2021版高考数学第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例练习理北师大版.docx

第3讲 平面向量的数量积及应用举例基础题组练1(2019高考全国卷)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A3B2C2 D3解析：选C.因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1，0)，所以21302，故选C.2(2019高考全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. BC. D解析：选B.设a与b的夹角为，因为(ab)b，所以(ab)b0，所以abb2，所以|a|b|cos |b|2，又|a|2|b|，所以cos ，因为(0，)，所以.故选B.3(2020河北衡水模拟三)已知向量a(1，k)，b(2，4)，则“k”是“|ab|2a2b2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.由|ab|2a2b2，得a22abb2a2b2，得ab0，得(1，k)(2，4)0，解得k，所以“k”是“|ab|2a2b2”的充要条件故选 C.4.(2020河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，ABAD4，CD8.若7，3，则()A11 B10C10 D11解析：选D.以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以(5，1)，(3，4)，则15411.故选D.5已知向量|3，|2，mn，若与的夹角为60，且，则实数的值为()A. BC6 D4解析：选A.因为向量|3，|2，mn，与夹角为60，所以32cos 603，所以()(mn)(mn)m|2n|23(mn)9m4n6mn0，所以，故选A.6(2020河南郑州一模)已知e1，e2为单位向量且夹角为，设a3e12e2，b3e2，则a在b方向上的射影为_解析：根据题意得，ab9e1e26e91166，又因为|b|3，所以a在b方向上的射影为.答案：7(2020江西临川九校3月联考)已知平面向量a(2m1，2)，b(2，3m2)，且ab，则|2a3b|_解析：因为ab，所以ab2(2m1)2(3m2)0，解得m1，所以a(1，2)，b(2，1)，所以2a3b(2，4)(6，3)(8，1)，所以|2a3b|.答案：8(2020石家庄质量检测(一)已知与的夹角为90，|2，|1，(，R)，且0，则的值为_解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以(0，2)，(1，0)，(1，2)设M(x，y)，则(x，y)，所以(x，y)(1，2)x2y0，所以x2y，又，即(x，y)(0，2)(1，0)(，2)，所以x，y2，所以.答案：9已知向量m(sin 2，cos )，n(sin ，cos )，其中R.(1)若mn，求角；(2)若|mn|，求cos 2的值解：(1)若mn，则mn0，即为sin (sin 2)cos2 0，即sin ，可得2k或2k，kZ.(2)若|mn|，即有(mn)22，即(2sin 2)2(2cos )22，即为4sin248sin 4cos22，即有88sin 2，可得sin ，即有cos 212sin212.10在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解：(1)由题设知(3，5)，(1，1)，则(2，6)，(4，4)所以|2，|4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.(2)法一：由题设知：(2，1)，t(32t，5t)由(t)0，得：(32t，5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.法二：t2，(3，5)，t.综合题组练1(2020安徽滁州一模)ABC中，AB5，AC10，25，点P是ABC内(包括边界)的一动点，且(R)，则|的最大值是()A. BC. D解析：选B.ABC中，AB5，AC10，25，所以510cos A25，cos A，所以A60，BC5，因为AB2BC2AC2，所以B90.以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则A(0，0)，B(5，0)，C(5，5)，设点P为(x，y)，0x5，0y5，因为，所以(x，y)(5，0)(5，5)(32，2)，所以所以y(x3)，直线BC的方程为x5，联立解得此时|最大，为.故选B.2.(2020广东广雅中学模拟)如图所示，等边ABC的边长为2，AMBC，且AM6.若N为线段CM的中点，则()A24 B23C22 D18解析：选B.法一：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，)，因为ABC为等边三角形，且AMBC，所以MAB120，所以M(3，3)因为N是CM的中点，所以N(1，2)，所以(1，2)，(5，3)，所以23.法二：依题意知|2，与的夹角为60，且3，()(3)()2.33()34.则(34)66823.3.如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB6，MN4，则_解析：连接AP，BP，则，所以()()|2|2|21615.答案：54已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是_解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22(y)2，当x0，y时，()取得最小值为.答案：5(创新型)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m(cos B，2cos2 1)，n(c，b2a)，且mn0.(1)求C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足，|，c2，求ABC的面积解：(1)因为m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0，所以ccos B(b2a)cos C0，在ABC中，由正弦定理得sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，sin