黄冈市2015-2016学年高一下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=y|y=x R， N=x Z| 0，则 MN 为（ ） A B 0， 1 C 1， 1 D（ 1， 1 2已知 a， b， c R，那么下列命题中正确的是（ ） A若 a b，则 若 ，则 a b C若 0，则 D若 0，则 3已知点（ 3， 1）和点（ b， 4）均在直线 3x 2y a=0 上，则 值为（ ） A B 35 C 35 D 4下列命题错误的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么 l 平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 5等比数列 前 n 项和为 知 S4=a2+2，则 ） A B C 2 D 2 6某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料，已知生产 1 吨甲乙每种产品所需原料及每天原料的可用限额 如表所示，若设每天生产甲、乙产品各 x， y 吨，则可列线性约束条件为（ ） 甲 乙 原料限额 A（吨） 3 2 12 B（吨） 1 2 8 A B C D 7在 ，若 1，则 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D无法确定 8函数 y=一条对称轴为 x= ，则直线 l： by+c=0 的倾斜角为（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 9已知点 A（ 2， 3）， B（ 3， 2），若直线 y+1 k=0 与线段 交，则 k 的取值范围是（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C（ ， 1 2， +） D 1， 2 10已知直四棱柱 ，底面 正方形， E 为 中点，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 11设两条直线的方程分别为 x+y+a=0， x+y+b=0，已知 a、 b 是关于 x 的方程 x2+x 2=0 的两个 实数根，则这两条直线之间的距离为（ ） A 2 B C 2 D 12如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有 n（ n 1， n N*）个点，相应的图案中总的点数记为 + + + =（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为 1 的菱形，俯视图是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为 14已知 0 x 1，则函数 y= + 的最小值为 15已知实数 x， y 满足 ，则 = 的 取值范围是 16在数列 ， ， =an+1+ ），则 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知关于 x 的不等式 x+c 0 的解集为 x| （ 1）求 a， c 的值； 第 3 页（共 17 页） （ 2）解不关于 x 的不等式 ） x+2c 0 18已知两条直线 =0， a 1） x+y+b=0，求满足下列条件的 a， b 值 （ ） 点（ 3， 1）； （ ） 原点到这两直线的距离相等 19设数列 足 2+3n 1， n N* （ 1）求数列 通项； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 20 “城市呼唤绿化 ”，发展园林绿化事业是促进国家经济发展和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形 状的主题公 园，其中一边利用现成的围墙 度为 100 米，另外两边 用某种新型材料围成，已知 20， AB=x， AC=y（ x， y 单位均为米） （ 1）求 x， y 满足的关系式（指出 x， y 的取值范围）； （ 2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使公园的面积最大？最大值是多少？ 21如图，在底面是正方形的四棱锥 P ， 面 点 E， C 中点， G 为 一点 （ ）求证： （ ）确定点 G 在线段 的位置，使 平面 说明理由 22对于函数 f（ x），若存在 R 使得 f（ =立，则称 f（ x）的不动点已知函数 f（ x） = b+1） x+b 1（ a 0） （ 1）若 a=1， b=3，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对任意实数 b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，若 y=f（ x）图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f（ x）的不动点，且 A、 B 两点关于直线 对称，求 b 的最小值 第 4 页（共 17 页） 2015年湖北省黄冈市高一（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=y|y=x R， N=x Z| 0，则 MN 为（ ） A B 0， 1 C 1， 1 D（ 1， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用正弦函数性质 求出 M 中 y 的范围确定出 M，求出 N 中不等式的解集，找出解集的整数解确定出 N，求出 M 与 N 的交集即可 【解答】 解：由 M 中 y=x R，得到 1 y 1，即 M= 1， 1， 由 N 中不等式变形得：（ x 2）（ x+1） 0，且 x+1 0， x Z， 解得： 1 x 2， x Z， N=0， 1， 2， 则 MN=0， 1 故选： B 2已知 a， b， c R，那么下列命题中正确的是（ ） A若 a b，则 若 ，则 a b C若 0，则 D若 0，则 【考点】 不等关系与不等式 【分析】 根据不等式的性质，对 A、 B、 C、 D 四个选项通过举反例进行一一验证 【解答】 解： A若 a b，则 ），若 c=0，则 A 不成立； B若 ，则 a b（错），若 c 0，则 B 不成立； C若 0，则 （对），若 0，则 D若 0，则 （错），若 ，则 D 不成立 故选 C 3已知点（ 3， 1）和点（ b， 4）均在直线 3x 2y a=0 上，则 值为（ ） A B 35 C 35 D 【考点】 直线的一般式方程 第 5 页（共 17 页） 【分析】 将（ 3， 1）代入直线方程求出 a，将（ b， 4）代入直线方程求出 b，从而求出 值即可 【解答】 解： 点（ 3， 1）在直线 3x 2y a=0 上， 3 （ 3） 2 （ 1） a=0，解得 a= 7， 又点（ b， 4）在直线 3x 2y+7=0 上， 3b+8+7=0，解得 b= 5， 5， 故选： C 4下列命题错误的是（ ） A如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一 定存在直线平行于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么 l 平面 D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 【考点】 平面与平面之间的位置关系 【分析】 命题 A， B 可以通过作图说明；命题 C 可以直接进行证明；命题 D 可以运用反证法的思维方式说明是正确的 【解答】 解： A、如图，平面 平面 ， =l， l， l 不垂直于平面 ，所以不正确； B、如 A 中的图，平面 平面 ， =l， a，若 a l，则 a ，所以正确； C、如图， 设 =a， =b，在 内直线 a、 b 外任取一点 O，作 a，交点为 A，因为平面 平面 ， 所以 ，所以 l，作 b，交点为 B，因为平面 平面 ，所以 ，所以l，又 B=O， 所以 l 所以正确 D、若平面 内存在直线垂直于平面 ，根据面面垂直的判定，则有平面 垂直于平面 ，与平面 不垂直于平面 矛盾，所以，如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ，正确； 故选： A 5等比数列 前 n 项和为 知 S4=a2+2，则 ） 第 6 页（共 17 页） A B C 2 D 2 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， S4=a2+2， ， =32， 则 =q 故选： C 6某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料，已知生产 1 吨甲乙每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，若设每天生产甲、乙产品各 x， y 吨，则可列线性约束条件为（ ） 甲 乙 原料限额 A（吨） 3 2 12 B（吨） 1 2 8 A B C D 【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 【分析】 根据每天生产甲乙两种产品分别为 x， y 吨，然后根据题目条件建立约束条件，列出不等式组即可 【解答】 解：每天生产甲乙两种产品分别为 x， y 吨， 由题意得： ， 故选： A 7在 ，若 1，则 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定 【考点】 三角形的 形状判断 【分析】 利用两角和的正切函数公式表示出 A+B），根据 A 与 B 的范围以及 1，得到 大于 0，即可得到 A 与 B 都为锐角，然后判断出 A+B）小于0，得到 A+B 为钝角即 C 为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形 【解答】 解：因为 A 和 B 都为三角形中的内角， 由 1，得到 1 0， 且得到 0， 0，即 A， B 为锐角， 第 7 页（共 17 页） 所以 A+B） = 0， 则 A+B （ ， ），即 C 都为锐角， 所以 锐角三角形 故答案为：锐角三角形 8函数 y=一条对称轴为 x= ，则直线 l： by+c=0 的倾斜角为（ ） A 45 B 60 C 120 D 135 【考点】 直线的倾斜角；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 函数 f（ x） =象的一条对称轴方程是 ，推出 f（ +x） =f（ x） 对任意 x R 恒成立，化简函数的表达式，求出 a， b 的关系，然后求出直线的倾斜角，得到选项 【解答】 解： f（ x） = 对称轴方程是 x= ， f（ +x） =f（ x） 对任意 x R 恒成立， +x） +x） = x） x）， +x） x） =+x） x）， 用加法公式化简： 2 2任意 x R 恒成立， （ a+b） 对任意 x R 恒成立， a+b=0， 直线 by+c=0 的斜率 K= = 1， 直线 by+c=0 的倾斜角为 故选 D 9已知点 A（ 2， 3）， B（ 3， 2），若直线 y+1 k=0 与线段 交，则 k 的取值范围是（ ） A B C（ ， 1 2， +） D 1， 2 【考点】 直线的斜率 【分析】 求出直线过 P（ 1， 1），再分别求出 斜率，由数形结合求出 k 的范围即可 【解答】 解： y+1 k=0 由，得 y=k（ x 1） +1， 直线过定点 P（ 1， 1）， 第 8 页（共 17 页） 又 A（ 2， 3）， B（ 3， 2）， 而 =2， = ， 故 k 的范围是：（ ， 2， +）， 故选： B 10已知直四棱柱 ，底面 正 方形， E 为 中点，则异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 成角的余弦值 【解答】 解： 直四棱柱 ，底面 正方形， E 为中点， 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 B（ 1， 1， 0）， E（ 1， 0， 1）， C（ 0， 1， 0）， 0， 0， 2）， =（ 0， 1， 1）， =（ 0， 1， 2）， 设异面直线 成角为 ， 则 = = 异面直线 成角的余弦值为 故选： C 第 9 页（共 17 页） 11设两条直线的方程分别为 x+y+a=0， x+y+b=0，已知 a、 b 是关于 x 的方程 x2+x 2=0 的两个实数根，则这两条直线之间的距离为（ ） A 2 B C 2 D 【考点】 两条平行直线间的距离 【分析】 利用韦达定理求得 |a b|=3，两条平行直线间的距离公式，求得这两条直线之间的距离 【解答】 解：根据 a、 b 是关于 x 的方程 x2+x 2=0 的两个实数根，可得 a+b= 1， 2， a=1、 b= 2，或 a= 2、 b=1， |a b|=3， 故两条直线的方程分别为 x+y+a=0， x+y+b=0 之间的距离为 d= = = ， 故选： D 12如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有 n（ n 1， n N*）个点，相应的图案中总的点数记为 + + + =（ ） A B C D 【考点】 归纳推理 【分析】 根据图象的规律可得出通项公式 据数列 的特点可用列项法求其前 n 项和的公式，而则 + + + =是前 2012 项的和，代入前 第 10 页（共 17 页） 【解答】 解：每个边有 n 个点，把每个边的点数相加得 3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第 n 个图形的点数为 3n 3，即 n 3， 令 + + + = + + =1+ = ， + + + = 故选 C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为 1 的菱形，俯视图是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是上下两部分组成，为全等的两个四棱锥 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是上下两部分组成，为全等的两个四棱锥 该几何体的体积 V= 12 = 故答案为： 14已知 0 x 1，则函数 y= + 的最小值为 9 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式 【分析】 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可 得出 【解答】 解： 0 x 1， 则函数 f（ x） = + = ， 当 f（ x） 0 时，解得 ；当 f（ x） 0 时，解得 又 =0 当且仅当 x= 时取得极小值即最小值 第 11 页（共 17 页） = + =6+3=9 故答案为： 9 15已知实数 x， y 满足 ，则 = 的取值范围是 5， 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 根据分式的性质进行转化，结合直线斜率的几何意义，求出 斜率的取值范围即可得到结论 【解答】 解： = = =4+2 ， 设 k= ， 则 k 的几何意义是区域内的点到定点 D（ 3， 2）的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象得 斜率最大， 斜率最小， 其中 A（ 0， ）， B（ 1， 0）， 此时 = ，此时 最小为 =4 =4+1=5， 时 =1，此时 最大为 =4+2 1=6， 故 5 6， 故答案为： 5， 6 16在数列 ， ， =an+1+ ），则 2+ 【考点】 数列递推式 【分析】 由 n=1， 2， 3，分别求出 结规律，猜想出 【解答】 解： + + 第 12 页（共 17 页） ， ， 由此猜想 + 用数学归纳法证明： 当 n=1 时， +立 假设当 n=k 时等式成立，即 + 则当 n=k+1 时， =2+2+k+1）成立 由 知， + 故答案为： 2+ 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知关于 x 的不等式 x+c 0 的解集为 x| （ 1）求 a， c 的值； （ 2）解不关于 x 的不等式 ） x+2c 0 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 （ 1）根据不等式与对应方程的关系，利 用根与系数的关系即可求出 a、 c 的值； （ 2）由 a、 c 的值代入化简不等式 ） x+2c 0，求出解集即可 【解答】 解：（ 1）由题意知，不等式对应的方程 x+c=0 的两个实数根为 和 ， 由根与系数的关系，得 ， 解得 a= 6， c= 1； （ 2）由 a= 6， c= 1 知不等式 ） x+2c 0 可化为 6x 2 0， 即 34x+1 0， 解得 x 1， 所以不等式的解集为 ， 1 18已知两条直线 =0， a 1） x+y+b=0，求满足下列条件的 a， b 值 （ ） 点（ 3， 1）； （ ） 原点到这两直线的距离相等 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 （ ）通过 充要条件得 到关系式， 点（ 3， 1）得到方程，然后求出 a， b 的值； 第 13 页（共 17 页） （ ）利用 到 ，通过原点到这两直线的距离相等即可求出 a， b 【解答】 解（ ） a（ a 1） +（ b） 1=0（ 1） 又 点（ 3， 1），则 3a+b+4=0（ 2） 联立（ 1）（ 2）可得， a=2， b=2 （ ）依题意有， ，且 ， 解得 a=2， b= 2 或 19设数列 足 2+3n 1， n N* （ 1）求数列 通项； （ 2）设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由 2+3n 1当 n 2 时， 2+3n 21= ，两式作差求出数列 通项 （ 2）由（ 1）的结论可知数列 通项再用错位相减法求和即可 【解答】 解：（ 1） 2+3n 1， 当 n 2 时， 2+3n 21= ，得 3n 1， 所以 （ n 2）， 在 中，令 n=1，得 也满足上式 （ 2） ， bn=n3n +2 32+3 33+n3n 32+2 33+3 34+n3n+1 ，得 2Sn=n3n+1（ 3+32+33+3n）， 即 2Sn=n3n+1 第 14 页（共 17 页） 20 “城市呼唤绿化 ”，发展园林绿化事业是促进国家经济发展和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形 状的主题公园，其中一边利用现成的围墙 度为 100 米，另 外两边 用某种新型材料围成，已知 20， AB=x， AC=y（ x， y 单位均为米） （ 1）求 x， y 满足的关系式（指出 x， y 的取值范围）； （ 2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使公园的面积最大？最大值是多少？ 【考点】 函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法 【分析】 （ 1）根据题意，由余弦定理可得 x2+230000，变形可得x2+y2+0000，分析 x、 y 的取值范围即可得答案 ； （ 2）由（ 1）可得 x2+y2+0000，对其变形可得 x2+y2+0000 3而得到三角形面积的最大值 【解答】 解：（ 1）在 ，由余弦定理，得 2 所以 x2+230000， 即 x2+y2+0000， 又因为 x 0， y 0，所以 0 x 100 ， 0 y 100 （ 2）由（ 1） x2+y2+0000 得 30000 2xy+以 1000， 要使所设计能使公园的面积最大，即 S= 最大，所以S= ， 当且仅当 x=y=100 时，上式不等式成立 故当 长均为 100 米时，所设计能使公园的面积最大，最大为 2500 米 2 21如图，在底面是正方形的四棱锥 P ， 面 点 E， C 中点， G 为 一点 （ ）求证： （ ）确定点 G 在线段 的位置，使 平面 说明理由 【考点】 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ ）要证： 需证明 平面 可； （ ）当 G 为 点，即 ，要证明 平面 可 【解答】 证明：（ ） 面 边形 正 方形，其对角线 于点 E， 第 15 页（共 17 页） 平面 面 （