决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《图形的相似》（含解析）

图形的相似1如图1，rtabc中，acb90，ac6cm，bc8cm，动点p从点b出发，在ba边上以每秒3cm的速度向点a匀速运动，同时动点q从点c出发，在cb边上以每秒2cm的速度向点b匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接pq（1）若bpq与abc相似，求t的值；（2）（如图2）连接aq，cp，若aqcp，求t的值解：（1）当bpqbac时，bp3t，qc2t，ab10cm，bc8cm，；当bpqbca时，或时，bpq与abc相似；（2）如图所示，过p作pmbc于点m，aq，cp交于点n，则有pb3t，nac+nca90，pcm+nca90，nacpcm且acqpmc90，acqcmp，解得：；2如图，在平面直角坐标系中，abc的三个顶点都在格点上，点a的坐标为（2，1），请解答下列问题：（1）画出abc关于x轴对称的a1b1c1，点a1的坐标为（2，1）；（2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把a1b1c1按相似比2：1放大，得到a2b2c2，请画出a2b2c2；若边ac上任意一点p的坐标为（m，n），则两次变换后对应点p2的坐标为（2m+3，2n+3）解：（1）如图所示，a1b1c1即为所求；点a1的坐标为（2，1）；故答案为：（2，1）；（2）如图所示，a2b2c2即为所求；p2的坐标为（2m+3，2n+3）故答案为：（2m+3，2n+3）3综合与实践探究正方形旋转中的数学问题问题情境：已知正方形abcd中，点o在bc边上，且ob2oc将正方形abcd绕点o顺时针旋转得到正方形abcd（点a，b，c，d分别是点a，b，c，d的对应点）同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，当点b落在正方形abcd的对角线bd上时，设线段ab与cd交于点m求证：四边形obmc是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2，当线段ad经过点d时，猜想线段co与dd满足的数量关系，并说明理由；深入探究：（3）请从下面a，b两题中任选一题作答我选择a题a在图2中连接aa和bb，请直接写出的值b“好问”小组提出问题：如图3，在正方形abcd绕点o顺时针旋转的过程中，设直线bb交线段aa于点p连接op，并过点o作oqbb于点q请在图3中补全图形，并直接写出的值（1）证明：四边形 abcd是正方形，bccd，c90，cbdcdb45； 由旋转可知，obob，obbobb45，boc是bob的一个外角，bocobb+obb45+4590，四边形 abcd是正方形，obm90，四边形 obmc是矩形； （2）解：dd2co，理由如下： 如图2，连接 od，od，过点 o作 oedd于点 e，则oed90， 由旋转可知，odod，则 dd2de，四边形 abcd是正方形，coed90，四边形 ocde是矩形，code，dd2co； （3）解：a、如图2，连接aa，bb，oa，oa，将正方形abcd绕点o顺时针旋转得到正方形abcd，obob，oaoa，bobaoa，obboaa，abbc，ob2oc，设ocx，则ob2x，abbc3x，oax，；b、如图3，连接oa，oa，将正方形abcd绕点o顺时针旋转得到正方形abcd，obob，oaoa，bobaoa，obboaa，点a，b，o，p四点共圆，abo+apo180，apo90，oqbb，bqoapo90，oapobq，4如图，矩形oabc边oa，oc分别在x轴，y轴上，且oa8，oc6，连接ob，点d为ob中点，点e从点a出发以每秒1个单位长度运动到点b停止，设运动时间为t（0t6），连接de，作dfde交oa于f，连接ef（1）如图1，当四边形dfae为矩形时，求t的值；（2）如图2，试证明在运动过程中，dfeabo；（3）当t为何值时，aef面积最大？最大值为多少？解：（1）四边形oabc是矩形，aboc6，oab90，四边形dfae是矩形，bed90oab，deoa，点d是ob的中点，点e是ab中点，aeab3，由运动知，aet，t3；（2）如图2所示：作dmoa于m，dnab于n，四边形oabc是矩形，oaab，四边形dman是矩形，mdn90，dmab，dnoa，点d为ob的中点，m、n分别是oa、ab的中点，dmab3，dnoa4，edf90，fdmedn，又dmfdne90，dmfdne，oa8，ab6，fdebao90，dfeabo；（3）如图2，由（2）知，dmfdne，由运动知，aet，当0t3时，ne3t，mf（3t），afam+mf4+（3t）8t当3t6时，net3，mf（t3），afammf4（t3）8t，saefaeaft（8t）（t3）2+6，当t3时，aef面积最大，最大值为65如图，mbn45，点p为mbn内的一个动点，过点p作bpa与bpc，使得bpabpc135，分别交bm、bn于点a、c（1）求证：cpbbpa；（2）连接ac，若acbc，试求的值；（3）记apa，bpb，cpc，若a+bc20，a2b，且a、b、c为整数，求a，b，c的值（1）证明：bpa135，abp+bap18013545，abp+cbpmbn45，abp+bapabp+cbp，bapcbp，bpabpc，cpbbpa；（2）解：acbc，mbn45，acb是等腰直角三角形，abbc，cpbbpa，设pca，则bpa，ap2a，apc36013513590，aca，；（3）解：cpbbpa，即2，c，a+bc2b+bb，b20，b8，a、b、c为整数，当b8时，a16，c4；当b7时，a14，c1；当b7时，c0（不合题意舍去），a，b，c的值分别为16，8，4或14，7，16如图，rtabc中，bac90，ab2，ac4，d是bc边上一点，且bdcd，g是bc边上的一动点，gead分别交直线ac，ab于f，e两点（1）ad；（2）如图1，当gf1时，求的值；（3）如图2，随点c位置的改变，fg+eg是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由解：（1）bac90，且bdcd，adbc，bc2，ad2，故答案为：；（2）如图1，gfad，cfgcad，bdcdbcad，cadc，cfgc，cgfg1，bg21，adge，bgebda，；（3）如图2，随点c位置的改变，fg+eg是一个定值，理由如下：adbcbd，bbad，adeg，bade，be，egbg，由（2）知，gfgc，eg+fgbg+cgbc2，fg+eg是一个定值，为27abc中，c90，a60，ac2cm长为1cm的线段mn在abc的边ab上沿ab方向以1cm/s的速度向点b运动（运动前点m与点a重合）过m，n分别作ab的垂线交直角边于p，q两点，线段mn运动的时间为ts（1）当0t1时，pmtcm，qn（3t）cm（用t的代数式表示）；（2）线段mn运动过程中，四边形mnqp有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以c，p，q为顶点的三角形与abc相似？解：（1）由题意得：amt，pmab，pma90，a60，apm30，pmamtc90，b90a30，ab2ac4，bcac2，mn1，bnamam13t，qnab，qnbn（3t）；故答案为： tcm，（3t）cm（2）四边形mnqp有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：qn（3t）由条件知，若四边形mnqp为矩形，则需pmqn，即t（3t），t当ts时，四边形mnqp为矩形；（3）由（2）知，当ts时，四边形mnqp为矩形，此时pqab，pqcabc除此之外，当cpqb30时，qpcabc，此时tan30cos60，ap2am2tcp22tcos30，bq（3t）又bc2，cq2综上所述，当s或s时，以c，p，q为顶点的三角形与abc相似8如图1，在rtabc中，bac90，abac，d，e两点分别在ac，bc上，且deab，将cde绕点c按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现：当0时，的值为；（2）拓展探究：当0360时，若edc旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当edc旋转至a，b，e三点共线时，若设ce5，ac4，直接写出线段be的长7或1解：（1）bac90，abac，abc为等腰直角三角形，b45，deab，decb45，cdea90，dec为等腰直角三角形，cosc，deab，故答案为：；（2）由（1）知，bac和cde均为等腰直角三角形，又bceacd，bceacd，即；（3）如图31，当点e在线段ba的延长线上时，bac90，cae90，ae3，beba+ae4+37；如图32，当点e在线段ba上时，ae3，bebaae431，综上所述，be的长为7或1，故答案为：7或19如图，在正方形abcd中，e为ab边上一点，连接de，交ac于h点，过点d作dfde，交bc的延长线于f，连接ef交于ac于点g（1）请写出ae和cf的数量关系：相等；（2）求证：点g是ef的中点；（3）若正方形abcd的边长为4，且ae1，求ghga的值解：（1）四边形abcd是正方形，adceaddcbdcf90，addc，dfde，edf90，ade+edcedc+cdf，adecdf，adecdf（asa），aecf，故答案为：相等；（2）如右图，过e作embc交ac于m，四边形abcd是正方形，ac为对角线，embc，aemb90，ame90eam45，aemeam，aeem，aecf，emcf，embc，meggfc，emggcf，emgfcg（asa），egfg，g为ef的中点；（3）由（1）知daedcf，dedf，defdfe，def90，def45，bac45，defbac，ageage，gehgae，eg2ghag，ae1，则cf1，bf5，ef，10如图，abc和def是两个全等的等腰直角三角形，bacedf90，def的顶点e与abc的斜边bc的中点重合，将def绕点e旋转，旋转过程中，线段de与线段ab相交于点p，线段ef与射线ca相交于点q（1）当点q在线段ca上时，如图1，求证：bpeceq（2）当点q在线段ca的延长线上时，如图2，bpe和ceq是否相似？说明理由；若bp1，cq，求pq的长（1）证明：abc和def是两个全等的等腰直角三角形，bcdef45，beqeqc+c，即bep+defeqc+c，bep+45eqc+45，bepeqc，bc，bpeceq；（2）bpeceq；理由如下：beqeqc+c，即bep+defeqc+c，bep+45eqc+45，bepeqc，又bc，bpeceq；，def的顶点e与abc的斜边bc的中点重合，bece，解得：bece，bc3，在rtabc中，abac，abacbc33，aqcqac3，apabbp312，在rtapq中，pq11已知：在efg中，efg90，effg，且点e，f分别在矩形abcd的边ab，ad上（1）如图1，当点g在cd上时，求证：aefdfg；（2）如图2，若f是ad的中点，fg与cd相交于点n，连接en，求证：enae+dn；（3）如图3，若aead，eg，fg分别交cd于点m，n，求证：mg2mnmd解：（1）四边形abcd是矩形，ad90，aef+afe90，efg90，afe+dfg90，aefdfg，effg，aefdfg（aas）；（2）如图2，延长nf，ea相交于h，afhdfn，由（1）知，eafd90，hafd90，点f是ad的中点，afdf，ahfdnf（asa），ahdn，fhfn，efn90，ehen，ehae+ahae+dn，enae+dn；（3）如图3，过点g作gpad交ad的延长线于p，p90，同（1）的方法得，aefpfg（aas），afpg，pfae，aead，pfad，afpd，pgpd，p90，pdg45，mdg45，在rtefg中，effg，fge45，fgegdm，gmndmg，mgnmdg，mg2mnmd12在abc中，acb90，ab20，bc12（1）如图1，折叠abc使点a落在ac边上的点d处，折痕交ac、ab分别于q、h，若sabc9sdhq，则hq4（2）如图2，折叠abc使点a落在bc边上的点m处，折痕交ac、ab分别于e、f若fmac，求证：四边形aemf是菱形；（3）在（1）（2）的条件下，线段cq上是否存在点p，使得cmp和hqp相似？若存在，求出pq的长；若不存在，请说明理由解：（1）如图1中，在abc中，acb90，ab20，bc12，ac16，设hqx，hqbc，aqx，sabc9sdhq，16129xx，x4或4（舍弃），hq4，故答案为4（2）如图2中，由翻折不变性可知：aeem，affm，afemfe，fmac，aefmfe，aefafe，aeaf，aeafmfme，四边形aemf是菱形（3）如图3中，设aeemfmaf4m，则bm3m，fb5m，4m+5m20，m，aeem，ecacae16，cm，qh4，aq，qc，设pqx，当时，hqpmcp，解得：x，当时，hqppcm，解得：x8或，经检验：x10或是分式方程的解，且符合题意，综上所述，满足条件长qp的值为或8或13如图，在abc中，abac10，bc16，点d为bc边上的一个动点（点d不与点b、点c重合）以d为顶点作adeb，射线de交ac边于点e，过点a作afad交射线de于点f（1）求证：abcebdcd；（2）当df平分adc时，求ae的长；（3）当aef是等腰三角形时，求bd的长（1）证明：abac，bc，adcbad+b，adeb，badcde，又bc，badcde，即abcebdcd；（2）解：df平分adc，adecde，cdebad，adebad，dfab，badadeb，badc，又bb，bdabac，即解得，bd，解得，ae；（3）解：作ahbc于h，abac，ahbc，bhhcbc8，由勾股定理得，ah6，tanb，tanadf，设af3x，则ad4x，由勾股定理得，df5x，badcde，当点f在de的延长线上，fafe时，de5x3x2x，解得，cd5，bdbccd11，当eaef时，deef2.5x，解得，cd，bdbccd；当aeaf3x时，dex，解得，cd，bdbccd；当点f在线段de上时，afe为钝角，只有fafe3x，则de8x，解得，cd2016，不合题意，aef是等腰三角形时，bd的长为11或或14如图，已知平行四边形abcd中，ad，ab5，tana2，点e在射线ad上，过点e作efad，垂足为点e，交射线ab于点f，交射线cb于点g，联结ce、cf，设aem（1）当点e在边ad上时，求cef的面积；（用含m的代数式表示）当sdce4sbfg时，求ae：ed的值；（2）当点e在边ad的延长线上时，如果aef与cfg相似，求m的值解：（1）efad，aef90，在rtaef中，tana2，aem，efaetana2m，根据勾股定理得，afm，ab5，bf5m，四边形abcd是平行四边形，bcad，adbc，gaef90，aefbgf，bgm，cgbc+bg+m2m，scefefcg2m（2m）2mm2；由知，aefbgf，fgef2m2（m），egef+fg2m+2（m）2，scdedeeg（m）25m，sbfgbgfg（m）2（m）（m）2，sdce4sbfg时，5m4（m）2，m（舍）或m，deadae，ae：ed：3，即：ae：ed的值为3；（2）四边形abcd是平行四边形，bcad，adbc，efad，efbc，aefcgf90，aef与cfg相似，当aefcgf时，如图1，afecfg，