第7章 一阶电路和二阶电路

1 第七章一阶电路和二阶电路 2 一阶电路的零输入响应 零状态响应和全响应求解 重点 4 一阶电路的阶跃响应和冲激响应 3 稳态分量 暂态分量求解 1 动态电路方程的建立及初始条件的确定 2 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路 特点 1 动态电路 当动态电路状态发生改变时 换路 需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态 这个变化过程称为电路的过渡过程 7 1动态电路的方程及其初始条件 换路 由于电路的接通 切断 短路 电压或参数的突然改变 引起电路参数发生变化的现象 3 K未动作前 电路处于稳定状态 i 0 uC 0 i 0 uC Us K接通电源后很长时间 电容充电完毕 电路达到新的稳定状态 第一个稳定状态 过渡状态 第二个稳定状态 动态电路的零状态响应 电容电路 4 K未动作前 电路处于稳定状态 i 0 uC 0 i 0 uC Us K动作后很长时间 电容放电完毕 电路达到新的稳定状态 过渡状态 第三个稳定状态 K 动态电路的零输入响应 5 K未动作前 电路处于稳定状态 i 0 uL 0 uL 0 i Us R K接通电源后很长时间 电路达到新的稳定状态 电感视为短路 前一个稳定状态 过渡状态 新的稳定状态 电感电路 动态电路的零状态响应 6 K未动作前 电路处于稳定状态 i 0 uL uL 0 i Us R K断开瞬间 注意工程实际中的过电压过电流现象 动态电路的零输入响应 K 7 过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件L C 电路在换路时能量发生变化 而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成 电路结构 状态发生变化 换路 8 应用KVL和电容的VCR得 若以电流为变量 2 动态电路的方程 9 一阶电路 应用KVL和电感的VCR得 若以电感电压为变量 10 二阶电路 若以电流为变量 11 一阶电路 一阶电路中只有一个动态元件 描述电路的方程是一阶线性微分方程 1 描述动态电路的电路方程为微分方程 结论 2 动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数 二阶电路 二阶电路中有二个动态元件 描述电路的方程是二阶线性微分方程 12 高阶电路 电路中有多个动态元件 描述电路的方程是高阶微分方程 动态电路的分析方法 1 根据KVl KCL和VCR建立微分方程 13 复频域分析法 时域分析法 2 求解微分方程 本章采用 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解 14 稳态分析和动态分析的区别 稳态 动态 15 1 t 0 与t 0 的概念 认为换路在t 0时刻进行 0 换路前一瞬间 0 换路后一瞬间 3 电路的初始条件 0 0 16 关于t 0 与t 0 换路在t 0时刻进行 分为三个区间 0 00 初始条件 为t 0 时u i及其各阶导数的值如在t t0开关合上 则t t0 时刻的值 原稳态 原稳态终值 换路瞬间 过渡过程 新稳态 换路后初始时刻值 17 图示为电容放电电路 电容原先带有电压Uo 求开关闭合后电容电压随时间的变化 例 解 特征根方程 得通解 代入初始条件得 说明在动态电路的分析中 初始条件是得到确定解答的必需条件 18 t 0 时刻 当i 为有限值时 q 0 q 0 uC 0 uC 0 换路瞬间 若电容电流保持为有限值 则电容电压 电荷 换路前后保持不变 2 电容的初始条件 电荷守恒 结论 19 当u为有限值时 L 0 L 0 iL 0 iL 0 3 电感的初始条件 t 0 时刻 磁链守恒 换路瞬间 若电感电压保持为有限值 则电感电流 磁链 换路前后保持不变 结论 20 4 换路定律 换路瞬间 若电感电压保持为有限值 则电感电流 磁链 换路前后保持不变 换路瞬间 若电容电流保持为有限值 则电容电压 电荷 换路前后保持不变 除了电容电压uC 0 和电感电流iL 0 以外 电路中其它的响应的初始值则要由换路后电容电压uC 0 和电感电流iL 0 这两个值来确定 所以电容电压uC 0 和电感电流iL 0 称为独立初始条件 21 5 电路初始值的确定 2 由换路定律 uC 0 uC 0 8V 1 由0 电路求uC 0 或iL 0 uC 0 8V 3 由0 等效电路求iC 0 例1 求iC 0 电容开路 电容用电压源替代 uC 0 iC 0 iC 0 iC 0 0 iC 0 0 22 iL 0 iL 0 2A 例2 t 0时闭合开关k 求uL 0 先求 由换路定律 电感用电流源替代 解 电感短路 t 0 电路 uL 0 iL 0 t 0 电路 23 求初始值的步骤 1 由换路前电路 一般为稳定状态 求uC 0 和iL 0 2 由换路定律得uC 0 和iL 0 3 画0 等效电路 4 由0 电路求所需各变量的0 值 b 电容用电压源替代 电感用电流源替代 a 换路后的电路 取0 时刻值 方向与原假定的电容电压 电感电流方向相同 24 iL 0 iL 0 IS uC 0 uC 0 RIS uL 0 uC 0 RIS 求iC 0 uL 0 例3 解 由t 0 电路得 由t 0 电路得 iC 0 iL 0 t 0 等效电路 uL 0 25 例3 求K闭合瞬间各支路电流和电感电压 解 由0 电路得 由0 电路得 2 12A 26 例4 求K闭合瞬间流过它的电流值 解 1 确定0 值 2 给出0 等效电路 27 7 2一阶电路的零输入响应 换路后外加激励为零 仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流 1 RC电路的零输入响应 已知uC 0 U0 特征根 则 零输入响应 28 代入初始值uC 0 U0得 A U0 29 令 RC 称 为一阶电路的时间常数 1 电压 电流是随时间按同一指数规律衰减的函数 从以上各式可以得出 连续函数 跃变 2 响应与初始状态成线性关系 其衰减快慢与RC有关 30 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 RC 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 电压初值一定 R大 C一定 i u R放电电流小 C大 R一定 储能大 物理含义 31 工程上认为 经过3 5 过渡过程结束 电容电压衰减到原来电压36 8 所需的时间 t1时刻曲线的斜率等于 U00 368U00 135U00 05U00 007U0 U0U0e 1U0e 2U0e 3U0e 5 32 3 能量关系 电容不断释放能量被电阻吸收 直到全部消耗完毕 设uC 0 U0 电容放出能量 电阻吸收 消耗 能量 33 例 已知图示电路中的电容原本充有24V电压 求K闭合后 电容电压和各支路电流随时间变化的规律 解 这是一个求一阶RC零输入响应问题 有 分流得 34 2 RL电路的零输入响应 特征方程Lp R 0 特征根 代入初始值i 0 I0 A i 0 I0 则通解为 35 从以上式子可以得出 连续函数 跃变 1 电压 电流是随时间按同一指数规律衰减的函数 2 响应与初始状态成线性关系 其衰减快慢与L R有关 36 令 L R 称为一阶RL电路时间常数 L大W 0 5Li2起始能量大R小P Ri2放电过程消耗能量小 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 物理含义 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 L R 电流初值i 0 一定 37 3 能量关系 电感不断释放能量被电阻吸收 直到全部消耗完毕 设iL 0 I0 电感放出能量 电阻吸收 消耗 能量 38 时间常数 的计算方法 ReqC 39 iL 0 iL 0 1A 例1 t 0时 打开开关K 求uv 现象 电压表坏了 电压表量程 50V 解 40 例2 t 0时 开关K由1 2 求电感电压和电流及开关两端电压u12 解 41 小结 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比 称为零输入线性 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数 2 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 RC RL电路 L RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻 3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数 42 动态元件初始能量为零 由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应 列方程 7 3一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程 解答形式为 1 RC电路的零状态响应 零状态响应 齐次方程特解 非齐次方程通解 43 与输入激励的变化规律有关 为电路的稳态解 变化规律由电路参数和结构决定 全解 uC 0 A US 0 A US 由初始条件uC 0 0确定积分常数A 的通解 的特解 44 1 电压 电流是随时间按同一指数规律变化的函数 电容电压由两部分构成 从以上式子可以得出 uC为连续函数 电流发生跃变 稳态分量 强制分量 暫态分量 自由分量 uC 45 2 响应变化的快慢 由时间常数 RC决定 大 充电慢 小充电就快 3 响应与外加激励成线性关系 4 能量关系 电容储存 电源提供能量 电阻消耗 电源提供的能量一半消耗在电阻上 一半转换成电场能量储存在电容中 46 例 t 0时 开关K闭合 已知uC 0 0 求 1 电容电压和电流 2 uC 80V时的充电时间t 解 1 这是一个RC电路零状态响应问题 有 2 设经过t1秒 uC 80V 47 2 RL电路的零状态响应 已知iL 0 0 电路方程为 48 例1 t 0时 开关K打开 求t 0后iL uL的变化规律 解 这是一个RL电路零状态响应问题 先化简电路 有 49 例2 t 0时 开关K打开 求t 0后iL uL的及电流源的端电压 解 这是一个RL电路零状态响应问题 先化简电路 有 50 小结 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比 称为零输入线性 一阶电路的零状态响应是由外施激励引起的响应 2 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 RC RL电路 L RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻 3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数 51 7 4一阶电路的全响应 电路的初始状态不为零 同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应 解答为uC t uC uC uC 0 U0 以RC电路为例 电路微分方程 RC 1 全响应 全响应 uC 0 A US U0 A U0 US 由起始值定A 52 2 全响应的两种分解方式 强制分量 稳态解 自由分量 暂态解 全响应 强制分量 稳态解 自由分量 暂态解 1 着眼于电路的两种工作状态 物理概念清晰 53 全响应 零状态响应 零输入响应 零状态响应 零输入响应 2 着眼于因果关系 便于叠加计算 54 55 例1 t 0时 开关K打开 求t 0后的iL uL 解 这是一个RL电路全响应问题 有 零输入响应 零状态响应 全响应 56 或求出稳态分量 全响应 A 4 例2 t 0时 开关K闭合 求t 0后的iC uC及电流源两端的电压 解 这是一个RC电路全响应问题 有 稳态分量 全响应 A 10 57 58 3 三要素法分析一阶电路 响应由初始值 特解 时间常数决定 在正弦电源的激励下 可直接由三要素写出响应表达式 稳态2值 初始值 时间常数 直流电源激励时 特解和特解初始值均为稳态值f 特解 初始值 特解初始值 时间常数 59 一阶电路的数学模型是一阶微分方程 令t 0 其解答一般形式为 分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题 用0 等效电路求解 用t 的稳态电路求解 直流激励时 60 解 将三要素代入方程 得 61 例2 t 0时 开关闭合 求t 0后的iL i1 i2 解 三要素为 应用三要素公式 62 解法二 电感电流三要素为 应用三要素公式 得t 0 等效电路 有 得 63 例3 已知 t 0时开关由1 2 求换路后的uC t 解 三要素为 将三要素代入方程 所以 64 例4 已知 t 0时开关闭合 求换路后的电流i t 解 三要素为 代入三要素公式 得 65 解 t 0 时的等效电路如图 a a t 0 时的等效电路如图 b b 66 求电感两端戴维宁等效电路 u uoc 1 求开路电压uOC 如图 c 2 求等效电阻Req 如图 d c d 67 将三要素代入方程 t 戴文宁等效电路如图 f e t 时的等效电路 f 68 解 t 0 时的等效电路如图 a 图 a 例7 5 图7 16所示电路中 开关S闭合前已达稳定状态 t 0时S闭合 求t 0时电容电压uC的零状态响应 零输入响应和全响应 并绘制出波形图 69 t 时的等效电路如图 b 求Req时的等效电路如图 c 与 d 外加电流源i 图 c 图 d 图 b 70 图 e 则戴文宁等效电路如图 e 71 已知 电感无初始储能t 0时合k1 t 0 2s时合k2求两次换路后的电感电流i t 0 t 0 2s t 0 2s 解 72 0 t 0 2s t 0 2s 73 例6脉冲序列分析 1 RC电路在单个脉冲作用的响应 1 0 t T 74 2 t T 75 a T uR为输出 uR 输出近似为输入的微分 b T uc为输出 输出近似为输入的积分 uC T T 76 2 脉冲序列分析 a T uC 77 b T 78 阶跃函数和冲激函数 1 定义 2 单位阶跃函数的延迟 3 由单位阶跃函数可组成复杂的信号 例1 一 单位阶跃函数 79 例2 例3 例4用 t 函数描述开关动作 t t0 80 1 单位脉冲函数p t 面积 强度 2 单位冲激函数 t 令 二 单位冲击函数 81 单位冲击函数定义 3 单位冲激函数的延迟 t t0 幅度趋于 面积仍为1 t 0 t 0 在t 0处为奇异的 82 同理有 2 筛分性质 t 0 t 0 因为t 0时 t 0 所以f t t f 0 t 函数f t 乘 t 后的积分将t 0时的函数值f 0 取出函数f t 乘 t t0 后的积分将t t0时的函数值f t0 取出 f 0 f t0 函数性质 83 例5 A B A式t 0包含在积分限内 故积分结果为f t0 B式t 0未包含在积分限内 故积分结果为0 冲击响应例题 84 uC 0 0 四 单位阶跃响应 单位阶跃函数作用下的零状态响应 85 下图中uC 0 0 求us作用下电流iC t 解 例13 86 87 分段表示为 变形 88 7 5一阶电路的冲激响应 一 RC电路冲激响应 uC可不可能是冲激函数 1 为零状态响应 证明 若 KCL方程不成立 故uC不会是冲激函数 uC为冲击函数 iR iC均为冲击函数 89 电容电压和电感电流的跃变 对于电容 设t 0 t0 0 则 若t 0时 冲击电流i Q t 作用于电容C 则 若在单位冲激电流 t 的作用下 则 否则 电荷守恒 若不存在冲激电流 电容电压不能跃变 若存在冲激电流时 电容电压可以跃变 90 对于电感 设t 0 t0 0 则 若t 0时 冲激电压 t 作用于电容C 则 若在单位冲击电压 t 的作用下 则 否则 磁链守恒 若不存在激击电压 电感电流不能跃变 若存在冲激电压时 电感电流可以跃变 91 即 在 t 作用下 有一单位电荷转移到电容上 使uC发生了跃变 2 t 0 后 t 0 所以可视为uC 0 1 C的零输入响应 t 0 92 Li 1 产生单位磁通链 1 零状态响应 二 RL电路 iL不是冲激函数 故其积分为零 93 对于任一线性时不变电路 三 阶跃响应与冲激响应的关系 94 95 如图所示电路中 iL 0 0 R1 6 R2 4 L 100mH 求冲激响应iL和uL 解 例15 b a c 96 由于t 0 后 t 0 则 97 1三要素法适用条件 直流或正弦激励的一阶电路2换路定律的适用条件 电容电流 电感电压为有限值3电容电压 电感电流突变与否 必须以满足KCL KVL为前提 举例 小结 98 7 5二阶电路的零输入响应 uc 0 U0i 0 0 已知 1 二阶电路的零输入响应 若以电容电压为变量 列电路方程 若以电感电流为变量 99 特征方程 电路方程 以电容电压为变量时的初始条件 uc 0 U0 i 0 0 以电感电流为变量时的初始条件 i 0 0 uc 0 U0 100 2 零状态响应的三种情况 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼 特征根 101 因换路前i 0 0 故i 0 iL 0 0 非振荡放电过程 102 103 t 0 ic 0 t ic 0 ic 0t tm时ic最大 tm 2tm uL ic 104 ic i为极值时的tm即uL 0时的t 计算如下 由duL dt可确定uL为极小时的t 105 能量转换关系 0 t tmuc减小 i增加 t tmuc减小 i减小 106 特征根为一对共轭复根 振荡放电 uC的解答形式 阻尼振荡角频率阻尼 107 由欧拉公式 代入得 108 109 t 0时uc U0 uc零点 t 2 n 110 ic uL零点 t 2 n ic零点 t 0 2 n 为uc极值点ic极值点为uL零点 111 能量转换关系 0 t t t ic 112 特例 R 0时 等幅振荡 113 解出 114 小结 定常数 可推广应用于一般二阶电