理科数学参考

2019年上期衡阳市八中高二年度过关考试理科数学 参考答案考试时间：2019年7月7日7:509:50 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1A 2C 3A 4B 5D 6D 7B 8A 9B 10C 11D 12A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15 16三、解答题（本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （1）； （2）.【分析】（1）根据同角三角函数关系得到2（1cos2A）-3cosA=0，解出角A的余弦值，进而得到角A；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到a=，再结合正弦定理得到最终结果.【详解】（1）在中，解得，或（舍去），；（2）的面积，再由可得，故，由余弦定理可得：， 的值是.18（1）证明：取中点，连结，因为底面为菱形，所以因为为的中点，所以1分在中， 为的中点，所以设，则，因为，所以2分【2分段另证：在中，为的中点，所以在和中，因为，所以 所以所以】因为，平面，平面，所以平面3分因为平面，所以平面平面4分（2）解法1：因为，平面，平面，所以平面所以 由（1）得，所以，所在的直线两两互相垂直5分以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系6分设，则，7分所以，8分设平面的法向量为，则 令，则，所以9分设平面的法向量为，则 令，则，所以10分设二面角为，由于为锐角，所以11分所以二面角的余弦值为12分解法2：因为，平面，平面，所以平面所以5分所以，过点作，为垂足，过点作交于点，连接，6分因为，所以，即所以为二面角的平面角7分在等腰中，根据等面积法可以求得8分进而可以求得，所以，9分在中，所以在中，所以，即10分在中，所以11分所以二面角的余弦值为12分19.（）；（），或.试题分析：（）由题意，根据离心率定义得到与的关系式，再由点求出直线的方程，根据点到直线距离公式，得到与的关系式，再结合，从而得出椭圆方程；（）根据题意，可将直线斜率存在与否进行分类讨论，由“线段为直径”，得，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.试题解析：（）由已知得，因为过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，所以，解得， 故所求椭圆的方程:； 5分（）椭圆左焦点，当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于，两点，显然不存在满足条件的直线. 6分当直线斜率存在时，设直线：联立y=kx+3kx24+y2=1，消y得，(1+4k2)x2+83k2x+12k2-4=0 由于直线经过椭圆左焦点，所以直线必定与椭圆有两个交点，0恒成立设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=-83k21+4k2，x1x2=12k2-41+4k2 若以为直径的圆过点，则，即x1x2+y1y2=0 (*)而y1y2=(kx1+3k)(kx2+3k)=k2x1x2+3k2(x1+x2)+3k2，代入(*)式得，(1+k2)x1x2+3k2(x1+x2)+3k2=0 即(1+k2)12k2-41+4k2-3k283k21+4k2+3k2=0，解得k2=411，即k=21111或k=-21111所以存在k=21111或k=-21111使得以线段为直径的圆过原点故所求的直线方程为，或.12分20. （1）a=1,b=-1； （2）gx1+gx2-4.【分析】（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得a,b的值. （2）将gx转化为只含有a的式子.对函数gx求导，利用二次函数零点分布的知识求得a的取值范围并利用韦达定理写出x1,x2的关系式. 化简g(x1)+g(x2)的表达式，并利用构造函数法求得g(x1)+g(x2)0a2-4a0a0，解得a4，且x1+x2=a,x1x2=a.g(x1)+g(x2)=aln(x1x2)+12(x12+x22)-a(x1+x2)=alna-12a2-a.令f(x)=xlnx-12x2-x(x4)，则f(x)=lnx+1-x-1=lnx-x，令h(x)=lnx-x，则当x4时，h(x)=1x-10,h(x)在(4,+)上为减函数，即h(x)h(4)=ln4-40,即f(x)0，f(x)在(4,+)上为减函数，即f(x)f(4)=8ln2-12，g(x1)+g(x2)8ln2-12，又8ln2-12-(-4)=8ln2-8=8(ln2-1)=8ln2e,而ln2e0，8ln2e0，即8ln2-12-4， gx1+gx2-4.21. （1）；（2）不需要调整.【分析】（1）计算出每年的年度库存积压率，可知13,15,17,18年畅销，14,16年不畅销；列举出所有年份中任取2年的取法共15种，其中2年均为不畅销的取法仅有1种，故根据古典概型及对立事件的概率可求得结果；（2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出2019年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的2019年的年销售利润预估值，可知两值相差3.66千万元，由此可得结论.【详解】（1）公司20132018年年度存积压率分别为：2.9300011000，3600011000，7.5900011000，81100011000则该饮品在13,15,17,18年畅销记为A1,A2,A3,A4，14,16年不畅销记为B1,B2任取2年的取法有：A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,B1, A1,B2,A2,A3,A2,A4,A2,B1, A2,B2,A3,A4,A3B1,A3,B2, A4,B2,B1,B2，共15种。其中2年均不畅销的取法是B1,B2,共1种该款饮料这年中至少有1年畅销的概率为：P=1115=1415（2）由题意得，2019年数据与2013，2015，2017，2018年数据重组如下表：年份20132015201720182019年生产件数x（千万件）3691111年销售利润y（千万元）224882100108经计算得x=8，y=72i=15xiyi=3380，i=15xi2=368b=i=15xiyi5xyi=15xi25x2=33805872368582=1251210.42a=ybx=7210.428=11.36y=10.42x11.36当x=11时，y=10.421111.36=103.26，此时预估年销售利润为103.26千万元将x=11代入y=9.90x9.30中得，y=9.90119.30=99.6，此时预估年销售利润为99.6千万元103.2699.6=3.664，故认为2019年的生产和销售计划不需要调整.22.【解析】试题分析：（1）将参数方程化为普通方程为，进而得到的极坐标方程，再得极坐标方程化为直角坐标方程为.（2）将代入解得，即|OA|=2，进而得到|OB|=1，即可求得|AB|的值.试题解析：（1）将参数方程化为普通方程为，即，的极坐标方程为.将极坐标方程化为直角坐标方程为.（2）将代入：整理得，解得，即.曲线是圆心在原点，半径为1的圆，射线与相交，即，即.