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求旋转体的体积 第五节定积分的应用 第八章 一旋转体的体积 圆柱 圆锥 圆台 取积分变量为 x o 在上任取小区间 类似的当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周所形成的立体体积为 所围图形绕x轴旋转而 转而成的椭球体的体积 解 方法1利用直角坐标方程 则 利用对称性 机动目录上页下页返回结束 例1由曲线 方法2利用椭圆参数方程 则 特别当b a时 就得半径为a的球体的体积 机动目录上页下页返回结束 例2 求由曲线 直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积 解 选为积分变量 由旋转体的体积公式 得到 例3求由曲线 直线及轴所围成的图形分别绕轴 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 x x y y 解 绕x轴旋转体的体积 绕y轴旋转体的体积 的一拱与y 0 所围成的图形分别绕x轴旋转而成的立体体积 解 绕x轴旋转而成的体积为 利用对称性 例3计算摆线 设所给立体垂直于x轴的截面面积为A x 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 机动目录上页下页返回结束 上连续 1应用平行截面函数求旋转体体积 并 与底面交成 角 解 如图所示取坐标系 则圆的方程为 垂直于x轴的截面是直角三角形 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 机动目录上页下页返回结束 例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 思考 可否选择y作积分变量 此时截面面积函数是什么 如何用定积分表示体积 提示 练习题 1 求绕轴和轴旋转一周的旋转体的体积 解 由公式有 例20 求由星形线 一周所得的旋转体的体积 解 利用公式有 绕x轴旋转 星形线 星形线是内摆线的一种 点击图片任意处播放开始或暂停 大圆半径R a 小圆半径
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