2019-2020学年高中数学 第3章 概率 3-3-2 均匀随机数的产生学案 新人教A版必修3

3.3.2均匀随机数的产生1了解均匀随机数的产生方法与意义2会用模拟试验求几何概型的概率3能利用模拟试验估计不规则图形的面积1均匀随机数的定义如果试验的结果是区间a，b内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数2均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等3均匀随机数的产生(1)计算器产生区间0,1上的均匀随机数的函数是rand.(2)excel软件产生区间0,1上的均匀随机数的函数为“rand”(3)产生方法：由几何概型产生；由转盘产生；由计算器或计算机产生4用模拟方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟法：做两个转盘模型，进行模拟实验，并统计试验效果，进行近似计算(2)计算机模拟法：用excel软件产生0,1上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤1计算机只能产生0,1上的均匀随机数，若试验的结果是区间a，b上等可能出现的任何一个值，则需要产生a，b上的均匀随机数，对此，你用什么办法解决？提示首先利用计算器或计算机产生0,1上的均匀随机数xrand，然后利用伸缩和平移变换：y(ba)xa计算y的值，则y为a，b上的均匀随机数. 2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数n和事件a发生的次数n1，得到的值是p(a)的精确值()(2)用均匀随机数进行随机模拟不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积()(3)用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率()提示(1)(2)(3)题型一用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率【典例1】取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率思路导引在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点的距离取遍0,3内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能的因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应0,3上的均匀随机数，其中取得的1,2内的随机数就表示剪断位置与端点距离在1,2内，也就是剪得两段的长都不小于1 m这样取得的1,2内的随机数个数与0,3内的随机数个数之比就是事件发生的频率解解法一：设“剪得两段长都不小于1 m”为事件a.利用计算器或计算机产生一组0,1的均匀随机数a1rand.经过伸缩变换，a3a1.统计出1,2内随机数的个数n1和0,3内随机数的个数n.计算频率fn(a)即为概率p(a) 的近似值解法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度0,3(这里3和0重合)转动圆盘记下指针指在1,2(表示剪断绳子位置在1,2范围内)的次数n1及试验总次数n，则fn(a)即为概率p(a)的近似值用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤(1)利用计算器或计算机产生一组0,1上的均匀随机数a1rand.(2)经过伸缩变换y(ba)xa，得到一组a，b上的均匀随机数(3)统计出试验总次数n和满足所求概率事件的随机数个数n1.(4)计算频率fn(a)，即为所求概率的近似值针对训练1已知米粒等可能地落入如图所示的四边形abcd内，如果通过大量的试验发现米粒落入bcd内的频率稳定在附近，那么点a和点c到直线bd的距离之比约为_解析设米粒落入bcd内的频率为p1，米粒落入bad内的频率为p2，点c和点a到直线bd的距离分别为d1，d2，根据题意得，p21p11，又p1，p2，.答案题型二与面积有关的几何概型【典例2】(1)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()a. b. c. d.(2)解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为5 m,2 m,1 m若着陆点在圆环b内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆a内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率思路导引本典例为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置解析(1)设由构成的正方形的面积为s，xy1构成的图形的面积为s，所以，所以，故选c.(2)设事件a表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀随机数，a1rand，b1rand；经过伸缩和平移变换，a16a18，b14b17，得到8,8与7,7上的均匀随机数；统计满足8a8，7b7的点(a，b)的个数n.满足1a2b24的点(a，b)的个数n1；计算频率fn(a)，即为所求概率的近似值答案(1)c(2)见解析引申探究：若本例(2)条件不变，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率？解设事件c表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀随机数，a1rand，b1rand.经过伸缩和平移变换，a16a18，b14b17，得到8,8与7,7上的均匀随机数统计满足8a8，7b25的点(a，b)的个数n1.计算频率fn(c)，即为所求概率的近似值用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的区别与联系(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比. 针对训练2现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率解第一步，利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1、b1(共n组)；第二步，经过平移和伸缩变换，a(a10.5)*2，b(b10.5)*2；第三步，数出满足不等式b2a，即6a3b4的数组数n1.所求概率p.可以发现，试验次数越多，概率p越接近.题型三用随机模拟法求解不规则图形的面积【典例3】(1)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_(2)利用随机模拟的方法计算曲线y2x与x轴，直线x1所围成图形(如图中阴影部分)的面积思路导引在坐标系中画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值解析(1)正方形的面积s1，设阴影部分的面积为s，因为随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，所以由几何概型的概率公式进行估计得0.18，即s0.18.故填0.18.(2)利用计算器产生两组0,1上的均匀随机数，a1rand，b1rand；进行伸缩和平移变换，a2a11，b2b1，分别得到1,1和0,2上的均匀随机数；统计试验总次数n和落在阴影部分的点数n1；计算频率，即点落在阴影部分的概率的近似值；设阴影部分的面积为s，由几何概型的概率计算公式得点落在阴影部分的概率为.所以，则s.此即阴影部分面积的近似值答案(1)0.18(2)见解析利用随机模拟方法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率p(a).(3)设阴影部分的面积是s，规则图形的面积是s，则有，解得ss，则所求图形面积的近似值为s.针对训练3利用随机模拟方法计算图中阴影部分(yx3和x2以及x轴所围成的部分)的面积解(1)利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀随机数，a1rand，b1rand；(2)经过伸缩变换，a2a1，b8b1；(3)统计出试验总次数n和落在阴影部分(满足ba3)点(a，b)的个数n1；(4)计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影部分的面积为s.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为.所以，所以s即为阴影部分面积的近似值课堂归纳小结1在区间a，b上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.1用均匀随机数进行随机模拟，可以解决()a只能求几何概型的概率，不能解决其他问题b不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积c不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积d最适合估计古典概型的概率解析很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率答案c2在线段ab上任取三个点x1，x2，x3，则x2位于x1与x3之间的概率是()a. b. c. d1解析因为x1，x2，x3是线段ab上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是.答案b3某校航模小组在一个棱长为6 m的正方体房间试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1 m，则模型飞机“安全飞行”的概率为()a. b. c. d.解析由题意知模型飞机的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为4的正方体内这个小正方体的体积为43，大正方体的体积为63，故安全飞行的概率为.答案d4利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”的概率为_解析已知0a1，事件“3a10”发生时，0a，由几何概型得其概率为.答案5利用计算机随机模拟方法计算图中阴影部分的面积(如图所示)第一步：利用计算机产生两个区间0,1上的均匀随机数a1，b1，经过伸缩变换和平移变换得到均匀随机数x，y，其中1x1,0yn bmncmn dm是n的近似值解析随机模拟法求其概率，只是对概率的估计答案d2某公司的班车在700,800,830发车，小明在750至830之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()a. b. c. d.解析设小明到达发车站的时间为y，当y在750至800，或820至830时，小明等车时间不超过10分钟，故p.故选b.答案b3欧阳修卖油翁中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为1.5 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为()a. b. c. d.解析由题意知所求的概率为p.答案a4设一直角三角形两直角边的长均是区间0,1上的随机数，则斜边的长小于1的概率为()a. b. c. d.解析设两直角边分别为x，y，则x，y满足x0,1，y0,1，则p(x2y21).答案c5如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件a投中大圆内，事件b投中小圆与中圆形成的圆环内，事件c投中大圆之外(1)用计算机产生两组0,1内的均匀随机数，a1rand，b1rnad.(2)经过伸缩和平移变换，a16a18，b16b18，得到两组8,8内的均匀随机数(3)统计投在大圆内的次数n1(即满足a2b236的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数n2(即满足4a2b216的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数n(即满足上述8a8，8b8的点(a，b)的个数)则概率p(a)、p(b)、p(c)的近似值分别是()a.，b.，c.，d.，解析p(a)的近似值为，p(b)的近似值为，p(c)的近似值为.答案a6函数f(x)x2x2，x5,5，用计算器上的随机函数产生一个5,5上的随机数x0，那么使f(x0)0的概率为()a0.1 b. c0.3 d0.4解析用计算器产生的x05,5，其区间长度为10.使f(x0)0，即xx020，得1x02，其区间长度为3，所以使f(x0)0的概率为0.3.答案c7用随机模拟方法，近似计算由曲线yx2及直线y1所围成部分的面积s.利用计算机产生n组数，每组数由区间0,1上的两个均匀随机数a1rand，brand组成，然后对a1进行变换a2(a10.5)，由此得到n个点(xi，yi)(i1,2，n)再数出其中满足xyi1(i1,2，n)的点数n1，那么由随机模拟方法可得到的近似值为()a. b. c. d.解析由题意，对a1进行变换a2(a10.5)，由此得到n个点(xi，yi)(i1,2，n)再数出其中满足xyi1(i1,2，n)的点数n1，所以由随机模拟方法可得到的近似值为.答案b8b1是0,1上的均匀随机数，b3(b12)，则b是区间_上的均匀随机数解析0b11，则函数b3(b12)的值域是6b3，即b是区间6，3上的均匀随机数答案6，39利用随机模拟方法计算如图中阴影部分(曲线y2x与x轴，x1围成的部分)的面积解利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数，a1rand，b1rand.经过平移和伸缩变换，a(a10.5)2，bb12，得到一组1,1上的均匀随机数和一组0,2上的均匀随机数统计试验总次数n和落在阴影内的点数n1.计算频率，即为点落在阴影