为坐标原点， 在直线为 x 轴建立直角坐标系，可得 3， ）， 5， ）， 6， 0），求出直线 方程，可设 可得 xi+ ，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和 【解答】 解：以 A 为坐标原点， 在直线为 x 轴建立 直角坐标系， 可得 3， ）， 5， ）， 6， 0）， 直线 方程为 y= （ x 6）， 可设 可得 xi+ ， 即有 =3 （ xi+=18， 则 m1+8 10=180 故答案为： 180 13设函数 f（ x） = ，记 g（ x） =f（ x） x，若函数 g（ x）有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 （ 2， +） 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系 【分析】 由函数解析式知，当 x 0 时， f（ x）是周期为 1 的函数，易求 x 1， f（ x） =21x+a，依题意，得方程 21 x=x a 有且仅有两解，在同一坐标系中作出 y=21 x 与 y=x a 图象，数形结合即可求得实数 a 的取值范围 【解答】 解： x 0 时， f（ x） =f（ x 1） 第 9 页（共 18 页） 当 x 0 时， f（ x）是周期为 1 的函数， 设 x 1，则 x 1 0， f（ x） =f（ x 1） =21 x+a； 即 x 1， f（ x） =21 x a， f（ x） =x 有且仅有两个实数根， 方程 21 x=x a 有且仅有两解， 在同一坐标系中作出 y=21 x 与 y=x a 图象如右图： f（ x） =x 有且仅有两个实数根，只要直线 y=x a 介于图中蓝色直线下方即可 依 f（ x） =21 x 可求出 A 点坐标为（ 0， 2）， B 点坐标为（ 1， 2）， A， B 两 点均为虚点， 2 a 故答案为：（ 2， +） 14已知 n N*，从集合 1， 2， 3， ， n中选出 k（ k N， k 2）个数 ， 之同时满足下面两个条件： 1 n； m（ i=1， 2， ， k 1），则称数组（ 从 n 个元素中选出 k 个元素且限距为 m 的组合，其组合数记为例如根据集合 1， 2， 3可得 给定集合 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，可得 = 10 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 由题意得 即从定集 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7中选出 3 个元素且限距为 2 的组合，即可得出结论 【解答】 解：由题意得 即从定集 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7中选出 3 个元素且限距为 2的组合 于是若从 1， 3， 5， 7中任选 3 个均符合要求则有 个， 若选 2， 4， 6页满足条件； 另外还有 1， 3， 7， 1， 3， 6， 1， 4， 7， 1， 5， 7， 2， 5， 7均满足条件，故=4+1+5=10， 故答案为： 10 第 10 页（共 18 页） 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 . 15若 a、 b 表示两条直线， 表示平面，下列命题中的真命题为（ ） A若 a ， a b，则 b B若 a ， a b，则 b C若 a ， b，则 a b D若 a ， b ，则 a b 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：选项 A 中，由 a ， a b，则 b 可能在平面 内，故该命题为假命题； 选项 B 中，由 a ， a b，则 b 或 b ，故该命题为假命题； 选项 C 中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题； 选项 D 中，由 a ， b 可得到 a， b 相交或平行，故该命题是假命题， 故选： C 16过抛物线 x 的焦点作一 条直线与抛物线相交于 A、 B 两点，且这两点的横坐标之和为 9，则满足条件的直线（ ） A有且只有一条 B有两条 C有无穷多条 D必不存在 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设出 方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数 【解答】 解：抛物线的焦点坐标为（ 2， 0）， 若 l 无斜率，则 l 方程为 x=2，显然不符合题意 若 l 有斜率，设直线 l 的方程为： y=k（ x 2）， 联立方程组 ，消元得： 4） x+4， 设 A（ B（ ， 故选 B 17若 z C，则 “| 1， | 1”是 “|z| 1”成立的条件（ ） A充分非必要 B必要非充分 C充要 D既非充分又非必要 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 设 z=x+ |x| 1， |y| 1，可得 |z| ，充分性不成立；反之 成立 【解答】 解：设 z=x+ |x| 1， |y| 1，则 |z|= ，故充分性不成立； 由 ，则 x2+1，所以 |x| 1， |y| 1，即必要性成立 故答案为： B 第 11 页（共 18 页） 18对于正实数 ，记 f（ x）构成的集合：对于任意的实数 x1，R 且 有 （ f（ f（ （ 立下列结论中正确的是（ ） A若 f（ x） g（ x） f（ x） g（ x） B若 f（ x） g（ x） g（ x） 0，则 C若 f（ x） g（ x） f（ x） +g（ x） D若 f（ x） g（ x） 1 2，则 f（ x） g（ x） 【考点】 元素与集合关系的判断 【分析】 由题意知 ，从而求得 【解答】 解：对于 1（ f（ f（ 1（ 即有 ， 令 ， 则 k ， 若 ， 即有 1 1， 2 2， 所以 1 2 kf+1+2， 则有 ， 故选 C 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19在正四棱柱 ，底面边长为 1， 底面 成的角的大小为 果平面 底面 成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值） 第 12 页（共 18 页） 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 以 D 为原点， 在的直线分别为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 底面 成的二面角的大小 【解答】 解： 在正四棱柱 ， 底面 平面 的射影， 直线 底面 成的角， 底面 成的角的大小为 在 ， C， 以 D 为原点， 在的直线分别为 x， y， z 轴， 建立空间 直角坐标系，如图， 平面 = =（ 0， 0， 2）是平面 一个法向量， B（ 1， 1， 0）， 0， 0， 1）， 0， 1， 2）， =（ 1， 1， 2）， =（ 1， 0， 2）， 设 =（ x， y， z）是平面 一个法向量， ，取 z=1，得 =（ 2， 0， 1）， 设平面 底面 成的二面角为 ， 则 = = ， = 第 13 页（共 18 页） 20已知函数 f（ x） =2x+ ） （ ）若 x 0， ，求 f（ x）的取值范围； （ ）设 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知 A 为锐角， f（ A） = ，b=2， c=3，求 A B）的值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 （ ）利用三角函数中的恒等变换应用可 求得 f（ x） =2x+ ） + ，利用 x 0， ，可求得 2x+ ， ，从而可求得 f（ x）的取值范围； （ ）依题意可求得 2A+ ） =0， A 为锐角，可知 A= ， b=2， c=3，利用余弦定理可求得 a= ，继而可求得 值，利用两角差的余弦可得 A B）的值 【解答】 解：（ ） = = = ， ， （ ）由 ，得 2A+ ） =0， 又 A 为锐角，故 A= ，又 b=2， c=3， 第 14 页（共 18 页） +9 2 2 3 7，解得 a= 由 ，得 ，又 b a，从而 B A， 21 某企业参加 A 项目生产的工人为 1000 人，平均每人每年创造利润 10 万元根据现实的需要，从 A 项目中调出 x 人参与 B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润 10（ a ）万元（ a 0）， A 项目余下的工人每年创造利润需要提高 （ 1）若要保证 A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 1000 名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加 B 项目从事售后服务工作？ （ 2）在（ 1）的条件下，当从 A 项目调出的人数不能超过总人数的 40%时，才能使得 A 项目中留岗工人创造 的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数 a 的取值范围 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ 1）根据题意，列出不等式 10（ 1+ 10 1000，求解即可； （ 2）求出 x 的范围，得出不等式 10（ a ） x 10（ 1+，整理可得 a +1 恒成立，根据 x 的范围，可知在定义域内函数为减函数，当 x=400 时，函 数取得最小值 【解答】 解：设调出 x 人参加 B 项目从事售后服务工作 （ 1）由题意得： 10（ 1+ 10 1000， 即 500x 0，又 x 0，所以 0 x 500即最多调整 500 名员工从事第三产业 （ 2）由题知， 0 x 400， 从事第三产业的员工创造的年总利润为 10（ a ） x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为 10（ 1+ x）万元， 则 10（ a ） x 10（ 1+ 所以 1000+2x x 所以 +1000+x， 即 a + +1 恒成立， 因为 0 x 400， + +1 + +1= 所以 a 又 a 0，所以 0 a 即 a 的取值范围为（ 0， 第 15 页（共 18 页） 22已知椭圆 ： + =1 的中心为 O，一个方向向量为 =（ 1， k）的直线 l 与 只有一个公共点 M （ 1）若 k=1 且点 M 在第二象限，求点 M 的坐标； （ 2）若经过 O 的直线 l 垂直，求证：点 M 到直线 距离 d 2； （ 3）若点 N、 P 在椭圆上，记直线 斜率为 为直线 一个法向量，且 = ，求 |+| 的值 【考点】 椭圆的简单性质 【 分析】 （ 1）设直线 l 的方程为 y=kx+t，代入椭圆方程 40，可得 x 的方程，运用直线和椭圆只有一个公共点 M，可得 =0，化简整理，解方程可得 M 的坐标； （ 2）设直线 x+，运用（ 1）求得 M 到直线 距离公式，再由基本不等式可得最大