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第八章,方差分析,本章主要介绍方差分析的基本原理，单因子资料的方差分析方法，两因子资料的方差分析方法，方差分析的基本假定和数据转换,第一节 方差分析的基本概念,第六章中，我们已经介绍了两个样本所属总体平均值的假设检验可用 t-test 或 u-test 来检验其差异性但在大多数情况下，我们的试验有 3 个或 3 个以上的样本需要进行比较如果这许多样本都只和对照组相比，我们仍然可以使用 t-test 或 u-test 进行，但如果需要样本之间两两相比较的话，就不能使用 t-test 或 u-test 进行了其理由有以下几个：,1、当有 k个样本所属总体的平均值相互两两比较，就需作 次比较，即作 假设检验例如有 10 个样本平均值相比较，即需作 次比较，其工作量相当繁琐2、假定每一样本的容量均为 n，那么如果我们用t-test 来作两两比较时，每一差数的标准误就都只能由 2(n-1) 来估计，而不能用总自由度 k(n-1) 来估计总的标准误，这就使得误差估计的精确度受到一定的损失，即我们不能充分使用试验中所有的信息量，这是十分可惜的,3、这种两两比较会随着样本组数的增加而加大犯型错误的概率假定我们要比较 5 个样本平均数，两两比较就会有 个差数，对这10个差数如果我们都以 进行假设检验，单独对每一差数进行检验时，每一差数获得正确结论的概率就是 但这 10 个差数在一起进行比较、且都获得正确结论的概率就只有 因此在 10 次比较中至少出现一个错误结论的概率就不再是,而是这么大的犯错率无论如何是不能容忍的这说明，当有多个样本相比较时，如果仍然采用 t-test 法，就大大地增加了犯型错误的概率因此此时再用 t-test 法进行检验就不恰当了如何对 个样本进行假设检验？这就是本章所要讨论的方差分析,什么叫方差？方差是对数据（或称资料）变异的度量方差的公式：总体： 样本：一般总体方差称方差，样本方差称均方能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将其称为变异因素或变异来源,方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种方法方差分析的思路就是：把整个试验（设有 k 个总体）的样本资料作为一个整体来考虑把整个试验的总变异按照变异的来源分解成不同因素的变异由于方差等于平方和除以自由度，因此总方差分解成各因素的方差，就是将形成总方差的平方和和自由度分解为各因素的平方和和自由度然后对各个因素的方差作出数量上的估计，从而发现各个因素的方差的相对重要程度,从总方差中除去各可控因素所引起的方差后，剩余方差又可以准确地估计试验误差，作为统计假设检验的依据因此，方差分析可以帮助我们抓住试验的主要矛盾和技术关键，发现主要的变异来源，从而抓住主要的、实质性的东西因此，方差分析是一种十分重要的统计工具此外，方差分析还有其他十分重要的用途，例如用于遗传分析，估计参数等方差分析中F分布的复习：,在一个总体中每次抽取两个样本，这两个样本的容量分别为 和 ，每个样本计算其均方 ，不断地抽样，就可以得到一系列的 ，这些 F值就形成了一个分布F 分布是一簇曲线，每条曲线仅决定于 和 F 分布的平均数为 ，其分布范围为本书附表 6 是不同自由度 、 下的右尾概率0.05、0.01 的概率值下面我们按不同的数据结构来介绍方差分析方法,第二节 方差分析的基本假定和数据转换,一、方差分析的基本假定方差分析是建立在一些基本假定的基础上的这些基本假定是：（一）处理效应、误差效应是可加的，即方差分析是建立在线性可加模型的基础上的：（二）试验误差是独立的随机变量，且呈正态分布：（三）所有处理的误差方差均为同质：,即：数据的可加性数据的正态性方差的同质性,二、数据的转换一般情况下，我们所取得的数据能满足或基本满足这三个基本假定，但当数据不能或基本不能满足这三个基本假定时，就应当进行数据转换，使其满足这三个基本假定,数据转换有以下几种方法：（一）平方根转换法（square root transformation）当数据的平均值与均方成比例关系时，可将每一观测值 x 作此类转换，即当数据中有 0 或有接近于 0 的值时，取如数据为间断性变量，或成数、且其中有 0.8、0.7、或 0.05）；小写字母不同者表示差异显著（p0.05）；大写字母不同者表示差异极显著（p0.05）；小写字母不同者为差异显著（p0.05）；大写字母不同者为差异极显著（p0.01）,用图表示： 7 发病 6率 5 4 3 秀山镇 湖桥乡 玉泉镇 丁山镇 图1 某县4个乡镇奶牛隐性乳房炎发病率注：同上,二、组内样本含量不等的单向分类资料的方差分析在作动物试验时，我们应当尽可能使各组的供试动物数量一致，但在实际工作中，我们会发现，由于种种原因而往往做不到这一点，即每一组的数据不可能完全相等，因此用前面所介绍的方差分析法就不能来分析资料设有 个组（处理），每组的样本容量分别为： ，各 不全相等这一类问题的数学模型与前面是一样的，但所使用的公式需要作些调整,（一）自由度与平方和的剖分设：有 个组，每一组的样本容量为 记为,（二）F 检验与前面的相同（三）多重比较 其中：,例：病菌不同的血清型其致病的毒性是不同的，今欲检查不同的假单孢菌的致病作用，选择了5种血清型进行研究，以相同剂量注射入小鼠体内，观察其死亡的天数，得如下数据，试分析血清型 小鼠死亡天数 PD 1 2 3 2 3 4 2 11C 4 6 3 3 4 4 3 2 4 5 DSC1 3 4 3 7 5 3 4 5 PCD 5 7 3 4 6 BDK 6 4 3 3 5 6首先计算每一组的,设 不全相等PD 7 17 47 2.43 0.9611C 10 38 156 3.80 1.14DSC1 8 34 158 4.25 1.39PCD 5 25 135 5.00 1.58BDK 6 27 131 4.50 1.38,自由度与平方和的剖分：方差分析表变异来源组间 4 24.44 6.11 3.76* 2.68 4.02组内 31 50.31 1.62总的 35 74.75,否定无效假设，接受备择假设，即假单孢菌不同的血清型其毒力之间有显著差异（p0.05）；不同小写字母表示差异显著（p0.05）；不同大写字母表示差异极显著（p0.01）,例：紫雏菊是菊科类植物，其提取物对动物有较强的免疫功能，现某科研单位作一研究，随机抽取一批健康小鼠，随机分为 5 组，前 4 组正常免疫后按不同剂量（：0.1mL，：0.5mL，：1.0mL，：0mL）灌服该雏菊提取物，最后一组不免疫，5 周龄后测定其外周血 IL-2 含量（pg/mL），得如下数据，试作分析： 56.6 58.4 55.6 60.1 57.5： 61.1 63.8 58.0 59.5 62.5 60.6： 59.7 57.5 63.1 58.7： 52.8 54.6 55.8 53.8 54.4： 49.2 51.1 50.5 48.6 49.4 48.3 50.3,先求各组的一级数据 5 288.2 16623.74 57.64 1.72 6 365.5 22286.51 60.92 2.07 4 239.0 14297.64 59.75 2.41 5 271.4 14736.44 54.28 1.10 7 347.4 17247.40 49.63 1.04,设 不全相等方差分析表变异来源剂量间 513.69 4 128.42 45.54* 2.82 4.31误 差 62.03 22 2.82总 体 575.72 26否定无效假设，接受备择假设，即剂量间差异极显著（p0.05）；不同小写字母表示差异显著（p0.05）；不同大写字母表示差异极显著（p0.01）,IL-2含量 注：（同上）,方差分析流程图： 数据整理 计算一级数据 计算平方和、自由度 建立方差分析表 F 值显著？ no end yes 多重比较,方差分析作业流程图： 原始数据表 SE值（包括数据转换） q值，并LSR表 一级数据表 （上三角形表示法 ）校正值、SS、df 的剖分 字母表示法方差分析表，做出判断 平均数表、或平均数图 进行多重比较？ end （注：）,yes,no,附：q值表（p = 0.05）,组数 Rdf 2 3 4 5 6 7 8 9 103.64 4.60 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.80 6.993.46 4.34 4.90 5.30 5.63 5.90 6.12 6.32 6.493.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6.00 6.163.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.40 5.60 5.77 5.923.20 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.743.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.30 5.46 5.603.08 3.77 4.20 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.393.03 3.70 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.253.00 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.90 5.03 5.152.97 3.61 4.00 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.072.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.90 5.012.89 3.49 3.85 4.10 4.30 4.46 4.60 4.72 4.822.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.732.83 3.40 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.55 4.652.80 3.36 3.68 3.92 4.10 4.24 4.36 4.47 4.56 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47,附：q值表（p = 0.01）,组数 Rdf 2 3 4 5 6 7 8 9 105.70 6.98 7.80 8.42 8.91 9.32 9.67 9.97 10.245.24 6.33 7.03 7.56 7.97 8.32 8.61 8.87 9.104.95 5.92 6.54 7.01 7.37 7.68 7.94 8.17 8.374.75 5.64 6.20 6.62 6.96 7.24 7.47 7.68 7.864.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.91 7.13 7.33 7.494.48 5.27 5.77 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05 7.214.32 5.05 5.50 5.84 6.10 6.32 6.51 6.67 6.814.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41 6.544.13 4.79 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22 6.354.07 4.70 5.09 5.38 5.60 5.79 5.94 6.08 6.204.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84 5.97 6.093.89 4.45 4.80 5.05 5.24 5.40 5.54 5.65 5.763.82 4.37 4.70 4.93 5.11 5.26 5.39 5.50 5.603.76 4.28 4.59 4.82 4.99 5.13 5.25 5.36 5.453.70 4.20 4.50 4.71 4.87 5.01 5.12 5.21 5.30 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16,思考与习题：1、相互比较的样本组数有 3 个或超过 3 个时不能再用 t-test 法，而必须使用方差分析法？2、试述方差分析法的基本内容，如何进行平方和与自由度的剖分？3、进行方差分析的数据必须满足什么条件？若不满足，数据应如何处理？4、对两批不同来源的豆粕作水分分析，第一批检测了 15 个样，水分 s = 9.2，第二批检测了 24 个样，水分 s = 21.8，试分析这两批豆粕含水率的变异情况,5、网箱养鱼试验不同的饲养密度（尾/m2）的增重效果（kg/m2）如下表，试作分析密度 增重（净产） 50 23.8 22.9 24.2 25.4 20.6 70 30.4 26.5 24.1 25.7 29.9 28.7 31.2 29.6 33.3 30.5 35.2 32.7 30.9 32.8 31.5 30.5 29.7 28.8 27.5 30.1,6、营养物质不同的量会影响某些基因的表达，从而影响动物体的生长速度，今随机抽取一批正常同规格的罗非鱼，分为 4 组，将该营养物质按不同剂量进行饲喂。试验一个月后测定每一尾试验鱼某一基因的表达量，得如下数据营养物剂量 基因表达量A（0.1mL）1.83 1.89 1.92 1.95 1.87B（0.5mL）1.78 1.81 1.84 1.86 1.88 1.72C（1.0mL）1.90 1.93 1.97 1.85D（0mL） 2.08 2.11 2.07 2.00 1.97 1.91 2.05,7、在相同饲养条件下比较不同品种鲤鱼的增重情况，得鱼体增重情况如下，试作分析品种 增重（kg） A 1.42 1.52 1.02 1.24 1.50 1.28 B 2.10 2.13 1.89 1.54 2.31 C 1.75 1.56 1.69 1.35 1.65 D 2.22 1.53 1.