6.1 非线性方程求根 二分法_第1页
6.1 非线性方程求根 二分法_第2页
6.1 非线性方程求根 二分法_第3页
6.1 非线性方程求根 二分法_第4页
6.1 非线性方程求根 二分法_第5页
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数值分析 第6章方程与方程组的迭代解法 6 1方程求根 6 2线性方程组的迭代法 第6章方程与方程组的迭代解法 1 问题的提出 如果函数 x 可分解为 x x s mg x 且g s 0 则称s是 x 的m重零点或 x 0的m重根 当m 1时 称s是 x 的单根或单零点 满足函数方程 1 的x称为方程 1 的根 或称为函数f x 的零点 若f x 不是x的线性函数 则称 1 为非线性方程 特别 若f x 是n次多项式 则称 1 为n次多项式方程或代数方程 若f x 是超越函数 则称 1 为超越方程 几百年前就已经找到了代数方程中二次至四次方程的求解公式 但是 对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精确解法 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法 因此 研究非线性方程的数值解法成为必然 求根问题包括 根的存在性根的范围即将每一个根用区间隔离开来根的精确化即根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化 直至满足预先要求的精度为止 求根方法中最直观最简单的方法是二分法 2 预备知识 定理1 根的存在定理 假设函数y f x C a b 且f a f b 0 则至少存在一点x a b 使得f x 0 并称区间 a b 为有根区间 定理2 假设函数y f x 在 a b 上单调连续 且f a f b 0 则恰好只存在一点x a b 使得f x 0 定理3 假设函数y f x 在x s的某一邻域内充分可微 则s是方程f x 0的m重根的充分必要条件是 二分法 给定方程f x 0 设f x 在区间 a b 连续 且f a f b 0 则方程f x 在 a b 内至少有一根 为便于讨论 不妨设方程f x 0在 a b 内只有一个 重根视为一个 实根 求满足精度要求的近似值实根 1 问题 基本思想 利用连续函数的零点定理 将含根区间逐此减半缩小 就可以构造出收敛点列来逼近根 2 概念及基本思想 概念 二分法也称对分区间法 对分法等 是最简单的求根方法 属于区间法求根类型 定理1 根的存在定理 这个原理指出了根的存在区间可由两端点处的函数值是否反号确定 那么注意到 将含根区间分为两个长度相等的子区间后 在这两个子区间上也可利用零点原理确定根在那个子区间上 如此继续下去就达到将含根区间逐步缩小的目的 此时 在这些相互包含的子区间中构造收敛的数列将它收敛于根 见下图 3 构造原理 a b x1 x2 x3 x f x 4 解题思路 1 收敛比较慢的情况 控制循环 K 的方法 由得因此只要对分次 则有 例1求方程f x x3 x 1 0在区间 1 1 5 内的根 要求用四位小数计算 精确到10 2 解这里a 1 b 1 5取区间 1 1 5
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