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函数及其图象 复习 长兴县后洋中学邱英杰 一 基础知识与基本技能 1 特殊点坐标 2 自变量取值范围 3 正比例函数 4 反比例函数 5 一次函数 6 二次函数 特殊点坐标 在x轴上的点 x 0 在y轴上的点 0 y P x y 关于x轴对称点P1 x y 关于y轴对称点P2 x y 关于原点对称点P3 x y 自变量取值范围 函数形式 x 0 x 0 x 0 除这三种以外自变量取值范围一般为一切实数 实际情况除外 正比例函数 y kx k 0 反比例函数 一次函数 y kx b k 0 注 其中k决定图象的大致趋势 b决定图象与y轴的交点 二次函数 1 解析式 1 一般式 2 顶点式 3 交点式 y ax2 bx c y a x h 2 k其中 h k 为顶点坐标 y a x x1 x x2 其中x1 x2是方程ax2 bx c 0的两根 2 图象 抛物线 3 性质 1 开口方向 2 对称轴 3 顶点坐标 a 0开口向上 a 0开口向下 考试说明中不要求学生记忆 4 与x轴交点 5 与y轴交点 6 图象移动 当 0时与x轴有两个交点 当 0时与x轴有一个交点 当 0时与x轴没有交点 c 0 与y轴交于正半轴 c 0 与y轴交于原点 c 0 与y轴交于负半轴 与顶点坐标 h k 有关当h 0时 图象向右平移 当h0时 图象向上平移 当k 0时 图象向下平移 在复习中 可根据平移的性质 结合顶点式 只需关注顶点变化即可 二 函数与其他代数知识的综合运用 函数与其他代数知识的综合运用仍然是中考的热点之一 有的与方程 三角函数等知识相结合 有的是传统函数题的新探究 有的是函数与新的数学知识相结合 这类题目多安排在最后几道 主要考查综合运用知识的能力 其难度比较深 运算量比较大 对式的恒等变形 用字母表示数的代数知识及数学思想方法等要求特别高 1 函数与方程 已知抛物线与直线交于A B两点 1 求A B两点的坐标 2 求线段AB的垂直平分线的解析式 本题以函数知识为框架 以方程知识为工具 将函数与方程揉和为一体 第 1 小题把求直线与抛物线的交点问题转化为解方程组问题可求得A B两点的坐标 第 2 小题把求点的坐标问题转化为三角形相似问题 由C D两点坐标求出线段AB的垂直平分线的解析式 有一个直角三角形ABC A 90 B 60 AB 1 将它放在直角坐标系中 使斜边BC在x轴上 直角顶点A在反比例函数的图象上 求点C的坐标 2 函数与三角函数 根据题目要求 直角三角形ABC的直角顶点A要放在反比例函数的图象上 而函数图象有两支 直角三角形ABC又不是等腰直角三角形 所以会出现四种情况 在每一种情况下 根据直角三角形的特殊边角关系 即可求出点C的坐标 这种分情况讨论求解的题目不仅要求思维灵活 严谨 而且要求具有很好的知识基础 如本题中的特殊直角三角形的边角关系的计算要达到 自动化 的程度 3 函数与代数式 第 1 小题是把抛物线解析式的一般形式化为顶点式 必须熟练掌握 第 2 小题求解必须明确 开口向下的抛物线 它的最高点是它的顶点 即它的最大函数值为2 25 那么代数式的正整数值就只有1或2 再分别求出的值 第 3 小题对代数式的恒等变形要求很高 要谨慎代数式的表示 用求差法就可以比较它们的大小 但要注意题目条件 点M在点N左边 的有效合理利用 已知抛物线y ax2 x 2 1 当a 1时 求此抛物线的顶点坐标和对称轴 2 若代数式 x2 x 2的值为正整数 求x的值 3 当a a1时 抛物线y ax2 x 2与x轴的正半轴相交于点M m 0 当a a2时 抛物线y ax2 x 2与x轴的正半轴相交于点N n 0 若点M在点N的左边 试比较a1与a2的大小 几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化 相互联系和相互制约性 函数与几何的综合题 对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性 通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式 进一步研究几何的性质 沟通函数与几何的有机联系 可以培养学生的数形结合的思想方法 三 几何与函数问题 已知AB 2 AD 4 DAB 90 AD BC 如图 E是射线BC上的动点 点E与点B不重合 M是线段DE的中点 1 设BE x ABM的面积为y 求y关于x的函数解析式 并写出自变量的取值范围 2 如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切 求线段BE的长 3 连结BD 交线段AM于点N 如果以A N D为顶点的三角形与 BME相似 求线段BE的长 1 函数与基本几何图形 根据几何图形的特征 选取适当的方法建立函数式 本题解题思路 1 取AB中点H 联结MH 2 先求出DE 3 分二种情况讨论 2 函数与几何动点 1 如图 抛物线的顶点为P 1 0 一条直线与抛物线相交于A 2 1 B 0 5 m 两点 求抛物线和直线AB的解析式 若M为线段AB上的动点 过M作MN y轴 交抛物线于点N 连接NP AP 试探究四边形MNPA能否为梯形 若能 求出此点M的坐标 若不能 请说明理由 M N 此题中不变的是AP的位置 要使四边形MNPA为梯形 MN与AP就不可能平行 只能使PN AM 那么只需过点P作AB的平行线 然后判断平行与抛物线的交点是否在BP之间即可 四 函数与应用问题 函数与应用问题的解决类似于方程与应用题 主要是找出题中的等量关系 并根据实际问题确定自变量的取值范围 再根据要求解决具体的问题 某公司到果园基地购买某种优质水果 慰问医务工作者 果园基地对购买3000千克以上 含3000千克 的有两种销售方案 甲方案 每千克9元 由基地送货上门 乙方案 每千克8元 由顾客自己租车运回 已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元 1 分别写出该公司的两种购买方案的付款y 元 与所购买的水果量x 千克 之间的函数关系式 2 当购买量在什么范围内时 选择哪种方案付款较少 说明理由 1 应用中的最值 现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地 已知这列货车挂A B两种不同规格的车厢共40节 使用A型车厢每节费用为6000元 使用B 型车厢 费用为每节8000元 1 设运送这批货物的总