3.2三角形内切圆

1 确定一个圆的位置与大小的条件是什么 圆心与半径 2 叙述角平分线的性质与判定 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定 到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 3 下图中 ABC与圆O的关系 ABC是圆O的内接三角形 圆O是 ABC的外接圆圆心O点叫 ABC的外心 知识回顾 或 不在同一直线上的三点 A B C O 如图是一块三角形木料 木工师傅要从中裁下一块圆形用料 怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢 三角形的外接圆在实际中很有用 但还有用它不能解决的问题 如 三角形的内切圆 O r 思考下列问题 1 如图 若 O与 ABC的两边相切 那么圆心O的位置有什么特点 圆心0在 ABC的平分线上 2 如图2 如果 O与 ABC的内角 ABC的两边相切 且与内角 ACB的两边也相切 那么此 O的圆心在什么位置 圆心0在 BAC ABC与 ACB的三个角的角平分线的交点上 O M A B C N 探究 三角形内切圆的作法 作法 A B C 1 作 B C的平分线BM和CN 交点为I I 2 过点I作ID BC 垂足为D 3 以I为圆心 ID为半径作 I I就是所求的圆 M N 试一试 你能画出一个三角形的内切圆吗 定义 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 1 三角形的内心到三角形各边的距离相等 性质 O r 2 三角形的内心在三角形的角平分线上 1 如图1 ABC是 O的三角形 O是 ABC的圆 点O叫 ABC的 它是三角形的交点 外接 内接 外心 三边中垂线 2 如图2 DEF是 I的三角形 I是 DEF的圆 点I是 DEF的心 它是三角形的交点 外切 内切 内 三条角平分线 3 三角形的内切圆能作 个 圆的外切三角形有 个 三角形的内心在三角形的 1 无数 内部 2 若 A 80 则 BOC 度 130 20 如图 在 ABC中 点O是内心 1 若 ABC 50 ACB 70 求 BOC的度数 3 若 BOC 100 则 A 度 4 试探索 A与 BOC之间存在怎样的数量关系 请说明理由 例1 如图 一个木模的上部是圆柱 下部是底面为等边三角形的直三棱柱 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆 已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm 求圆柱底面圆的半径 r 如图是这个木模的俯视图 老师提示 等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 2 3 1 等边三角形的内切圆半径 外接圆的半径和高的比为 D A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 平行四边形 2 下列图形中 一定有内切圆的四边形是 B 例 如图 已知 O是 ABC的内切圆 切点分别点D E F 设 ABC周长为 求证 O A B C D 已知 在 ABC中 BC 14 AC 9 AB 13 它的内切圆分别和BC AC AB切于点D E F 求AF BD和CE的长 A B C F D E x x 13 x 13 x 9 x 9 x 13 x 9 x 14 解得x 4 AF 4 BD 9 CE 5 如图 PA与PB分别切 O于A B两点 C是上任意一点 过C作 O的切线交PA及PB于D E两点 若PA PB 5cm 则 PDE的周长为 cm 10cm 如图 ABC的顶点在 O上 ABC的各边与 I都相切 则 ABC是 I的三角形 ABC是 O的三角形 I叫 ABC的圆 O叫 ABC的圆 点I是 ABC的心 点O是 ABC的心 外切 内接 内切 外接 内 外 知识回顾 三角形三边中垂线的交点 1 OA OB OC2 外心不一定在三角形的内部 三角形三条角平分线的交点 1 到三边的距离相等 2 OA OB OC分别平分 BAC ABC ACB3 内心在三角形内部 o A B C 1 ABC的内切圆 O与AB BC AC分别相切于点D E F 且AB 5厘米 BC 9厘米 AC 6厘米 则AD BE CF 1厘米 4厘米 5厘米 探讨1 1 任意一个三角形一定有一个外接圆 并且只有一个外接圆 2 任意一个圆一定有一个内接三角形 并且只有一个内接三角形 3 任意一个三角形一定有一个内切圆 并且只有一个内切圆 4 任意一个圆一定有一个外切三角形 并且只有一个外切三角形正确说法有 1 3 探讨2 设 ABC的内切圆的半径为r ABC的各边长之和为L ABC的面积S 我们会有什么结论 C D E F L为三角形周长 r为内切圆半径 r A B C 直角三角形的两直角边分别是5cm 12cm 则其内切圆的半径为 O 2cm A B C O c D E r 如 直角三角形的两直角边分别是5cm 12cm则其内切圆的半径为 探讨3 如图 直角三角形的两直角边分别是a b 斜边为c则其内切圆的半径 为 以含 的代数式表示 2cm r b a E D F 如图 朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑 以树立起文明古镇的形象 已知雕塑中心M到道路三边AC BC AB的距离相等 AC BC BC 30米 AC 40米 请你帮助计算一下 镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远 M 若直角三角形斜边长为10cm 其内切圆的半径为2cm 则它的周长为 A 24cmB 22cmC 14cmD 12cm 变式练习2 A 如图 I是 ABC的内心 连结AI并延长交BC边于点D 交 ABC的外接圆于点E 求证 1 EI EB 2 IE AE DE 小结 三角形的内