2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1-7-2 柱、锥、台的体积学案 北师大版必修2

72柱、锥、台的体积柱体、锥体、台体的体积公式(1)棱柱和圆柱的体积公式v柱体sh(s为柱体的底面积，h为柱体的高)(2)棱锥和圆锥的体积公式v锥体sh(s为锥体的底面积，h为锥体的高)(3)棱台和圆台的体积公式v台体(s上s下)h (s上，s下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高)1对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？答案不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面积与高之积()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()答案(1)(2)题型一棱柱、棱锥、棱台的体积【典例1】(1)如图所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为1，且aa1底面abc，则三棱锥b1abc1的体积为()a.b.c.d.(2) 棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是()a186b62c24 d18思路导引(1)三棱锥b1abc1的体积等于三棱锥ab1bc1的体积，分别求a到平面b1bc1的距离及三角形b1bc1的面积，然后代入体积公式(2)直接代入棱台的体积公式即可解析(1)三棱锥b1abc1的体积等于三棱锥ab1bc1的体积，三棱锥ab1bc1的高为，底面积为，故其体积为.(2)v(ss)h(24)362.故选b.答案(1)a(2)b(1)常见的求几何体体积的方法公式法：直接代入公式求解等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算针对训练1(1)如图所示，在长方体abcdabcd中，用截面截下一个棱锥cadd，求棱锥cadd的体积与剩余部分的体积之比(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积解(1)设aba，adb，aac，vcaddcdsaddabcabc，剩余部分的体积为vabcdabcdvcaddabcabcabc，棱锥cadd的体积与剩余部分的体积之比为15.(2)如图，在三棱台abcabc中，取上、下底面的中心分别为o，o，bc，bc的中点分别为d，d，则dd是梯形bccb的高所以s侧3(2030)dd75dd.又因为ab20 cm，ab30 cm，则上、下底面面积之和为s上s下(202302)325(cm2)由s侧s上s下，得75dd325，所以dd(cm)，od20(cm)，od305(cm)，所以棱台的高hoo4(cm)由棱台的体积公式，可得棱台的体积为v(s上s下)1900(cm3)题型二圆柱、圆锥、圆台的体积【典例2】(1)一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为的等边三角形，则该圆锥的体积为()a3 b. c. d.(2)已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是_思路导引(1)通过题设条件分别求出圆锥的底面半径及高，进而求体积(2)通过题设条件分别求出圆台的高是本题的关键解析(1)设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高为r.由题意，得(2r)2，得r1，所以该圆锥的体积v12.(2)设圆台的上、下底面半径分别为r和r，母线长为l，高为h，则s上r2，s下r24，r1，r2，s侧(rr)l6，l2，h，v(122212).答案(1)b(2)棱(圆)柱、棱(圆)锥和棱(圆)台的体积或表面积计算，首先明确它们的底面、斜高(母线)和高等，而这些量往往需要根据问题的条件，从侧棱(母线)、斜高、底面边长(半径)、高等基本量的关系中获得针对训练2如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都相等，这时圆柱、圆锥的体积之比为_解析设圆柱和圆锥的底面半径为r，则v柱r22r2r3，v锥r22rr3，故v柱v锥2r3r331.答案31题型三与三视图有关的表面积和体积【典例3】某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3. 思路导引先由三视图还原作出直观图，再代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别解析由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为s44242422480(cm2)，体积为v44222240(cm3)答案8040解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据针对训练3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()a180 b200 c220 d240解析几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为(28)4240，四个侧面面积的和为(2852)10200，所以直四棱柱的表面积为s40200240.答案d1若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为()a27 cm3 b60 cm3c64 cm3 d125 cm3解析v34560 cm3，选b.答案b2圆台的体积为7，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()a3 b4 c5 d6解析由题意，v(24)h7，所以h3.选a.答案a3如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()a b2 c4 d8解析设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得解得v圆柱r2l2.答案b4已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()a6 b12 c24 d48解析正四棱锥的斜高h4，s侧46448.答案d空间几何体体积计算常用方法与技巧空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解1分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解【示例1】如图所示，在三棱台abca1b1c1中，aba1b112，求三棱锥a1abc、三棱锥ba1b1c、三棱锥ca1b1c1的体积之比思路分析如图，三棱锥ba1b1c可以看作棱台减去三棱锥a1abc和三棱锥ca1b1c1后剩余的几何体，然后相比即可解题后反思三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法针对训练1如图所示，正方体abcdabcd的棱长为4，动点e，f在棱ab上，且ef2，动点q在棱dc上，则三棱锥aefq的体积()a与点e，f的位置有关b与点q的位置有关c与点e，f，q的位置都有关d与点e，f，q的位置均无关，是定值解析因为点q到平面aef的距离为正方体的棱长4，a到ef的距离为正方体的棱长4，所以vaqefvqaef244，是定值，因此与点e，f，q的位置均无关答案d2等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积【示例2】如图所示的三棱锥oabc为长方体的一角，其中oa，ob，oc两两垂直，三个侧面oab，oac，obc的面积分别为1.5 cm2,1 cm2,3 cm2，求三棱锥oabc的体积思路分析三棱锥oabc的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥oabc看作c为顶点，oab为底面由三棱锥coab的体积得出三棱锥oabc的体积解设oa，ob，oc的长分别为x cm，y cm，z cm，则由已知可得解得于是v三棱锥oabcv三棱锥coabsoaboc1321(cm3)题后反思利用等积法求几何体的体积时，在保证几何体的体积不变的情况下，可以变换几何体的底面与及相应的高，例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可针对训练2如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段aa1，b1c上的点，求三棱锥d1edf的体积解vd1edfvfdd1esd1deab111.课后作业(十五)学业水平合格练(时间20分钟)1正方体的表面积为96，则正方体的体积为()a48 b64 c16 d96解析设正方体的棱长为a，则6a296，a4.其体积va34364.故选b.答案b2圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()a15 b30 c12 d36解析设圆锥的高为h，如图，则h4.所以其体积vsh32412.故选c.答案c3.如图，在正方体中，四棱锥sabcd的体积占正方体体积的()a.b.c.d不确定解析由于四棱锥sabcd的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥sabcd的体积占正方体体积的，故选b.答案b4.如图，abcabc是体积为1的棱柱，则四棱锥caabb的体积是()a.b.c.d.解析vcabcvabcabc，vcaabb1.答案c5.如图，在梯形abcd中，abc，adbc，bc2ad2ab2，将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()a. b. c. d2解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为122121.答案c6半径为r的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为_. 解析设圆锥的底面半径为r，则有r2r，所以r，所以圆锥高为r，所以v圆锥2rr3.答案r37.如图，三棱柱a1b1c1abc中，已知d，e，f分别为ab，ac，aa1的中点，设三棱锥afed的体积为v1，三棱柱a1b1c1abc的体积为v2，则v1v2的值为_解析设三棱柱的高为h，f是aa1的中点，则三棱锥fade的高为，d，e分别是ab，ac的中点，sadesabc，v1sade，v2sabch，.答案8圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2 cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为_ cm3.解析圆锥的侧面展开图的弧长为2 cm，半径为 cm，故圆锥的底面周长为2 cm，母线长为 cm，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积v121.答案9.如图所示，在四边形abcd中，dab90，adc135，ab5，ad2，cd2，求四边形abcd绕ad旋转一周所成几何体的表面积和体积解由adc135，得edc45，又因为cd2，所以edce2，因为ab5，aeadde4，所以bc5.所以ss圆锥侧s圆台侧s圆台底cecd(ceab)bcab2(460).vv圆台v圆锥ae(ce2ceabab2)dece252.10如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)(1)画出这个几何体(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解(1)这个几何体如图所示(2)这个几何体可看成是正方体ac1及直三棱柱b1c1qa1d1p的组合体由pa1pd1 cm，a1d1ad2 cm，可得pa1pd1.故所求几何体的表面积s522222()2224(cm2)，所求几何体的体积v23()2210(cm3)应试能力等级练(时间25分钟)11正六棱锥pabcdef中，g为pb的中点，则三棱锥dgac与三棱锥pgac的体积之比为()a11 b12 c21 d32解析如图设棱锥的高为h，vdgacvgdacsadch，vpgacvpabcvgabcsabc.又sadcsabc21，故vdgacvpgac21.答案c12圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是()a. b. c64 d128解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r，即lr，由题意得，侧面积s侧rlr216，r4.l4，高h4.圆锥的体积vsh424，故选a.答案a13如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，过顶点b，d，a1截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为_解析v三棱锥a1abdsabda1aa2aa3.故剩余部分的体积vv正方体v三棱锥a1abda3a3.答案a314.已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥，则它的体积为_解析如图，四棱锥sabcd的各棱长均为5，各侧面都是全等的正三角形设e为ab的中点，则seab.se，易知四棱锥的高so.vs底h25.答案15如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于原正方形的面积(不计焊接缝的面积)(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明