江西萍乡高三数学上学期期末考试文

江西省萍乡市2019届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答题无效一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1.已知全集，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，然后再与集合A求交集。【详解】解：因为，所以因为，所以 ，故选C.【点睛】本题考查了有限集合的交、补运算，解题时应注意集合运算的顺序，属于基础题。2.若复数满足，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过复数四则运算求出z的标准形式，然后得出z的虚部。【详解】解：因为复数满足所以所以复数z虚部为，故选D.【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数的虚部，求解复数虚部的前提是将复数表示为的标准形式，然后根据定义求解。3.年央视大型文化节目经典咏流传的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，节目组为热心观众给以奖励，要从名观众中抽取名幸运观众先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样方法抽取人，则在人中，每个人被抽取的可能性（ ）A. 均不相等B. 都相等，且为C. 不全相等D. 都相等，且为【答案】B【解析】【分析】抽样方式的变化并不会改变每个个体被抽取的几率，故概率仍为，再通过约分便可得出答案。【详解】解：先利用简单随机抽样剔除18人，每人被剔除的概率是相等的，然后再使用系统抽样，每个人被抽取的概率仍旧是相等的，故每个个体被抽到的机会是均等的，每个个体被抽到的概率为样本容量比总体容量，即在2018人中，抽取50人概率为，故答案选B.【点睛】本题考查了抽样的性质，不论什么样的抽样方式都遵循机会均等的原则，概率是不会发生改变的。4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中有( )组互相垂直的棱A. 6B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】先由三视图找出几何体，然后根据图形及数据进行分析得出结果。【详解】解：根据三视图可以得出该几何体为长方体内一个三棱锥，如图所示故可得到，故有3对互相垂直的棱，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图知识，由三视图解析出几何体是解题的关键。5.（2017新课标全国卷文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6.矩形中，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为四面体的外接球的球心到各顶点的距离相等，设与的交点为点，在矩形中，可得，当沿翻折后，上述等量关系不会发生改变，故得到球心，进而解得半径和体积。【详解】解：设与的交点为点，在矩形中，可得，当沿翻折后，上述等量关系不会发生改变，因为四面体的外接球的球心到各顶点的距离相等，所以点即为球心，在中，,故，所以球的体积为，故选A.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，解决问题的关键是要能准确找出球的球心与半径，属于中档题。7.若，均为锐角且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】为锐角， ， ，故选B.8.祖暅（公元前56世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。设由椭圆 所围成的平面图形绕 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积。【详解】解：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，先构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积为，故选A。【点睛】本题考查了类比推理的问题，类比推理过程中要注重方法的类比。9.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.详解：由题意，当在线段上时，当点在线段上时，当在四边形内（含边界）时，（），又，作出不等式组（）表示的可行域，如图，表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，即，故选C.点睛：在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第象限有，第象限有，第象限有，第象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.10.函数且的图象大致是A. B. C. D. 【答案】D【解析】且是偶函数，排除 ，当时，可得，令，作出与在 上图象，如图，可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，可排除 ；由，可排除 ，故选D.11.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数下列判断正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点对称C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在上单调递增【答案】D【解析】【分析】由相邻对称轴之间的距离得出周期，解出，然后根据向左平移得到的图象为偶函数，解出的值，然后对选项进行判断。【详解】解：图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以周期为，选项A不正确，故，解得，函数图象向左平移单位后得，因为新函数为偶函数，故当时，即，所以，因为，所以，原函数为，函数的对称中心为，选项B不正确，函数的对称轴为，选项C不正确，因为，解得：，故函数的单调增区间为，当时，函数的一个单调增区间为，而所以D正确.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，解决问题的关键是由图象求出函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质得出正确选项，属于中档题.12.已知函数，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意存在使得等价于存在使，令，即求在上的值域，当时，单调递减，当时，单调递增又， ，所以在上的值域为，所以实数的取值范围是，故选B点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.二、填空题13.已知函数的定义域为，函数，则的定义域为 _【答案】.【解析】因为函数定义域为，要使函数有意义,需有解得 ，所以函数的定义域为.14.已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_.【答案】【解析】试题分析：当时，则又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为15.若直线与圆相交于、两点，且点、关于直线对称，则不等式组表示的平面区域的面积为 _.【答案】1/4【解析】【分析】由与关于对称得到直线与垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到的值；设出与的坐标，然后联立与圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于的关系式，再根据的中点在上得到两横坐标之和等于-1，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，把的值和的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积即可【详解】两点，关于直线对称，直线与垂直，又圆心 在直线上 原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域， 为不等式所表示的平面区域，联立 ，解得 ，所以 故答案为【点睛】本题考查学生掌握直线与圆的位置关系、二元一次不等式（组）与平面区域等基本知识，考查学生灵活运用中点坐标公式化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题16.在中，内角，的对边分别是，若，则 _【答案】【解析】【分析】将条件转化为后，得出角B 的大小，然后利用角B将转化为边，然后得出关于的一个方程，再利用余弦定理得出的第二个方程，构成方程组，从而解出.【详解】解：因为，且所以，化简得因为故可得，解得，又因为所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，即，建立方程组，（2）式平方得，将其代入（1）式即，解得，所以.【点睛】本题考查了正余弦定理的使用，使用正弦定理化简等式，一定要注意等式左右两边的次数必须相同，同时还考查了两角和差公式的知识，属于中档题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的各项为正，又，成等比数列，若，求的前项和【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由可得，两式相减得又，可得，故是首项为1，公比为3的等比数列，即可求出通项公式（2）设的公差为，由，可得，故可设，又，由题意可得，解得等差数列的各项为正，故d0求出，再利用错位相减即可求出结果试题解析：（1）由可得，两式相减得又，故是首项为1，公比为3的等比数列，（2）设的公差为，由得，可得，故可设，又，由题意可得，解得等差数列bn的各项为正，d0d=2，所以，可得，考点：1利用递推关系求数列通项公式；2裂项相消求和18.如图，已知中，且，绕旋转至，使点与点之间的距离.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）证明线面垂直，即证与平面中的两条直线垂直即可；（2）求异面直线与所成的角的余弦值，先通过平行关系，找出异面直线所成角的平面角，然后在三角形中求解角的大小。【详解】解（1），又平面， 又在中，即， 又平面（2）过作，在平面中作于，连，则为与所成角 ，又因为，平面，又， 又在中， ，即与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明、异面直线所成角的求解，证明线面垂直即证明垂直于平面内两条相交直线，求异面直线所成角的大小首先要能借助于平行关系找出异面直线所成角，然后在多边形中求解角的大小。19.为有效促进我市体育产业和旅游产业有机融合，提高我市的知名度，更好地宣传萍乡武功山，并通过赛事向社会各界传播健康、低碳、绿色、环保的运动理念。在今年9月21日第九届环鄱阳湖国际自行车大赛第九站比赛在我市武功山举行。在这次89.5公里的自行车个人赛中，其中25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：1401235666689150234555791600567（1）现将参赛选手按成绩由好到差编为125号，再用系统抽样方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为145分钟，若甲被选取，求被选取的其余4名选手的成绩的平均数；（2）若从总体中选取一个样本，使得该样本的平均水平与总体相同，且样本的方差不大于7，则称选取的样本具有集中代表性，试从总体（25名参赛选手的成绩）选取一个具有集中代表性且样本容量为5的样本，并求该样本的方差【答案】（1）157 （2）所选取的样本为148、150、153、154、155， 此样本的方差为6.8.【解析】【分析】（1）按照系统抽样的方法进行先分组，然后在第一组中抽取一个样本，然后在第一个样本的编号上，依次加组距便可全部的样本，进而得到均值；（2）25个样本的均值为152，因为要确保方差不大于7，故选取的5个样本应在均值152的周围，从而确定5个样本。【详解】解：（1）将参赛选手按成绩由好到差分为5组，则第一组（140，141，142，143，145），第二组（146，146，146，146，148），第三组（149，150，152，153，154），第四组（155，155，155，157，159），第五组（160，160，165，166，167），甲的编号为第一组的第5个，则其余4名选手的成绩分别为148、154、159、167， 这4个成绩的平均数 （2）25名参赛选手的成绩的总分为3800，总体的平均数为具有集中代表性且样本容量为5的一个样本为：148、150、153、154、155， 该样本的方差为所选取的样本为148、150、153、154、155， 此样本的方差为6.8.【点睛】本题考查了系统抽样、均值、方差等知识，同时考查了学生数据分析的核心素养。20.记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”已知椭圆，以椭圆的顶点焦点为作相似椭圆（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于，两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值（为坐标原点）？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【答案】（）（）的面积为定值6【解析】【分析】（）椭圆的焦点为椭圆的顶点，故可得椭圆的焦点，离心率与椭圆相同，故可得椭圆；（）当直线的斜率存在时，设出直线，由直线与椭圆只有一个公共点得出与的等量关系，然后再用与求出的长度、点到直线的距离，从而得出的面积，利用减元思想便可得结果。【详解】解：（）由条件知，椭圆的离心率，且焦点为，椭圆的方程为； （）当直线的斜率存在时，设直线联立方程组得，因为直线与椭圆仅有一个公共点，故得，联立方程组，化简得设，则 ，原点到直线的距离,，当直线的斜率不存在时，或，则，原点到直线的距离，综上所述，的面积为定值6【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆的定值研究，解决问题的关键是利用韦达定理、设而不求思想进行减元，将多元问题变为一元（定值）问题。21.已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设，对任意的，关于的方程在有两个不同的实数根，求实数的取值范围(其中为自然对数的底数).【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）对函数求导研究导函数的正负情况，进而得到单调区间；（2）先求得当时，的值域为，方程在上有两个不同的实数根满足即可.解析：（1） ，当时，在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，此时在上单调递增，在上单调递减.（2），.当时，单调递增，当时，单调递减，当时，的值域为，又时，对任意时，的取值范围为. 方程在上有两个不同实数根，则.且满足，由解得，由，解得，由得，令，易知单调递增，而，于是时，解得，综上得，即实数的取值范围为：.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22.选修4