初 等 矩 阵 的 应 用.doc

编号 学学士士学学位位论论文文 初初 等等 矩矩 阵阵 的的 应应 用用 学生姓名 阿依努尔 玉苏甫 学 号 20060105009 系 部 数学系 专 业 信息与计算科学 年 级 2006 年级 7 班 指导教师 阿布都瓦克 玉奴司 完成日期 2011 年 5 月 1 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 1 摘 要 本文主要是通过建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系和实际例子 进一步体 现出矩阵的初等变换与初等矩阵之间的密切关系 并且在这个基础上介绍初等矩阵 的六种应用 关键词 矩阵 初等变换 初等矩阵 可逆矩阵 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 2 目目 录录 摘摘 要要 1 1 引言引言 1 1 1 1 基本概念及基本定理基本概念及基本定理 1 1 1 2 1 互换两行或列 2 1 2 2 以数乘某行或列 3 0k 1 2 3 以数乘某行 列 加到另一行 列 上去 3 k 2 2 主要结果主要结果 4 4 2 12 1 初等矩阵在求逆阵的应用初等矩阵在求逆阵的应用 4 4 2 22 2 初等矩阵在求矩阵秩的应用初等矩阵在求矩阵秩的应用 6 6 2 32 3 初等矩阵求出初等矩阵求出或或中的应用中的应用 7 7 1 A B 1 BA 2 42 4 初等矩阵在解方程组中的应用初等矩阵在解方程组中的应用 9 9 2 52 5 初等矩阵在确定向量组的线性关系的应用初等矩阵在确定向量组的线性关系的应用 1010 2 62 6 初等矩阵在矩阵的三角分解初等矩阵在矩阵的三角分解 中的应用中的应用 1010 LU 总总 结结 1212 参考文献参考文献 1313 致致 谢谢 1414 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 1 引言 初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本变换 应用广泛 并且三种初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 即互换两行或列 以数乘某行或列 以数乘某行 列 加到另一行 列 上去 利用初等矩0k k 阵与矩阵的初等变换之间的关系 本文主要介绍初等矩阵的六种应用 1 初等矩 阵在求逆矩阵上的应用 2 初等矩阵在求矩阵秩的应用 3 初等矩阵求出 1 A B 或 中的应用 初等矩阵在解方程组中的应用 初等矩阵在确定向量组的 1 BA 线性关系中的应用 初等矩阵在矩阵三角分解 LU 分解中的应用 通过举例 使得对初等矩阵的应用的认识更加深刻 1 基本概念及基本定理 定义定义 1 11 1 一个矩阵的行 列 初等变换是指对矩阵施行的下列变换 1 交换矩阵的某两行 列 2 用一个非零的数乘矩阵的某一行 列 即用一个非零的数乘矩阵的某一 行 列 的每一个元素 3 给矩阵的某一行 列 乘以一个数后加到另一行 列 上 即用某一个数 乘矩阵某一行 列 的每一个元素后加到另一行 列 的对应元素上 把上述三种初等变换分别叫做矩阵的第一种 第二种和第三种行 列 初等 变换 一个很自然的问题是 给定一个矩阵 通过若干次初等变换可把m n A 化为一个什么样形状简单的矩阵呢 下述定理给我们一个完美的回答 A 定理定理 1 11 1 设是矩阵Am n 通过行初等变换和第一种列初等变换能把化为如下形式A 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 2 1 11 2 12 1 100 010 001 00000 00000 rn rn r rrn cc cc Bcc 进而再用若干次第三种列初等变换可化为如下形式 10000 01000 00100 00000 00000 D 这里 0 rm n 定义定义 1 21 2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 E 显然 初等矩阵都是方阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 即三种初等 变换对应着三种初等方阵 1 2 1 互换两行或列 互换中第两行 即 得初等方阵E i j ij rr 1 1 01 1 1 10 1 1 E i j j 第行 i 第行 r 列 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 3 1 2 2 以数乘某行或列 0k 以数乘 E 的第 行 得初等矩阵0k i i rk E i k 第 行 1 1 1 1 E i kk i 1 2 3 以数 乘某行 列 加到另一行 列 上去 k 以乘的第行加到第 行上 或以乘的第列加到第 列上kEji ij rkr kEji ij ckc 1 1 1 1 k E ij km 利用矩阵乘法的定义 立即可以得到 定理定理 1 21 2 设是一个矩阵 对施行一次初等行变换 相当于在的Am n AA 左边乘以相应的阶初等矩阵 对施行一次初等列变换 相当于在的右边乘mAA 以相应的阶初等矩阵 n 不难看出初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵 事实上 变换的逆变换是其 ij rr 本身 则 变换的逆变换为 则 1 E ijE ij i rk 1 i r k 变换的逆变换为 则 11 E i kE i k ij rkr ij rk r 1 E ij kE ijk i 第行 j 第行 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 4 定理定理 1 31 3 设为可逆方阵 则存在几个初等方阵 使A 12 l PPP 12l APPP 推论推论 矩阵的充分必要条件是存在阶可逆方阵及可逆方阵 m n AB mPQ 使 PAQB 2 2 主要结果主要结果 2 1 初等矩阵在求逆阵的应用 当时 由 有 及 0A 12l APPP 111 11ll P PP AE 1111 11ll P PP EA 即对 1111111111 111111llllll P PPA EP PP A P PP EE A 2nn 矩阵施行初等行变换 当把变成时 原来的就变 A E AEE 1 A 这种计算格式也可以用来判断某个矩阵是否可逆 当我们将化为行阶梯形矩A A 阵时 若其中的非零的行数等于时 则可逆 否则不可逆 nA A 例例 2 12 1 设 求 012 114 210 A 1 A 解 21 31 1 012100 114010 210001 rr rr A E 12 32 1 2 012100 102110 202101 rr rr 21 110210 102110 002321 rr 1 23 1 110210 012100 002321 r rr 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 5 12 1 3 2 110210 010421 002321 rr r 100211 010421 31 0011 22 1 211 421 31 1 22 A 有时要求 把任意一个阶可逆矩阵化为若干个初等矩阵的乘积 下面看一个nA 有关的例子 例例 2 22 2 把下列可逆阵分解为初等阵的乘积 120 111 320 A 解 对进行如下初等变换 A 120 111 320 1 2 2 cc 12 100 131 380 rr 100 031 380 13 3 rr 100 031 080 23 c c 100 013 008 23 3 cc 3 1 8 100 010 008 r 100 010 001 写出每一次变换所对应的初等矩阵 并将行变换所对应的初等矩阵用表示 列 i Q 变换所对应的初等矩阵用表示 并同时写出它们的逆矩阵 j S 1 11 120120 010 010 001001 SS 1 11 100100 110 110 001001 QQ 1 22 100100 010 010 301301 QQ 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 6 1 33 100100 010 010 1008 00 8 QQ 1 22 100100 001 001 010010 SS 1 33 100100 013 013 001001 SS 于是 111111 123321 AQ QQSSS 100100100100100120 110010010013001010 001301008001010001 2 2 初等矩阵在求矩阵秩的应用 一般格式 将矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵 即mn A 相当于从左边有限次乘以对应的初等矩阵行阶梯形 其中的秩是矩阵AA BB 的非零行数 即 r Ar B 定理定理 2 12 1 初等矩阵乘以一个矩阵不改变矩阵的秩 证明证明 若中是可逆矩阵 任意矩阵 从定理 1 3 可逆矩阵可表示为一些初ACAC 矩阵的乘积 从而矩阵乘一个可逆矩阵相当于左乘一些初等矩阵 据定理 1 2CA 这些相当于对矩阵作一些列初等行变换 由初等行变换不改变矩阵的秩 这就C 证明了 r ACr C 同理右乘可逆矩阵则有 两者合在一起有 CB r CBr C r ACBr C r ACr C r CBr C r ACBr CBr C 例例 2 32 3 求矩阵的秩 32132 21313 70518 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 7 解 32132 21313 70518 12 13441 21313 70518 rr 2 1 321 3 r r3r 2r 7r 13441 071195 021332715 r 13441 071195 00000 由于中有两个非零行 所以 B Br 2A A 2 3 初等矩阵求出或中的应用 1 A B 1 BA 定理定理 2 22 2 设是级可逆矩阵 那么A An 1 A BE A B MLM 证明证明 而 1 1111llll PPPAEAPPPE QLL 1111 llll PPP A BE PPPEB 1 E A B 同理可得 如果求 则可对矩阵作初等列变换 1 YBA A B 1 E BA 例例 2 42 4 求矩阵 使 其中 XAXB 123 221 343 A 25 31 43 B 解 若可逆 则是的唯一解 A 1 XA B AX 21 31 2 3 12325 22131 34343 rr rr A B 12 32 12325 02519 026212 rr rr 13 23 2 5 10214 02519 00113 rr rr 2 3 1 2 1 10032 02046 00113 r r 10032 01023 00113 32 23 13 X 例例 2 52 5 设 311 212 123 A 则求 111 210 101 C 1 YCA 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 8 解 13 23 2 1 311 212 123 11 1 2 10 101 cc cc A C 12 32 2 2 101 2 12 5 13 32 1 2 10 1 11 cc cc 13 31 23 3 1 4 1 4 101100 0 10010 3 11314 123124 4 1 2412 1 1 1111 cc cc cc 2 3 1 1 4 100 0 10 004 234 15 6 22 13 2 22 c c 100 010 001 2 31 153 222 131 222 1 231 153 222 131 222 YCA 也可改为对作初等行变换 即得 TT AC TTTT ACEAC 行变换 即可求得 1 1 T TTTT YACAC Y 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 9 2 4 初等矩阵在解方程组中的应用 定理定理2 3 12 3 1 1 可以写成 若 1 中可逆 11 111 1 1 nn nnnnn a xa xb a xa xb L L L L L L L L L L L AXB A 那么它有唯一解 1 XA B 分析 分析 经过有限次行初等变换后 所得的就是这唯一解 1 A BE A B MLM 也是我们以前的Gauss消元法的来的解 1 XA B 定理定理2 3 22 3 2 方程组中 若 那么有解 AXB R AR Ar rN AXB 1 时有唯一解 rn 2 时有无穷多解 rn 证明证明 级子式0 不妨设位于的左上角 则 R Ar r r A r AAAXB 与 2 同解 2 可以写成 11 1111111 1 111 rrrrnn rrrrrrrrrnn a xa xbaxa x a xa xbaxa x LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L L LL L 是 1 的一般解 从而 rrr A XB 1 rrr XAB QL 12rs APPP 12rsr XPPPB L 1 2 r r x x X x Q M 从而可以得出 若 则是唯一解 111111 11 rrnn rrrrrrnn xdcxc x xdcxa x L L L L rn 1 2 r r d d X d M 若 则中为自由未知量 故方程组有无穷多解 rn 1 rn xx AXB 例例2 62 6 求解非齐次线性方程组 1234 1234 1234 31 3344 5980 xxxx xxxx xxxx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 10 解 335 10 11311 244 11311 371371 313440101 244244 15980 0000000000 B 为在数域的任意常数 1 2 12 3 4 335 244 371 244 100 010 x x Xcc x x 2 1 c cP 2 5 初等矩阵在确定向量组的线性关系的应用 一般格式 设向量组为 以为列构成矩阵 对施 12 n a aa 12 n a aaAA 行初等行变换 将它化成阶梯形矩阵从而求出其秩 若 则 r A r An 线性无关 若 则线性相关 12 n a aa r Am 12 n a aa 例例 2 72 7 已知 讨论的线性 1 1 1 1 T a 2 0 2 5 a 3 1 3 6a T 123 a aa 相关性 解 计算以向量组成的矩阵的秩 23 32 21 31 11 25 101101101 123022022 156055000 rr rr rr rr 向量个数 于是所给向量组是线性相关的 23r A 2 6 初等矩阵在矩阵的三角分解 中的应用 LU 把一个 n 阶矩阵分解成单位下三角方阵与上三角方阵乘积 即ALU 仅用行初等变换就把矩阵化为上三角方阵 一般的当一个 n 阶矩阵仅 ALUAU 用行初等变换就能化为上三角方阵 U 时 存在若干个第三种初等矩阵 使得 12 S P PP 1 1 1 12 S APPP U 类似的 每一个可逆单位下三角方阵的逆矩阵仍是单位下三角方阵 两个单位 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 11 下三角方阵的乘积仍是单位下三角方阵 由于第三种初等矩阵都是 P i j kij 单位下三角方阵 设则也是单位下三角方阵 因此 1 1 1 12 S LPPPL 是的三角分解 ALUA 例例 2 82 8 将三对角矩阵 2100 1210 0121 0012 A 分解成主对角元为 1 的下三角矩阵 和上三角矩阵的乘积 即 LUALU 解 由于第三类初等矩阵及其逆矩阵都是主对角元为 1 的同类型三角阵 因此 通过倍加行变换将的主对角线一下元素消为 O 此时倍加行变换对应的初等矩阵A 是主对元为 1 的下三角矩阵 而将化成上三角矩阵 就可将将分解为 AALU 具体作法如下 2100 1210 0121 0012 A 2132 12 23 12 2100 3 010 2 0121 0012 rrrr AA 43 3 4 3 2100 2100 3 3010 010 2 2 4 4001 001 3 3 5 0012000 4 rr AU 1 1 1 1 2 1 1 P 2 1 1 2 1 3 1 P 3 1 1 1 3 1 4 P 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELORBACHELOR S S THESISTHESIS 12 111 123 LP P P 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 3 1 4 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4 总总 结结 矩阵是现代科学技术不可缺少的数学工具 在本文中初等矩阵是研究逆矩阵 矩阵秩 向量组的线性相关性 线性方程组求解和矩阵分解等的有力且不可替代 的工具 是本文讨论的主要对象 通过它的这种工具性可以揭出各种矩阵问题的 奥秘 初等矩阵的应用不仅限