（新课改地区）高考数学核心素养测评四十二空间直角坐标系、空间向量及其运算新人教B版.docx

核心素养测评四十二 空间直角坐标系、空间向量及其运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于()A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)【解析】选B.由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|=|,则P点坐标为()A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0,-3)【解析】选C.设P(0,0,z),则有=,解得z=3.3.若非零向量a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为()A.30B.60 C.120 D.150【解析】选C.因为(2a+b)b =0,所以2ab+b2=0,所以2|a|b|cos +|b|2=0,又因为|a|=|b|0,所以cos =-,所以=120.4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是()A.=2-2-B. =+C.+=3- D.+=4+ 【解析】选C.C项可变形为=+,因为+=1, 所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.5.在空间四边形ABCD中,+ =()A.-1B.0 C.1D.不确定【解析】选B.如图,令 =a,=b,=c, 则+ +=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,所以 =0, =0, =0.所以 +=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,则c=_.【解析】因为ab,所以=,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)7.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为_.【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E1,1,.所以=(0,0,a),=-1,1,.由cos=,所以=a,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).答案:(1,1,1)8.如图,已知在一个60的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为_.【解析】设=a,=b,=c,由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,=90,=90,=60,|2=|+|2=|-c+b+a|2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc=68,则|=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点M,N分别是A1D,B1D1的中点.(1)试用a,b,c表示;(2)求证:MN平面ABB1A1.【解析】(1)因为=-=c-a,所以=(c-a).同理,=(b+c),所以=-=(b+c)-(c-a)=(b+a)=a+b.(2)因为=+=a+b,所以=,即MNAB1,因为AB1平面ABB1A1,MN平面ABB1A1,所以MN平面ABB1A1.10.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值.(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.【解析】(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ab=(1,1,0)(-1,0,2)=-1,又|a|=,|b|=,所以cos=-,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.(2)方法一:因为ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,所以(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,所以k=2或k=-,所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.方法二:由(1)知|a|=,|b|=,ab=-1,所以(ka+b)(ka-2b)=k2a2-kab-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.(15分钟35分)1.(5分)已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于()A.B.3C.3D.2【解析】选B.-+=-(-)=3.2.(5分)已知非零向量与满足 +=0且 =, 则ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形【解析】选D.由 +=0知:A的平分线垂直于BC,所以ABC为等腰三角形;由 =知A=60,所以ABC为等边三角形.3.(5分)如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有下列三个条件:A1BAC1;A1BB1C;B1C1=A1C1.试利用、构造出一个正确的命题_.【解析】设=a,=b,=c,由A1BAC1=0(b-a+c)(-c-a)=0,所以ab=|a|2-| c|2,由A1BB1C=0(b-a+c)( c-b)=0,所以ab=| b|2-| c|2,由B1C1=A1C1得| a|2=|b|2,由不难看出;.答案:(或;)4.(10分)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(1).(2).(3)EG的长.(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.【解析】设=a,=b,=c.则|a|=|b|=|c|=1,=60,=c-a,=-a,=b-c,(1)=c-a(-a)=a2-ac=.(2)=(c-a)(b-c)=(bc-ab-c2+ac)=-.(3)=+=a+b-a+c-b=-a+b+c,|2=a2+b2+c2-ab+bc-ca=,则|=.(4)=b+c,=+=-b+a,cos=-,由于异面直线所成角的范围是0,所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.5.(10分)如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0xa,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)写出点E,F的坐标.(2)求证:A1FC1E.(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:=+.【解析】(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),所以=-ax+a