创新设计高三数学一轮复习 空间中的垂直关系课件 北师大

认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 7 4空间中的垂直关系 1 定义 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 那么称这条直线和这个平面互相垂直 记作 a 2 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 3 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 4 二面角的概念 平面内的一条直线把平面分为两个部分 其中的每一部分叫做半平面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的面 若棱为l 两个面分别为 的二面角记为 l 5 二面角的平面角一个平面垂直于二面角 l 的棱l 且与两半平面交线分别为OA OB O为垂足 则 AOB是 l 的平面角 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直 相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 7 两平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 8 两平面垂直的性质定理 若两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 1 对于任意的直线l与平面 在平面 内必有直线m 使m与l A 平行B 相交C 垂直D 互为异面直线解析 若直线l l 或l 虽然在 内必有直线m 使m l 若l是平面的斜线可找出其射影l 则存在直线m l 即m l 答案 C 2 如图 平面 平面 A B AB与两平面 所成的角分别为和 过A B分别作两平面交线的垂线 垂足为A B 若AB 12 则A B 等于 A 4B 6C 8D 9 解析 连结A B可知 ABA 则A B ABcos 6 连结AB 可知 BAB 则BB ABcos 6 在Rt BB A 中 A B 6 答案 B 3 已知平面 l P是空间一点 且P到平面 的距离分别是1 2 则点P到l的距离为 解析 如图 PO 平面PAB l PO PO就是P到直线l的距离 PAOB为矩形 4 平行四边形的一个顶点A在平面 内 其余顶点在 的同侧 已知其中有两个顶点到 的距离分别为1和2 那么剩下的一个顶点到平面 的距离可能是 1 2 3 4 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 答案 证线面垂直的方法 1 利用线面垂直定义 证一直线垂直于平面内任一直线 则这条直线垂直于该平面 2 用线面垂直的判定定理 证一直线与平面内两相交直线都垂直 则这条直线与平面垂直 3 用线面垂直的性质 两平行线之一垂直于这个平面 则另一条也必垂直于这个平面 4 用面面垂直的性质定理 两平面垂直 在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面 5 用面面平行的性质 一直线垂直于两平行平面之一 则必垂直于另一平面 例1 如右图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O为底面正方形的中心 M为棱DD1的中点 试证 B1O 平面MAC 证明 证法一 如图 1 连结AB1 CB1 由AB1 CB1 又O为AC的中点 B1O AC 连结OM MB1 B1D1 可证 B1O OM 根据直线与平面垂直的判定定理知 B1O 平面MAC 证法二 如图 2 建立直角坐标系D xyz 设DD1 1则M C B1 O的坐标分别为 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 因此 同理可证 B1O 平面MAC 变式1 在四面体A BCD中 已知AB CD AC BD 试证 AD BC 证明 证法一 如右图 过A点作AO 平面BCD 垂足为O 连结BO CO DO 由AB CD AC BD 根据三垂线定理的逆定理知 BO CD CO BD 则O为 BCD的垂心 DO BC 根据三垂线定理知AD BC 证法二 设根据已知条件 得a b c 0 即AD BC 点评 证法一非常典型地体现了三垂线定理和逆定理的应用 而证法二利用向量将几何问题彻底代数化 此种方法也可证明三角形的三条高线交于一点 1 平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题解决 2 利用平面与平面垂直的性质定理 可以有所选择地作出一个平面的垂线 进而可解决空间的成角和距离等问题 因此作平面的垂线也是立体几何中最重要的辅助线之一 例2 如右图 l A B 点A在直线l上的射影为A1 点B在l上的射影为B1 已知AB 2 AA1 1 BB1 求 1 直线AB分别与平面 所成角的大小 2 二面角A1 AB B1的大小 解答 如图 1 连结A1B AB1 l AA1 l AA1 A1B为AB在 内的射影 ABA1为AB与 所成的角 在Rt AA1B中 AA1 1 AB 2 ABA1 30 同理 BAB1为AB与 所成的角 在Rt ABB1中 BB1 AB 2 BAB1 45 2 由 知BB1 则平面 平面ABB1 作A1M 平面ABB1垂足为M 作MN AB 垂足为N 连结A1N 如图 由三垂线定理知 A1N AB 则 A1NM为二面角A1 AB B1的平面角 在Rt AA1B1中 A1M 在Rt AA1B中 A1N 在Rt A1NM中 sin A1NM A1NM arcsin 所求二面角A1 AB B1的大小为arcsin 变式2 如图所示 直二面角D AB E中 四边形ABCD是边长为2的正方形 AE EB F为CE上的点 且BF 平面ACE 1 求证AE 平面BCE 2 求二面角B AC E的大小 3 求点D到平面ACE的距离 解答 1 证明 在直二面角D AB E中 由ABCD是正方形 则CB 平面AEB AE BC 又BF 平面ACE 则AE BF AE 平面BCE 2 由 1 知平面AEC 平面BCE 又BF 平面ACE 则BF EC 连结BD与AC交于O点 连结OF 如图 由三垂线定理的逆定理知FO AC 又AC BD 则 BOF为二面角B AC E的平面角 在Rt AEB中 BE 在Rt EBC中 BC 2 BF 在Rt BFO中 sin BOF BOF arcsin 3 由DO BO知D点到平面ACE的距离为BF 解决二面角问题的主要过程是作图 论证与计算 首先要找出二面角的平面角 作二面角的平面角方法主要有根据定义 利用三垂线定理和逆定理等 例3 如右图所示 在三棱锥S ABC中 SA 底面ABC AB BC DE垂直平分SC且分别交AC SC于D E 又SA AB SB BC 1 求证 BD 平面SAC 2 求二面角E BD C的大小 解答 1 证明 DE SC且E为SC的中点 又SB BC BE SC 根据直线与平面垂直的判定定理知 SC 平面BDE SC BD 又SA 平面ABC SA BD 因此BD 平面SAC 2 由 1 知 EDC为二面角E BD C的平面角 又 SAC DEC EDC ASC 在Rt SAB中 A 90 设SA AB 1 则SB 由SA BC AB BC BC 平面SAB BC SB 在Rt SBC中 SB BC SBC 90 则SC 2 在Rt SAC中 A 90 SA 1 SC 2 ASC 60 即二面角E BD C的大小为60 变式3 如图所示 在四面体P ABC中 已知PA BC 6 PC AB 10 AC 8 PB 2 F是线段PB上一点 CF 点E在线段AB上 且EF PB 1 证明 BP 平面CEF 2 求二面角B CE F的大小 解答 1 证明 PA2 AC2 PC2 PA2 AB2 PB2 PC2 CB2 PB2 AC2 CB2 AB2 PAC PAB PCB ACB 90 又 PCB PFC 则 PFC 90 又EF PB 因此PB 平面CEF 2 由 1 PA 平面ABC 则PA EC 又PB 平面CEF CE PB则CE 平面PAB 因此CE EF CE EB 则 FEB为二面角B CE F的平面角 在 ABP中 tan FEB tan APB FEB arctan 即二面角B CE F的大小为arctan 方法规律 1 1 在解决直线与平面垂直的问题过程中 要注意直线与平面垂直定义 判定定理和性质定理的联合交替使用 即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 2 利用向量的内积证明线线垂直是非常有效的 2 1 对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算 同时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的 2 二面角平面角的作法大致可根据定义作 可用垂直于二面角棱的平面去截二面角 此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角 也可首先确定二面角一个面的垂线 由三垂线定理和三垂线定理的逆定理 作出二面角的平面角 对于这种方法应引起足够的重视 3 对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关 平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一 而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据 本题满分5分 已知平面 与 所成的二面角为80 P为 外一定点 过点P的一条直线与 所成的角都是30 则这样的直线有且仅有 A 1条B 2条C 3条D 4条 解析 如图 过P分别作 的垂线PC PD 其确定的平面与棱l交于Q 若二面角为80 AB与平面 成30 角 则 CPD 100 AB与PD PC成60 角 因此问题转化为过P点与直线PD PC所成的角为60 的直线有几条 60 60 这样的直线有4条 答案 D 答题模板 面面垂直的性质定理是立体几何中作辅助线 平面的垂线 最重要的理论依据之一 对二面角及平面