求利用函数求极限的方法毕业论文.doc

吉首大学毕业论文求利用函数求极限的方法毕业论文目 录摘 要.1Abstract.11 引 言.22 求函数极限的方法.2 2.1 利用定义求极限.2 2.2 利用迫敛性求极限.4 2.3 利用归结原则求极限.4 2.4 利用洛比达法则求极限.5 2.5 利用泰勒公式求极限.7 2.6 用导数的定义求极限.8 2.7 利用定积分求极限.9 2.8 利用级数收敛的必要性求极限.10 2.9 利用Stolz公式求极限.103 总结.13参考文献.131 引言 在自然科学、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段.既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限.在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文将通过一些典型例题来讨论求函数极限的方法.2 求函数极限的方法2.1 利用定义求极限 定义2.1.1(趋于时的函数极限)：函数在点的空心邻域内有定义，是一个确定的数，若对任意的正数，存在，使得当时，都有，则称趋向于的极限存在，且为，记作. 下面举例说明如何根据定义来求这种函数极限，我们要特别注意的值是如何确定的，它和有什么关系.例2.1.1 证明 证： 0， 成立，解得 取于是存在0 ,有故 注：一般的取值要依赖于，但它不是由唯一确定的.在上例中还可以把取得更小一些，这取决于函数式放缩的程度.定义2.1.2(趋向时的函数极限)：设为定义在上的函数，为定值，若对任给正数，存在正数(）使得当时有 .则称函数当时以为极限，记作或.趋向于时的函数极限的定义与定义2.1.2相似，只要把定义中的改为即可.下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法.例2.1.2 证明 =分析 这是一个关于自变量n趋向于无穷大的函数极限，n相当于定义中的，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限. 证： ， 当 ， 有 ， ， 当时，有 故 = 注 1 在上式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便.但要注意这种放大必须要“适度”，这样才能根据给定的来确定N，同时要注意此题中的N不一定非要是整数，只要是正数即可. 注 2 函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律.2.2 利用迫敛性求极限我们常说的迫敛性或夹逼定理：若有且 则. 例 2.2.1 求极限 分析： 即，易知关于单调递增. 即得 当，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩. 解： 对各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变. 就得如下不等关系： 令，上式左、右两端各趋于，得 2.3 利用归结原则求极限归结原则 设在内有定义，存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等例 2.3.1 求极限分析： 利用复合函数求极限，令，求解解： 令 ，则有；，由幂指函数求极限公式得，故由归结原则得注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式注 2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在2.4 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限用此种方法求极限要求在点的空心邻域内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零 例 2.4.1 求极限 解： 由于，且有，由洛比达法则可得: 例 2.4.2 求极限 解： 由于，并有，由洛比达法则可得： ， 由于函数，均满足洛比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则：注 1 如果仍是型不定式极限或型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限是否存在，这时和在的某邻域内必须满足洛比达法则的条件注 2 若不存在，并不能说明不存在注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件比如这个简单的极限虽然是型，但若不顾条件随便使用洛比达法则，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论2.5 利用泰勒公式求极限 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛比达法则更为方便，下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有: 例 2.5.1 求极限分析：当时，此函数为型未定式，满足洛必达法则求极限.若直接用洛必达法则就会发现计算过程十分复杂，稍不注意就会出错.先用泰勒公式将分子展开，再求极限就会简洁的多.解： 因此 所以 2.6 用导数的定义求极限常用的导数定义式：设函数在点处可导，则下列式子成立：1，2其中是无穷小，可以是，的函数或其他表达式例 2.6.1 求极限 分析 此题是时型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解解： 令，则 2.7 利用定积分求极限 由定积分的定义知，若在上可积，则可对用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是在上的定积分因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限这是求和式极限的一种方法 例 2.7.1 求极限解： 对所求极限作如下变形： 不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和，所以有2.8 利用级数收敛的必要性求极限 给出一数列，对应一个级数，若能判定此级数收敛，则必有.由于判别级数收敛的方法较多，因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较为方便. 例 2.8.1 解：设，则级数为数项级数.由比值审敛法： 所以 收敛，所以 2.9 利用Stolz公式求极限Stolz公式和洛必达法则是求极限的有效方法，它们分别适用于数列和函数的情形.对于一些分子分母为求和式的比式极限题目用通常方法进行证明是非常麻烦的，但是用此定理就非常的简单了，而用此定理可使分子分母中的很多项消去从而简化计算，应用比较方便.首先介绍一下此定理： Stolz 定理1（）：已知两个数列、,数列严格单调上升，而且+，当+,=,其中为有限数或为或则；Stolz 定理2（）：已知两数列、，0当+；数列严格单调下降而且0当+；= ，其中为有限数或为或,则Stolz 定理的函数形式：Stolz定理3（型）：若T0为常数，1) ,2) +,当+且,在a, +内闭有界，即ba,， 在a ,b上有界，3) . 则Stolz 定理4（）：若T0为常数，1)0 ，2) =0, =0，3) .则,其中或有限数或例 2.9.1 设求证明： 因为单调递增且趋于又 故由Stolz定理知: =例2.9.2 若在（a,）内有定义，而且内闭有界，即任意（a,）, 在上有界，则1） - 2) ()= ,其中（c0）.证明：1）从题意知 令=,则,都符合定理的条件，令T=1所以可以直接套用定理， - ,2) 令y=(),则=, = ，由的连续性，所以 =得证.从上可以看出利用Stolz定理求极限的形式是非常有规律的，我们要善于发现式子的规律，但应具体问题具体分析，关键是发现所要求极限式的特点.3 总结本文比较全面地总结了求函数极限的方法，包括利用函数极限的定义、利用迫敛性、利用归结原则、利用洛比达法则、利用泰勒公式、利用导数的定义、利用定积分、利用级数收敛的必要性、利用Stolz公式，从而帮助我们解决求各类函数极限过程中所遇到的问题.对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，但需要注意的是，实际求函数极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用.参考文献:1 龚思德、刘序球、张广梵.微积分学习指导M.天津:南开大学出版社.1997.2 丁家泰.微积分解题方法M.北京:北京师范大学出版社.1981.3 朱匀华.微积分入门指导与思想方法M.广州:中山大学出版社.1986.4 华东师范大学数学系.数学分析(上册、下册)M.北京:高等教育出版社.1997.5 温启军高等数学教学的几点思考J.长春大学学报.2003：13（5），1920.6 陈刚、米平治.关于高等数学中