余弦定理知识点总结和同步练习.doc

1 9 余弦定理知识点总结和同步练习余弦定理知识点总结和同步练习 教师 郭庆友 1 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 公式表达 1 余弦定理 余弦定理 在 C A 中 有 222 2cosabcbc A 222 2cosbacac 222 2coscababC 余弦定理证明余弦定理证明 如上图所示 ABC 在c上做高 根据射影定理 可得到 将等式同乘以c得到 运用同样的方式可以得到 将两式相加 向量证明 2 9 2 余弦定理的推论余弦定理的推论 222 cos 2 bca bc A 222 cos 2 acb ac 222 cos 2 abc C ab 3 设a b c是 C A 的角A C的对边 则 若 222 abc 则 90C 若 222 abc 则 90C 若 222 abc 则 90C 注 此法可以进行三角形形状注 此法可以进行三角形形状的判定 主要判定最大角的余弦值的正负号 若最大角的余弦 值为负数 也即最大角为钝角 所以此三角形为钝角三角形 若最大角的余弦值为0 也即最大 角为直角 所以此三角形为直角三角形 若最大角的余弦值为正数 也即最大角为锐角 所以 此三角形为锐角三角形 4 4 余弦定理的适用范围 余弦定理的适用范围 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理 直接运用它可解决两类问题 已知三角形两边及夹角两边及夹角求第三边 是已知三个边三个边求角的问题 若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识 则使用起来更为方便 灵活 注 在两边一对角两边一对角的三角问题中 也可以运用余弦定理方便快捷的求出第三边 余弦定理的 应用要比正弦定理范围广泛 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 例题 例题 1 在 ABC中 已知 2 3 a 62 c 0 60 B 求b及A 解析 1 222 2cos bacacB 22 2 3 62 2 2 3 62 COS 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 3 9 求A可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 2 3 2 1 8 3 6 a c 即 0 0 A 0 90 0 60 A 例2 思路点拨 由题目可获取以下主要信息 已知三边比例 求三角形的三内角 解答本题可应用余弦定理求出三个角 题后感悟 此题为 已知三边 求三角形的三个角 类型问题 基本解法是先利用余弦定理的推论求一个 角的余弦 再判定此角的取值 求得第一个角 再用正弦定理求出另一个角 最后用三角形内角 和定理 求出第三个角 一般地 先求最小角 再求最大角 已知 ABC 中 a b c 2 6 3 1 求 ABC 各角的度数 解题过程 a b c 2 6 3 1 a 2k b 6k c 3 1 k cos A b2 c2 a2 2bc 6 3 1 2 4 2 6 3 1 2 2 A 45 cos B a2 c2 b2 2ac 4 3 1 2 6 2 2 3 1 1 2 B 60 C 180 A B 180 45 60 75 1 在 ABC 中 已知 a 2 6 b 6 2 3 c 4 3 求角 A B C 4 9 例3 解析 ABC cos C a2 b2 c2 2ab 2 6 2 6 2 3 2 4 3 2 2 2 6 6 2 3 24 3 1 24 2 3 1 2 2 C 45 sin C 2 2 sin A asin C c 2 6 2 2 4 3 1 2 a c A C A 30 B 180 A C 180 30 45 105 已知 在 ABC 中 b 3 c 3 B 30 解此三角形 解题过程 方法一 b2 a2 c2 2accos B 3 2 a2 32 2 a 3 cos 30 a2 3 3a 6 0 a 3 a 2 3 a 3 b 3 A 30 C 120 a 2 3 sin A asin B b 2 3sin 30 3 1 A 90 C 60 5 9 题后感悟 可比较两种方法 从中体会各自的优点 三角形中已知两边及一角 有两种解法 从而摸索出适 合自己思维的解题规律和方法 方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程 运用 解方程的方法求出a边的长 这样可免去判断取舍的麻烦 方法二直接运用正弦定理 先求角 再求边 2 若将题中条件改为 b 3 c 2 A 30 应如何求解三角形 方法二 bcsin 30 sin C csin B b 3 3 1 2 3 3 2 C 60 120 C 60 A 90 a b2 c2 2 3 C 120 A 30 ABC a 3 解析 a2 b2 c2 2bccos A 32 2 3 2 2 3 2 3 cos 30 3 a 3 cos B a2 c2 b2 2ac 3 2 2 3 2 32 2 3 2 3 6 12 1 2 B 60 C 180 A B 180 30 60 90 3 在 ABC 中 已知角 A B C 所对的三边长分别为 a b c 若 a 2 3 b 6 A 45 求边长 c 解析 方法一 ABC a2 b2 c2 2bccos A c2 2 3c 6 0 c 3 3 c 0 c 3 3 方法二 ABC sin B bsin A a 6 2 2 2 3 1 2 b a B 30 C 105 sin C sin 105 sin 45 60 sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 6 2 4 c asin C sin A 2 3 6 2 4 2 2 3 3 6 9 考点二 判断三角形的形状 例5 在 ABC中 若 CBbcBcCbcoscos22sin2sin 22 试判断三角形的形状 思路点拨 由题目可获取以下主要信息 边角之间的关系 CBbcBcCbcoscos22sin2sin 22 确定三角形的形状 解答本题先由正弦定理将边转化为角 然后由三角恒等式进行化简 得出结论 也 可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系 然后由边的关系确定 三角形形状 规范作答 方法一 a sin A b sin B c sin C 2R 4R2 sin2C sin2B 4R2 sin2C sin2B 8R2 sin B sin C cos B cos C sin B sin C 0 sin B sin C cos B cos C 6 cos B C 0 8 0 B Ck 4 即k 2 而不是k 0 错解 c b a ABC C cos C a2 b2 c2 2ab k2 4k 12 2k k 2 0 k2 4k 12 0 2 k0 0 kb a ABC C cos C a2 b2 c2 2ab k2 4k 12 2k k 2 0 k2 4k 12 0 2 kk 4 k 2 2 k 6 9 9 1 1 2 余弦定理 同步练习 选择题 1 在 ABC中 abbca 222 则角 为 0 30 0 60 00 13545 或 0 120 在 ABC中 已知 3 64 6 6 cos B 边上的中线 5 则sin 的值为 17 70 12 70 14 70 14 10 在 ABC中 若 bcacbcba3 并有sinA sinBcosC 那么 AB