2020届高考数学二轮复习 专题3 立体几何 第3讲 空间角的计算练习 理

第3讲 空间角的计算专题复习检测a卷1在空间四边形oabc中，oboc，aobaoc，则cos，等于()abcd0【答案】d【解析】()|cos，|cos，|cos|cos0，cos，0.2已知长方体abcda1b1c1d1中，abbc4，cc12，则直线bc1和平面dbb1d1夹角的正弦值为()abcd【答案】c【解析】如图，建立空间直角坐标系，则b(4,0,0)，c(4,4,0)，c1(4,4,2)，显然ac平面bb1d1d，所以(4,4,0)为平面bb1d1d的一个法向量又(0,4,2)，所以cos，即直线bc1和平面dbb1d1夹角的正弦值为.3已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()abcd【答案】b【解析】如图，过p作pp平面abc于p，则p为平面abc的中心连接ap，延长交bc于点m，则pap即为pa与平面abc所成的角由vsh，得h，即pp.又apam1，所以tanpap.所以pap.故选b4二面角的棱上有a，b两点，直线ac，bd分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为()a150b45c60d120【答案】c【解析】由条件知0，0，因为，所以|2|2|2|2222624282268cos，(2)2.所以cos，则，120，即，60.所以二面角的大小为60.5(2018年广东东莞模拟)如图，圆锥的底面直径ab2，高oc，d为底面圆周上的一点，aod120，则空间中两条直线ad与bc所成的角为()a30 b60c75 d90【答案】b【解析】如图，取弧ab中点e，以o为原点，oe所在直线为x轴，ob所在直线为y轴，oc所在直线为z轴建立空间直角坐标系由题意得a(0，1,0)，b(0,1,0)，c(0,0，)，d，则，(0，1，)设直线ad与bc所成的角为，则cos ，60.故选b6(2019年上海改编)已知向量a(1,0,2)，b(2,1,0)，则a与b的夹角的余弦值为_【答案】【解析】cos .7如图，已知正三棱柱abca1b1c1的各条棱长都相等，m是侧棱cc1的中点，则异面直线ab1和bm所成的角的大小是_【答案】90【解析】不妨设棱长为2，则，cos，0，所以，90.8正方形abcd所在平面外有一点p，pa平面abcd，若paab，则平面pab与平面pcd的夹角的余弦值为_【答案】45【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设paab1.则a(0,0,0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)于是(0,1,0)取pd中点为e，则e，.易知是平面pab的法向量，是平面pcd的法向量，cos，平面pab与平面pcd的夹角为45.9(2017年新课标)如图，四棱锥pabcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，abbcad，badabc90，e是pd的中点(1)求证：直线ce平面pab；(2)点m在棱pc 上，且直线bm与底面abcd所成角为45，求二面角mabd的余弦值【解析】(1)证明：取pa的中点f，连接ef，bf.e，f分别是pd，pa的中点，efad，efad.又badabc90，bcad.又bcad，efbc，efbc.四边形bcef是平行四边形，cebf.又bf平面pab，ce平面pab，ce平面pab. (2)由已知得baad，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，取ab1，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，p(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设m(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)bm与底面abcd所成的角为45，n(0,0,1)是底面abcd的法向量，|cos，n|，即(x1)2y2z20.又m在棱pc上，设，则x，y1，z.由解得或(舍去)设m(x0，y0，z0)是平面abm的法向量，则得可取m(0，2)，则cosm，n，二面角mabd的余弦值为.10(2019年河南郑州模拟)如图，abc中，abbc2，abc90，e，f分别为ab，ac边的中点，以ef为折痕把aef折起，使点a到达点p的位置，且pbbe.(1)求证：ef平面pbe；(2)n为线段pf上的动点，求直线bn与平面pcf所成角的正弦值的最大值【解析】(1)因为e，f分别为ab，ac边的中点，所以efbc.因为abc90，所以efbe，efpe.又因为bepee，所以ef平面pbe.(2)因为ef平面pbe，ef平面bcfe，所以平面bcfe平面pbe.由题意得pbpebe，取be的中点o，连接po，则pobe，po平面bcfe.以o为原点，为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.可得p，b，c，f，则，.设平面pcf的法向量为m(x，y，z)，则取x2，可得y2，z2，则m(2，2，2)设(01)，则.设直线bn与平面pcf所成角为，则sin |cos m，|.对于22122，当时取得最小值，此时sin 取得最大值.所以直线bn与平面pcf所成角的正弦值的最大值为.b卷11已知三棱锥sabc的各棱长均相等，o为abc的中心，e是sa的中点，则异面直线oe与ab所成角的正弦值为()abcd【答案】d【解析】如图，取sb的中点f，连接oa，ob，of，ef，则efab，且efab，oef(或其补角)就是异面直线oe与ab所成的角o是等边三角形abc的中心，设abc边长为1，oa，so底面abc.soa90.在rtsoa中，e是斜边sa的中点，oesa.同理可得of.又efab，oef是正三角形，oef60，即异面直线oe与ab所成角的正弦值为.12(2019年浙江)设三棱锥vabc的底面是正三角形，侧棱长均相等，p是棱va上的点(不含端点)记直线pb与直线ac所成角为，直线pb与平面abc所成角为，二面角pacb的平面角为，则()a，b，c，d，【答案】b【解析】方法一：如图g为ac的中点，v在底面的射影为o，则p在底面上的射影d在线段ao上，作deac于e.易得pevg，过p作pfac交vg于f，过d作dhac交bg于h，则bpf，pbd，ped，则cos cos ，可得；tan tan ，可得.故选b方法二(特殊图形法)：设三棱锥vabc为棱长为2的正四面体，p为va的中点，易得cos ，所以sin ，sin ，sin ，则，.故选b13p是二面角ab棱上的一点，分别在平面，上引射线pm，pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为_【答案】90【解析】不妨设pma，pnb，如图，作meab于e，nfab于f，epmfpn45，pea，pfb.()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0.，即二面角ab的大小为90.14(2019年天津)如图，ae平面abcd，cfae，adbc，adab，abad1，aebc2.(1)求证：bf平面ade；(2)求直线ce与平面bde所成角的正弦值；(3)若二面角ebdf的余弦值为，求线段cf的长【解析】(1)证明：以a为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意可得a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0,1,0)，e(0,0,2)设cfh，则f(1,2，h)易知(1,0,0)是平面ade的一个法向量，又(0,2，h)，0.又直线bf平面ade，bf平面ade.