福建省建瓯市芝华中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题

福建省建瓯市芝华中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 考试时间：120分钟 分值：150一、选择题，每题5分共60分，每题只有一个答案符合要求。1若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab2，bc1，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是()a b c d2.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()a b c d3某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分(如图)，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为() a20,2 b24,4 c25,2 d25,44、已知双曲线的离心率,且与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程是()a. b. c. d. 5设命题(其中为常数)，则“”是“命题为真命题”（ ）a充分不必要 b必要不充分 c充分且必要 d既不充分也不必要6为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系设其回归直线方程为x.已知xi225，yi1 600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为() a160 b163 c166 d1707、若命题:函数的单调递增区间是,命题:函数的单调递增区间是,则()a. 是真命题 b. 是假命题 c. 是真命题 d. 是真命题8.如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，n是bc的中点，试用a，b，c表示.（ ）a. abc. b. abc. c. a-bc. d. a-bc.9.设椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2， p是c上的点，pf2f1f2，pf1f230，则c的离心率为 ( )（a） （b） （c） （d）10正四棱锥sabcd中，saab2，则直线ac与平面sbc所成角的正弦值为()a b c d11.已知p为抛物线y24x上一个动点，q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点p到点q的距离与点p到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）a5 b8 c.2 d.112. 已知是双曲线的右焦点，p是c左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）a b c. d. 二、填空题，每题5分，共20分。 13命题：的否定为_ .14. 直三棱柱abca1b1c1中，若bac90，abacaa1，则异面直线ba1与ac1所成角为 15.过椭圆内一点m（2，1）引一条弦，使弦被点m平分，求这条弦所在的直线方程 16.已知1(ab0)，m，n是椭圆的左、右顶点，p是椭圆上任意一点，且直线pm、pn的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为_三、解答题，第17题10分，18-22每题12分，共70分。17.（本题10分）已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a（2，3），且点f（2，0）为其右焦点。()求椭圆c的方程；()直线平行于直线oa，且过点（0，t）,若直线与椭圆c有公共点，求t的取值范围。18.（本题12分）如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd=1 (1)证明：平面pq平面dcq； (2)证明：pcbaq19.（本小题满分12分）已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，若过点f且斜率为1的直线与抛物线相交于m，n两点，且|mn|8.()求抛物线c的方程；()设直线lmn，且在y轴上的截距为2，l与抛物线交于k,g两点，求面积。20.如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab60，ab2ad2，pd底面abcd.(1)证明：pabd；(2)若pdad ，求二面角apbc的余弦值21、设分别为双曲线的左、右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程;（2）已知直线与双曲线的右支交于两点,且在双曲线的右支上存在点,使,求的值及点的坐标.22.如图，四边形abcd为正方形，e，f分别为ad，bc的中点，以df为折痕把dfc折起，使点c到达点p的位置，且pfbf.(1)证明：平面pef平面abfd；(2)求dp与平面abfd所成角的正弦值1若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab2，bc1，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是()abcd【答案】b【解析】设质点落在以ab为直径的半圆内为事件a，则p(a).2.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()abcd【答案】c【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率p.故选c3某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分(如图)，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为() a20,2b24,4c25,2d25,4【答案】c【解析】由频率分布直方图可得分数在50,60)内的频率是0.008100.08，又由茎叶图可得分数在50,60)内的频数是2，则被抽测的人数为25.又由频率分布直方图可得分数在90,100内的频率与分数在50,60)内的频率相同，则频数也相同，都是2，故选c4、已知双曲线的离心率,且与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程是()a. b. c. d. 答案：c5设命题(其中为常数)，则“”是“命题为真命题”（ ）a充分不必要 b必要不充分 c充分且必要 d既不充分也不必要【答案】b【解析】若命题为真，则对任意，恒成立，所以，即.因为，则“”是“命题为真”的必要不充分条件，选.6为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系设其回归直线方程为x.已知xi225，yi1 600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为() a160b163c166d170【答案】c【解析】xi225，xi22.5.yi1 600，yi160.又4，160422.570.回归直线方程为4x70.将x24代入上式得42470166.故选c7、若命题:函数的单调递增区间是,命题:函数的单调递增区间是,则()a. 是真命题 b. 是假命题 c. 是真命题 d. 是真命题选d.8.如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，n是bc的中点，试用a，b，c表示.a. abc. b. abc. c. a-bc. d. a-bc.【解析】n是bc的中点，abababc.9.设椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2， p是c上的点，pf2f1f2，pf1f230，则c的离心率为 ( )（a） （b） （c） （d）解析：法一：由题意可设|pf2|m，结合条件可知|pf1|2m，|f1f2|m， 故离心率e.选（d）法二：由pf2f1f2可知p点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|pf2|.又由pf1f230可得|f1f2|pf2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)选（d）10正四棱锥sabcd中，saab2，则直线ac与平面sbc所成角的正弦值为()abcd选c解析建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.由题意得a(1，1,0)、c(1,1,0)、b(1,1,0)、s(0,0，)(2，2,0)，(1，1，)，(1，1，)设平面sbc的一个法向量n(x，y，z)，则，令z，得x0，y2，n(0,2，)设直线ac与平面sbc所成的角为，则sin|cosn，|.11.已知p为抛物线y24x上一个动点，q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点p到点q的距离与点p到抛物线的准线距离之和的最小值是a5 b8c.2 d.1解析设圆心为c，则c(0,4)，半径r1，设抛物线的焦点f(1,0)，据抛物线的定义知，点p到点q的距离与点p到抛物线准线距离之和为|pq|pf|pc|1|pf|pc|pf|cf|11.答案d12. 已知是双曲线的右焦点，p是c左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）a1 bc. d. 解析：设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，apf的周长为|pa|+|pf|+|af|=|pa|+|af|=|pa|+|af|+，由于是定值，要使apf的周长最小，则|pa|+最小，即p、a、共线，（3,0），直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以p点的纵坐标为，=.13命题：的否定为_.【答案】【解析】由题全称命题的否定为特称命题，所以的否定为.故答案为：14. 直三棱柱abca1b1c1中，若bac90，abacaa1，则异面直线ba1与ac1所成角为 建立如图所示的空间直角坐标系，设ab1，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，a1(0,0,1)，c1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，cos，.，60，即异面直线ba1与ac1所成角为60.15.过椭圆内一点m（2，1）引一条弦，使弦被点m平分，求这条弦所在的直线方程 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为a()，b（），则是方程的两个根，于是，又m为ab的中点，所以，解得，故所求直线方程为。解法二：设直线与椭圆的交点为a()，b（），m（2，1）为ab的中点，所以，又a、b两点在椭圆上，则，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为a()，由于中点为m（2，1），则另一个交点为b(4-)，因为a、b两点在椭圆上，所以有，两式相减得，由于过a、b的直线只有一条，故所求直线方程为。16.已知1(ab0)，m，n是椭圆的左、右顶点，p是椭圆上任意一点，且直线pm、pn的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为_解析设p(x0，y0)，不妨设y00，则k10，k20，|k1|k2|k1k2.又1，a2xy，|k1|k2|.0y0b，当y0b时，|k1|k2|的最小值为1，e21，e.答案17.已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a（2，3），且点f（2，0）为其右焦点。()求椭圆c的方程；()直线平行于直线oa，且过点（0，t）,若直线与椭圆c有公共点，求t的取值范围。17.解()依题设椭圆c为，且右焦点f（-2，0），解得，又，故椭圆c的方程为。4分另解：设椭圆方程为.又椭圆c经过点a(2,3)，,化简整理得，解得=12或=-3(舍去）.所以所求椭圆的方程为.4分(设：为，由，解得，6分.18.如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd=1图4(1)证明：平面pq平面dcq；(2)证明：pc平面baq.解析：【答案】如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.(1)依题意有q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1，0)，所以0，0，即pqdq，pqdc且dqdcd故pq平面dcq. (2)根据题意，(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，故有0，0，所以为平面baq的一个法向量又因为(0，2,1)，且0，即dapc，且pc平面baq，故有pcbaq19.（本小题满分15分）已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，若过点f且斜率为1的直线与抛物线相交于m，n两点，且|mn|8.()求抛物线c的方程；()设直线lmn，且在y轴上的截距为2，l与抛物线交于k,g两点，求的面积19解：()由题可知f(，0)，则该直线方程为yx，代入y22px(p0)，得x23px0.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则有x1x23p.|mn|8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，抛物线的方程为y24x. 5分() 20.如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab60，ab2ad2，pd底面abcd.(1)证明：pabd；(2)若pdad ，求二面角apbc的余弦值解析(1)证明：因为dab60，ab2ad2，由余弦定理得bd，从而bd2ad2ab2，故bdad.又pd底面abcd，可得bdpd.又adpdd，所以bd平面pad.故pabd.(2)如图，以d为坐标原点，设ad的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐 标系dxyz.则a(1,0,0), b(0，0)，c(1 ，0)，p(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0).(1,0,0)，设平面pab的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面pbc的法向量为m，则可取m(0，1，)cosm，n.由图可知二面角apbc为钝角故二面角apbc的余弦值为.21、设分别为双曲线的左、右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程;（2）已知直线与双曲线的右支交于两点,且在双曲线的右支上存在点,使,求的值及点的坐标.19答案及解析：答案：1.双曲线的渐近方程为,焦点为,焦点到渐近线的距离为,又,双曲线的方程为.2.设点由得: ,有又点在双曲线上, ,解得,点在双曲线的右支上,此时点.22.如图，四边形abcd为正方形，e，f分别为ad，bc的中点，以df为折痕把dfc折起，使点c到达点p的位置，且pfbf.(1)证明