2016年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， 3， B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A 1， 0 B 0， 1， 2 C 1， 0， 1 D 2， 1， 0 2设复数 z 满足 =i，则 z 的虚部为（ ） A 2 B 0 C 1 D 1 3为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了 解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A简单的随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样 4等比数列 前 n 项和为 知 S4=a2+2，则 ） A B C 2 D 2 5设函数 f（ x） = ，若 f（ a） 1，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 2， +） B（ 0， +） C（ 2， +） D（ ， 0） （ 2，+） 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B 32 C D 7已知圆心为 C 的圆经过点 A（ 1， 1）和 B（ 2， 2），且圆心 C 在直线 l： x y+1=0 上，则点 C 与坐标原点的距离为（ ） A B 5 C 13 D 25 8执行如图所示的程序框图，若输入的 x， y， k 分别为 1， 2， 3，则输出的 N=（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 9已知 M 是球 O 的直径 的一点， 平面 ， M 为垂足， 截球 ，则球 O 的表面积为（ ） A 3 B 9 C D 10已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 P 在双曲线的右支上，且 |4|则此双曲线的离心率 e 的最大值为（ ） A B C D 11如图，已知 圆 O 的直径， ，点 C 在直径 延长线上， ，点 P 是圆O 上半圆上的动点，以 边作等边三 角形 点 D 与圆心分别在 两侧，记 x，将 面积之和表示成 x 的函数 f（ x），则 y=f（ x）取最大值时 ） A B C D 12定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x 4） = f（ x）且在 0， 2上为增函数，若方程 f（ x） =m（ m 0）在区间 8， 8上有四个不同的根 x1+x2+x3+值为（ ） A 8 B 8 C 0 D 4 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设 ， 是夹角为 60的两个单位向量，若 = + 与 =2 3 垂直，则= 14若 ，则目标函数 z=x+2y 的取值范围是 15已知（ 1+ 1+x） 5 的展开式中 系数为 5，则 a= 第 3 页（共 20 页） 16已知数列 前 n 项和为 ， 0， =41，则 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知 a， b， c 分别为 三个内角 A， B， C 的对边， a=2 且（ 2+b）（ （ c b） 1）求角 A 的大小； （ 2）求 面积的最大值 18随机观测生产某种们零件的某工厂 20 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30， 42， 41， 36， 44， 48， 37， 25， 45， 43， 31， 49， 34， 33， 43， 38， 32， 46， 39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 25， 30 2 30， 35 4 35， 40 5 40， 45 m 45， 50 n 1）确定样本频率分布表中 m， n， 值； （ 2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （ 3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 3 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30， 35的概率 19如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S ， 0， 平面 A=C=2， ， M 为 中点，过点 M、 A、 D 的截面 点 N （ 1）在图中作出截面 断其形状并说明理由； （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别是 2，过 直线 x+y =0 交 C 于 A、 B 两点，线段 中点为（ ， ） （ 1）求 C 的方程； 第 4 页（共 20 页） （ 2）在 C 上是否存在点 P，使 S ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =a 为实常数） （ 1）若 a= 2，求证：函数 f（ x）在（ 1， +）上是增函数； （ 2）求函数 f（ x）在 1， e上的最小值及相应的 x 值； （ 3）若存在 x 1， e，使得 f（ x） （ a+2） x 成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，直线 过圆 O 上的点 C，并且 B， B，圆 O 交直线 点 E、D，连接 ， O 的半径为 3 （ 1）证明： D 2）求 长 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C： =2线 l： （ t 是参数） （ 1）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； （ 2）过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 45的直线，交 l 于点 A，求 |最大值与最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 1| 2|x+a|， a 0 （ 1）若 a=1 时，求不等式 f（ x） 1 的解集； （ 2）若 f（ x）的图象与 x 轴围成的三角形面积小于 6，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， 3， B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A 1， 0 B 0， 1， 2 C 1， 0， 1 D 2， 1， 0 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式变形得：（ x 3）（ x+1） 0， 解得： 1 x 3，即 B=（ 1， 3）， A= 2， 1， 0， 1， 2， 3， AB=0， 1， 2， 故选： B 2设复数 z 满足 =i，则 z 的虚部为（ ） A 2 B 0 C 1 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 设 z=a+a， b R，根据复数的运算法则，得到 ，解得即可 【解答】 解：设 z=a+a， b R， =i， 1 z=i+ 1 a bi=i+b， ， a=0， b= 1， 故选： C 3为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A简单的随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样 【考点】 分层抽样方法 【分析】 若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 【解 答】 解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大 第 6 页（共 20 页） 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理 故选： C 4等比数列 前 n 项和为 知 S4=a2+2，则 ） A B C 2 D 2 【考点】 等 比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， S4=a2+2， ， =32， 则 =q 故选： C 5设函数 f（ x） = ，若 f（ a） 1，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 2， +） B（ 0， +） C（ 2， +） D（ ， 0） （ 2，+） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据分段函数的表达式，分别对 a 进行分类讨论即可得到结论 【解答】 解：若 a 1，由 f（ a） 1 得 1，即 a 2，此时 a 2， 若 a 1，则由 f（ a） 11 得 2 a 1，则 a 0，即 a 0，此时 a 0 综上 a 2 或 a 0， 即 a 的取值范围是（ ， 0） （ 2， +）， 故选： D 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B 32 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，后底面与下面的侧面垂直 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，后底面与下面的侧面垂直 该几何体的体积 V= 42 4= 故选： D 第 7 页（共 20 页） 7已知圆心为 C 的圆经过点 A（ 1， 1）和 B（ 2， 2），且圆心 C 在直线 l： x y+1=0 上，则点 C 与坐标原点的距离为（ ） A B 5 C 13 D 25 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设圆心为 C（ a， b），由圆心为 C 的圆经过点 A（ 1， 1）和 B（ 2， 2），且圆心 l： x y+1=0 上，列出方程组，求出 C 点坐标，由此能求出点 C 与坐标原点的距离 【解答】 解：设圆心为 C（ a， b）， 则 ， 解得 a= 3， b= 2， 点 C 与坐标原点的距离为 d= = 故选： A 8执行如图所示的程序框图，若输入的 x， y， k 分别为 1， 2， 3，则输出的 N=（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 N， x， y， n 的值，当 n=4 时不满足条件3 n，退出循环，输出 N 的值为 【解答】 解：模拟执行程序，可得 x=1， y=2， k=3， n=1 满足条件 3 n， N= ， x=2， y= ， n=2 满足条件 3 n， N= ， x= ， y= ， n=3 满足条件 3 n， N= ， x= ， y= ， n=4 不满足条件 3 n，退出循环，输出 N 的值为 故答案为： B 第 8 页（共 20 页） 9已知 M 是球 O 的直径 的一点， 平面 ， M 为垂足， 截球 ，则球 O 的表面积为（ ） A 3 B 9 C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设球的半径为 R，根据题意知由与球心距离为 R 的平面截球所得的截面圆的面积是 ，我们易求出截面圆的半径为 1， 根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积 【解答】 解：设球的半径为 R， 平面 与球心的距离为 R， 截球 O 所得截面的面积为 ， d= R 时， r=1， 故由 R2=r2+ 2+（ R） 2， 球的表面积 S=4 故选： C 10已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 P 在双曲线的右支上，且 |4|则此双曲线的离心率 e 的最大值为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线的定义可得 | |3|2a，再根据点 P 在双曲线的右支上，| c a，从而求得此双曲线的离心率 e 的最大值 【解答】 解： P 在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可得 | |2a， |4| 4| |2a，即 | a， 根据点 P 在双曲线的右支上，可得 | a c a， a c，即 e ， 此双曲线的离心率 e 的最大值为 ， 故选： C 11如图，已知 圆 O 的直径， ，点 C 在直径 延长线上， ，点 P 是圆O 上半圆上的动点， 以 边作等边三角形 点 D 与圆心分别在 两侧，记 第 9 页（共 20 页） x，将 面积之和表示成 x 的函数 f（ x），则 y=f（ x）取最大值时 ） A B C D 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 由三角形面积公式可得 S 余 弦定理可得 2+22 212 4而求得 S （ 5 4再利用三角恒等变换求最大值时的 x 的值 【解答】 解： S C 2+22 212 4 S （ 5 4 故 f（ x） =（ 5 4 f（ x） = =2x ） + ， 故当 x = ，即 x= 时，有最大值； 故选 A 12定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x 4） = f（ x）且在 0， 2上为增函数，若方程 f（ x） =m（ m 0）在区间 8， 8上有四个不同的根 x1+x2+x3+值为（ ） A 8 B 8 C 0 D 4 【考点】 根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用 【分析】 由条件 “f（ x 4） = f（ x） ”得 f（ x+8） =f（ x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在 0， 2上为增函数， 由这些画出示意图，由图可解决问题 【解答】 解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在 0， 2上为增函数， 综合条件得函数的示意图，由图看出， 四个交点中两个交点的横坐标之和为 2 （ 6）， 另两个交点的横坐标之和为 2 2， 所以 x1+x2+x3+ 8 故选 B 第 10 页（共 20 页） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设 ， 是夹角为 60的两个单位向量，若 = + 与 =2 3 垂直，则 = 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件便可以得到 ， ，而根据 与垂直，从而有 ，进行数量积的运算即可得出关于 的方程，解方程便可得出 的值 【解答】 解：根据题意， ； ； = ； 解得 故答案为： 14若 ，则目标函数 z=x+2y 的取值范围是 2， 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=x+2y 表示直线在 y 轴上的截距的一半，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值与最小值即可 【解答】 解：不等式组表示的平面区域如图所示 因为直线 z=x+2y 过可行域内 B（ 2， 2）的时候 z 最大，最大值为 6； 第 11 页（共 20 页） 过点 C（ 2， 0）的时候 z 最小，最小值为 2 所以线性目标函数 z=x+2y 的取值范围是 2， 6 故答案为： 2， 6 15已知（ 1+ 1+x） 5 的展开式中 系数为 5，则 a= 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据（ 1+x） 5 展开式的各项特征，得出（ 1+ 1+x） 5 的展开式中 系数是a + ，由此列出方程求 a 的值 【解答】 解：（ 1+x） 5=1+ x+ ， （ 1+ 1+x） 5 的展开式中 系数为 a + =5， 即 10a+10=5， 解得 a= 故答案为： 16已知数列 前 n 项和为 ， 0， =41，则 19 【考点】 数列递推式 【分析】 利用递推关系可得： 1=4，再利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】 解： =41， ，当 n 2 时， 11 1， 化为 1 0， 1=4， 数列 k N*）为等差数列，公差为 4， +4 （ 5 1） =19， 故答案为： 19 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 第 12 页（共 20 页） 17已知 a， b， c 分别为 三个内角 A， B， C 的对边， a=2 且（ 2+b）（ （ c b） 1）求角 A 的大小； （ 2）求 面积的最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由条件利用正弦定理可得 b2+再由余弦定理可得 A= （ 2）利用基本不等式可得 4，当且仅当 b=c=2 时，取等号，此时， 等边三角形，从而求得面积的最大值 【解答】 解：（ 1） ， a=2，且（ 2+b）（ =（ c b） 利用正弦定理可 得（ 2+b）（ a b） =（ c b） c，即 b2+，即 b2+4= = = ， A= （ 2）再由 b2+，利用基本不等式可得 4 2bc= 4，当且仅当 b=c=2 时，取等号， 此时， 等边三角形，它的面积为 2 2 = ， 故 面积的最大值为： 18随机观测生产某种们零件的某工厂 20 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30， 42， 41， 36， 44， 48， 37， 25， 45， 43， 31， 49， 34， 33， 43， 38， 32， 46， 39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 25， 30 2 30， 35 4 35， 40 5 40， 45 m 45， 50 n 1）确定样本频率分布表中 m， n， 值； （ 2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （ 3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 3 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30， 35的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）利用频数定义能求出 m， n，利用频率计算公式能求出 （ 2）由频率分布直方图，能画出频率分布列图 第 13 页（共 20 页） （ 3）根据题意 B（ 3， 由此能求出至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30， 35的概率 【解答】 解：（ 1） 20 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30， 42， 41， 36， 44， 48， 37， 25， 45， 43， 31， 49， 34， 33， 43， 38， 32， 46， 39， 36 （ 40， 50区间内的频数 m=6，（ 45， 50区间内的频数 n=3， = （ 2）由频率分布直方图，画出频率分布列如下图： （ 3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（ 30， 35的频率为 设所取的 3 人中，日加工零件数落在区间（ 30， 35的人数为 ，则 B（ 3， P（ 1） =1 P（ =0） =1 （ 1 3= 至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30， 35的概率为 19如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S ， 0， 平面 A=C=2， ， M 为 中点，过点 M、 A、 D 的截面 点 N （ 1）在图中作出截面 断其形状并说明理由； （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；平行投影及平行投影作图法 【分析】 （ 1）取 点 N，连结 作出截面 面 平行四边形 （ 2）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 平面 成角的正弦值 【解答】 解：（ 1） M 为 中点，过点 M、 A、 D 的截面 点 N， N 是 点，即取 点 N，连结 作出截面 理由如下： M 是 点， N 是 点， 底面是直角梯形的四棱锥 S ， 0， 平面 B=， ， ， D， M、 A、 D、 N 四点共线， 第 14 页（共 20 页） 截面 平行四边形 （ 2）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， C（ 2， 2， 0）， D（ 1， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， S（ 0， 0， 2）， M（ 0， 1， 1）， A（ 0， 0， 0）， =（ 1， 2， 0）， =（ 0， 1， 1）， =（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=1，得 =（ 0， 1， 1）， 设直线 平面 成 角为 ， 则 = = 直线 平面 成角的正弦值为 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右焦点分别是 2，过 直线 x+y =0 交 C 于 A、 B 两点，线段 中点为（ ， ） （ 1）求 C 的方程； （ 2）在 C 上是否存在点 P，使 S ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由已知直线方程求得 c 值，再由 “点差法 ”结合已知得到 合隐含条件求得 值，则椭圆方程可求； （ 2）求出过 直线 x+y =0 平行的直线方程，与椭圆方程联立求得使S 的点 P 的坐标，在验证直线 x+y =0 的右上侧椭圆上不存在满足条件的 P 得答案 【解答】 解：（ 1）由直线 x+y =0 过 y=0，得 x= ，即 c= 第 15 页（共 20 页） 设 A（ B（ 则 ， ， 两式作差可得： ， 化为 ，则 ， 联 立 ，解得 ， 椭圆 C 的方程为： ； （ 2）如图，由（ 1）可得， ），过 与直线 x+y =0 平行的直线方程为y= 1 （ x+ ）， 即 y= x ， 联立 ，解得 或 椭圆上的两点 P（ 0， ）、（ ）满足 S ； 再设与直线 x+y =0 平行的直线方程为 x+y=m， 联立 ，可得 346=0， 由 =1612（ 26） =72 8，解得 m= 3， 当 m=3 时，直线 x+y=3 与直线 x+y =0 的距离为 ， 而直线 x+y+ 与直线 x+y =0 的距离为 ， ， 直线 x+y =0 的右上侧，椭圆上不存在点 P，满足 S 综上，椭圆上的两点 P（ 0， ）、（ ）满足 S 第 16 页（共 20 页） 21已知函数 f（ x） =a 为实常数） （ 1）若 a= 2，求证：函数 f（ x）在（ 1， +）上是增函数； （ 2）求函数 f（ x）在 1， e上的最小值及相应的 x 值； （ 3）若存在 x 1， e，使得 f（ x） （ a+2） x 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）当 a= 2 时 故函数 在（ 1， +）上是增函数 （ 2） ，当 x 1， e， 2x2+a a+2， a+2若 a 2， f（ x）在 1， e上非负，故函数 f（ x）在 1， e上是增函数 若 2a 2，当 时 f（ x） =0，当 时， f（ x） 0，此时 f（ x）是减函数； 当 时， f（ x） 0，此时 f（ x）是增函数 所以此时有最值若 a 2f（ x）在 1， e上非正，所以 f（ x） f（ e） =a+ （ 3）由题意可化简得 （ x 1， e），令 （ x 1， e），利用导数判断其单调性求出最小值为 g（ 1） = 1 【解答】 解：（ 1）当 a= 2 时， f（ x） =2 x （ 1， +）， ， （ 2） ，当 x 1， e， 2x2+a a+2， a+2 若 a 2， f（ x）在 1， e上非负（仅当 a= 2， x=1 时， f（ x） =0），故函数 f（ x）在 1，e上是增函数，此时 f（ x） f（ 1） =1 若 2a 2，当 时， f（ x） =0； 当 时， f（ x） 0，此时 f（ x）是减函数； 当 时， f（ x） 0，此时 f（ x）是增函 数 故 f（ x） = 第 17 页（共 20 页） 若 a 2f（ x）在 1， e上非正（仅当 a= 2x=e 时， f（ x） =0）， 故函数 f（ x）在 1， e上是减函数，此时 f（ x） f（ e） =a+ 综上可知，当 a 2 时， f（ x）的最小值为 1，相应的 x 值为 1；当 2a 2 时， f（ x） 的最小值为 ，相应的 x 值为 ；当 a 2， f（ x）的最小值为 a+ 相应的 x 值为 e （ 3）不等式 f（ x） （ a+2） x，可化为 a（ x 2x x 1， e， 1 x 且等号不能同时取，所以 x，即 x 0， 因而 （ x 1， e） 令 （ x 1， e），又 ， 当 x 1， e时 ， x 1 0， 1， x+2 20， 从而 g（ x） 0（仅当 x=1 时取等号），所以 g（ x）在 1， e上为增函数， 故 g（ x）的最小值为 g（ 1） = 1，所以 a 的取值范围是 1， +） 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，直线 过圆 O 上的点 C，并且 B， B，圆 O 交直线 点 E、D，连接 ， O 的半径为 3 （ 1）证明： D 2）求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）由等腰三角形的三线合一，连接 得 0，由圆的切割线定理即可得到； （ 2）先由三角形相似的判定定理可知 比例关系，再由切割线定理列出方程，求出 长 【解答】 解：（ 1）证明：如图，连接 由 B， B， 即有 则 O 的切线， 又 圆 O