用---------------------配堆和其他类型

排列组合综合应用题 回顾 引入 前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法 下面我们要在复习 巩固已掌握的方法的基础上 学习和讨论排列 组合的综合问题 和应用问题 问题 解决排列组合问题一般有哪些方法 应注意什么问题 解排列组合问题时 当问题分成互斥各类时 根据加法原理 可用分类法 当问题考虑先后次序时 根据乘法原理 可用位置法 上述两种称 直接法 当问题的反面简单明了时 可通过求差排除法 采用 间接法 另外 排列中 相邻 问题可采用捆绑法 分离 问题可用插空法等 解排列组合问题 一定要做到 不重 不漏 排列组合 不重不漏 注意问题 解题方法 互斥分类 分类法 先后有序 位置法 反面明了 排除法 相邻排列 捆绑法 分离排列 插空法 2 一 排列组合综合问题 例1 有12人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 分为两组 一组7人 一组5人 分为甲 乙两组 甲组7人 乙组5人 分为甲 乙两组 一组7人 一组5人 分为甲 乙两组 每组6人 分为两组 每组6人 要求 审清题意 仔细分析 周密考虑 防止重漏 分析 把12人分成两组 一组7人 一组5人与把12人分成甲 乙两组 甲组7人 乙组5人 实质上是一样的 都必须分成两步 第一步从12人中选出7人组成一组 或甲组 有C127种方法 第二步 剩余的5人组成一组 或乙组 有C55种方法 所以总的分配种数为C127 C55种 所以 分配种数都为C127 C55 分配问题 思考 把12人分为甲 乙两组 一组7人 一组5人 与 比较 有何相同和不同地方 相同地方都是分成两组 一组7人 一组5人 有C127 C55种 所不同的 是一组7人 一组5人 并没有指明甲乙谁是7人 谁是5人 要考虑甲乙的顺序 所以要再乘以P22 所以 总的种数为C127 C55 A22 点评 上述问题是非平均分配问题 没有指出组名 给出了组名 而且指明了谁是几个人 这在非平均分配中是一样的 而 虽然给出了组名 却没有指明谁是几个人 所以这时有顺序问题 注意 求给出了组名 却没有指明哪组多少人的种数 可以先算未给出组名 或给出组名并指明哪组多少人 的种数 然后乘以组数的阶乘 分为甲 乙两组 一组7人 一组5人 分析 把12个人分为甲 乙两组 每组6人 可分成两步 第一步 从12人中抽出6人给甲组 有C126种 余下的6人给乙组有C66种 所以共有C126 C66种 由于没有组名 与 比较 显然 分成甲 乙两组是有顺序的 如123456分在甲组与123456分在乙组是不一样的 而 作为分成两组却是一样的 有顺序的多 无顺序的少 象非平均分配一样 有组名的种数应该是无组名的种数的关于组数的阶乘倍 所以在 的基础上除以组数的阶乘 即12个人分为两组 每组6人的种数为C126 C66 A22种 点评 上述 属于平均分配问题 求没有给出组名的种数 可以先求给出组名的种数 再除以组数的阶乘 分为甲 乙两组 每组6人 分为两组 每组6人 分为三组 一组5人 一组4人 一组3人 分为甲 乙 丙三组 甲组5人 乙组4人 丙组3人 分为甲 乙 丙三组 一组5人 一组4人 一组3人 分为甲 乙 丙三组 每组4人 分为三组 每组4人 练习1 有12人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 答案 C125 C74 C33 C125 C74 C33 C125 C74 C33 A33 C124 C84 C44 分成三组 其中一组2人 另外两组都是5人 小结 例1与练习1说明了非平均分配 平均分配以及部分平均分配问题 1 非平均分配问题中 没有给出组名与给出组名是一样的 可以直接分步求 给出了组名而没指明哪组是几个 可以在没有给出组名 或给出组名但不指明各组多少个 种数的基础上乘以组数的全排列数 2 平均分配问题中 给出组名的分步求 若没给出组名的 一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数 3 部分平均分配问题中 先考虑不平均分配 剩下的就是平均分配 这样分配问题就解决了 结论 给出组名 非平均中未指明各组个数 的要在未给出组名的种数的基础上 乘以组数的阶乘 例2 求不同的排法种数 6男2女排成一排 2女相邻 6男2女排成一排 2女不能相邻 4男4女排成一排 同性者相邻 4男4女排成一排 同性者不能相邻 分析 由2女捆绑成一人与6男全排列 再把2女全排列 有A77 A22种 捆绑法 把6男2女8人全排列 扣去2女 相邻 就是2女 不相邻 所以有A88 A77 A22种 排除法 还可用 插空法 直接求解 先把6男全排列 再在6男相邻的7个空位中排2女 所以共有A66 A72种 分离排列问题 思考 对于不相邻的分离排列能否都用 排除法 若改5男3女排成一列 3女不相邻 用排除法得对吗 反面不明了 有3女相邻 两两相邻等几种情况 4男4女排成一列 同性者相邻 把4男 4女捆绑成一个排列 然后同性者之间再全排列 所在地共有A22 A44 A44种 捆绑法 本题可否用排除法得排列总数为 A88 A22 A44 A44 或用简单插空法得排列总数为 A44 A54 错 用排除法时 反面要明了 而这里反面不明了 还有2人或3人相邻的 用简单插空法可能出现两男或两女相邻的情况 如 女男男女男女男女 同性不相邻必须男女都排好 即男奇数位 女偶数位 或者对调 总排列数为A22 A44 A44种 由此可见 分离排列问题 不能简单地用插空法或排除法要根据具体的情况具体分析 例3 某乒乓球队有8男7女共15名队员 现进行混合双打训练 两边都必须要1男1女 共有多少种不同的搭配方法 分析 每一种搭配都需要2男2女 所以先要选出2男2女 有C82 C72种 然后考虑2男2女搭配 有多少种方法 男女 男女 Aa Bb Ab Ba Bb Aa Ba Ab 显然 与 与 在搭配上是一样的 所以只有2种方法 所以总的搭配方法有2C82 C72种 搭配问题 先组后排 例4 高二某班要从7名运动员出4名组成4 100米接力队 参加校运会 其中甲 乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种 分析 从7人中选出4人分别安排在第一 二 三 四棒这个事 与组合和排列都有关 这里对甲 乙又有特殊的要求 这就有几种不同的情况 所以要分类考虑 先考虑4人的选取有几类 再考虑谁跑哪棒 直接法 先组 分三类 第一类 没有甲 乙 有C54种 第二类 有甲无乙或有乙无甲 有2C53种 第三类 既有甲又有乙 有C52种 分离排列问题 引例 曾经作过的题 4名运动员出组成4 100米接力队 参加校运会 其中甲 乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种 第一类无甲乙情况 可把4人全排列 有A44种 第二类甲乙只有一人情况 甲或乙先考虑有A21种余下的三人全排列有A33种 第三类甲乙都有的情况 先考虑甲乙有A22种 余下的有A22种 所以 第一类有C54 A44种 第二类有2C53 A21 A32种 第三类有C52 A22 A22种 由加法原理 总的安排方法有N C54 A44 2C53 A21 A33 C52 A22 A22 种 注意 排列组合综合题在求解中的分类十分重要 大家要认真体会 理解其思路和方法是先组后排 再考虑每一类中要如何安排棒数 本例很难象引例那样用间接法解 课堂小结 本节课 对几个例子的分析讨论 总结了分配问题 分离排列问题 以及排列组合综合题的解法 解排列组合综合题一般应遵循 先组后排 的原则 解题时一定要注意 不重 不漏 解题方法 互斥分类 分类法 先后有序 位置法 反面明了 排除法 相邻排列 捆绑法 分离排列 插空法 练习 1 某班有23男37女共60名学生 拟派出2个辩论队 每队3人 各1男2女 共有多少种不同的搭配方法 2 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演 出场安排甲 乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种 练习 3 15人按照下列要求分配 求不同的分法种数 1 分为三组 每组5人 共有 种不同的分法 2 分为甲 乙 丙三组 一组7人 另两组各4人 共有 种不同的分法 3 分为甲 乙 丙三组 一组6人 一组5人 一组4人 共有 种不同的分法 4 8名同学选出4名站成一排照相 其中甲 乙两人都不站中间两位的排法有 种 5 某班有27名男生13女生 要各选3人组成班委会和团支部每队3人 3人中2男1女 共有 种不同的选法 一 有条件限制的排列问题 例1 5个不同的元素a b c d e每次取全排列 a e必须排在首位或末位 有多少种排法 a e既不在首位也不在末位 有多少种排法 a e排在一起多少种排法 a e不相邻有多少种排法 a在e的左边 可不相邻 有多少种排法 解 解题思路 分两步完成 把a e排在首末两端有A22种 再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种 由乘法共有A22 A33 12 种 排法 要求 开动脑筋 积极思维 不同解法 大胆说出 点评 问题 是排列问题中某几个元素必须 在 某些位置的问题 处理这类问题的原则是 有条件限制的元素或位置优先考虑 优限法 二 排列组合应用问题 解 解题思路1 先从b c d三个选其中两个排在首末两位 有A32种 然后把剩下的一个与a e排在中间三个位置有A33种 由乘法原理 共有A32 A33 36种排列 点评 上述运用了 优限法 既有条件限制的位置优先考虑的原则 这种解法是直接法 解题思路2 从反面考虑 排除法 既间接法 A55是5个元素的全排列数 减去a e分别在排头 排尾的4种情况有4A44种 但A55 4A44 24种 上述解法哪个对 哪个错 错在哪里 分析 减去a e分别在排头 排尾的4种情况用图示表示即 由图示可看出 四种情况中a排头e排尾 e排头a排尾各多减了一次 遗漏 必须补回 既加上2A33种 所以间接法的正确答案为 A55 4A44 2A33 种 排法 说明 在解题过程中 有时用 排一排 会使思路更清楚 具体排 是一种好方法 它是把抽象转化为具体的一种思维方法 解 解题思路 a e排在一起 可以将a e看成一个整体 作为一个元素与其它3个元素全排列 有A44种 a e两个元素的全排列数为A22种 由乘法原理共有A44 A22 种 排列 说明 相邻元素排在一起 相当捆绑起来 既 捆绑法 捆绑的元素还必须进行全排列 解 解题思路 a e不相邻的反面是a e相邻 反面明了 可利用 排除法 即用5个元素的全排列数A55 扣除a e排在一起排列数A44 A22 则a e不相邻的排列总数为A55 A44 A22 种 对不相邻元素的排列问题 一般的还可以利用 插空法 解决 即把a e以外的三个元素全排列有A32种 再把a e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42种 由乘法原理共有A32 A42 种 说明 对不相邻元素的排列问题 一般采用 插空法 对反面明了的 可用 排除法 解 解题思路 a在e的左边 可不相邻 这表明a e只有一种顺序 但a e间的排列数为A22 所以 可把5个元素全排列得排列数A55 然后再除以a e的排列数A22 所以共有排列总数为A55 A22 种 注意 若是3个元素按一定顺序 则必须除以排列数P33 点评 排列应用题是实际问题的一种 其指导思想 弄清题意 联系实际 合理设计 调动相关知识和方法 本例是排列的典型问题 解题方法可借鉴 排列问题思考比较抽象 具体排 是一种把抽象转化具体的好方法 例2 已知集合A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 求含有5个元素 且其中至少有两个是偶数的子集的个数 二 有条件限制的组合问题 解法1 5个元素中至少有两个是偶数可分成三类 2个偶数 3个奇数 3个偶数 2个奇数 4个偶数 1个奇数 所以共有子集个数为C42 C53 C43 C52 C44 C51 105 解法2 从反面考虑 全部子集个数为P95 而不符合条件的有两类 5个都是奇数 4个奇数 1个偶数 所以共有子集个数为C95 C55 C54 C41 105 下面解法错在哪里 例2 已知集合A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 求含有5个元素 且其中至少有两个是偶数的子集的个数 至少有两个偶数 可先由4个偶数中取2个偶数 然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至少有2个是偶数 成以共有子集C42 C73 210 个 用 具体排 来看一看是否重复 如C42中的一种选法是 选4个偶数中的2 4 又C73中选剩下的3个元素不6 1 3组成集合 2 4 6 1 3 再看另一种选法 由C42中选4个偶数中的4 6 又C73中选剩下的3个元素不2 1 3组成集合 4 6 2 1 3 显然这是两个相同和子集 所以重复了 重复的原因是分类不独立 三 排列组合混合问题 例3 从6名男同学和4名女同学中 选出3名男同学和2名女同学分别承担A B C D E5项工作 一共有多少种分配方案 解1 分三步完成 1 选3名男同学有C63种 2 选2名女同学有C42种 3 对选出的5人分配5种不同的工作有A55种 根据乘法原理共有C63 C42 A55 14400 种 那么下列的解法错在哪里 从6名男的选出3名排列有A63种 又从4名女的选出2名排列 有A42种 所以有A63 A63 1440 种 显然少了 错在哪 错在A63中排在哪3个位置 不明确 同理A42中排在哪2位亦不明确 所以产生了遗漏现象 例3 从6名男同学和4名女同学中 选出3名男同学和2名女同学分别承担A B C D E5项工作 一共有多少种分配方案 解2 把工作当作元素 同学看作位置 1 从5种工作中任选3种 组合问题 分给6个男同学中