重庆市朝阳中学2019-2020学年高一数学12月月考试题

重庆市朝阳中学2019-2020学年高一数学12月月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则c的离心率为 a. b. c. d. 2. 已知向量，则a. b. c. d. 3. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 a. b. c. d. 4. 若，则a. b. c. d. 5. 已知奇函数的定义域为r，若为偶函数，且，则a. b. c. 0d. 16. 平面过正方体的顶点a，平面，平面，平面，则m，n所成角的正弦值为 a. b. c. d. 7. 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于a，b两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为 a. b. c. d. 8. 中，a，b，c分别为，的对边，如果a，b，c成等差数列，的面积为，那么b等于 a. b. c. d. 9. 已知是奇函数，当时，当时，等于a. b. c. d. 10. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推求满足如下条件的最小整数n：且该数列的前n项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是a. 440b. 330c. 220d. 11011. 给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若，则与的终边相同；若，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是 a. 1b. 2c. 3d. 412. 若x、y满足，则的最小值是a. b. c. d. 无法确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若，则_14. 设，若，则实数a组成的集合_15. 等差数列，的前n项和分别为，且，则_ 16. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥外接球的表面积为_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 若函数，当时，函数有极值求函数的解析式；求函数的极值；若关于x的方程有三个零点，求实数k的取值范围18. 已知a，b，c分别是内角a，b，c的对边，且满足求角a的大小；若，求的面积19. 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆过点，且离心率求椭圆c的方程；直线l方程为，直线l与椭圆c交于a，b两点，求面积的最大值20. 在数列中，求证：数列是等差数列；求数列的前n项和 21. 已知定义域为r的函数，是奇函数求a，b的值；若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围22. 在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为，为参数，直线l的参数方程为，为参数若，求c与l的交点坐标；若c上的点到l距离的最大值为，求a答案和解析1.【答案】a【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、涉及直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题根据直线与圆相切的条件，利用点到直线的距离公式得到a，b的关系，进而求得离心率【解答】解：以线段为直径的圆与直线相切，原点到直线的距离等于半径a，即，化为，椭圆c的离心率故选a2.【答案】a【解析】【分析】本题考查用向量的数量积求夹角，属于基础题由向量的坐标便可求出，及的值，再根据向量夹角余弦公式求解即可【解答】解：，又，故选a3.【答案】b【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力，属于基础题设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，不妨设直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，又，化简得：，故选b4.【答案】d【解析】【分析】本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题利用诱导公式化，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案【解答】解：，故选d5.【答案】d【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性是解决本题的关键，属于基础题根据函数奇偶性的性质，推断出函数的周期是8，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可【解答】解：奇函数的定义域为r，为偶函数，则，则，则函数的周期是8，则，则，故选d6.【答案】a【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题画出图形，判断出m、n所成角，求解即可【解答】解：如图：平面，平面，平面，延长交ae于点e，则ae即为与平面的交线n，由题意可知：，是正三角形m、n所成角就是则m、n所成角的正弦值为：故选a7.【答案】a【解析】【分析】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当ab垂直于x轴时最小，把的最小值代入，由的最大值等于5，列式求b的值，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率【解答】解：由可知，焦点在x轴上，因，则，过的直线l交椭圆于a，b两点，则，当ab垂直x轴时最小，值最大，此时，则，解得，则椭圆的离心率故选a8.【答案】b【解析】【分析】本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题由题意可得，平方后整理得，利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值【解答】解：，b，c成等差数列，平方得，又的面积为，且，由，解得，代入式可得，由余弦定理得，解得，故选b9.【答案】a【解析】【分析】本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属较易题当时，由已知表达式可求得，由奇函数的性质可得与的关系，从而可求出【解答】解：当时，则，又是奇函数，所以当时，故选a10.【答案】a【解析】【分析】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题由题意求得数列的每一项，及前n项和，及项数，由题意可知：为2的整数幂只需将消去即可，分别即可求得n的值【解答】解：由题意可知，数列可看作：第一项，第二项：，第三项：，第n项：，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，每项含有的项数为：1，2，3，n，总共的项数为，所有项数的和为，由题意可知：为2的整数幂只需将消去即可，则，解得：，总共有，不满足，解得：，总共有，不满足，解得： ，总共有，不满足，解得：，总共有，满足，该款软件的激活码440故选a11.【答案】a【解析】【分析】本题考查了任意角的概念与三角函数的定义和应用问题，是基础题根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可【解答】解：对于，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，错误；对于，三角形的内角，是第一象限角或第二象限角，或y轴正半轴角，错误；对于，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，正确；对于，若，则与的终边相同，或关于y轴对称，错误；对于，若，则是第二或第三象限的角，或终边在x负半轴上，错误；综上，其中正确命题是，只有1个故选a12.【答案】c【解析】【分析】本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，考查了数形结合的数学思想，属于中档题把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，设圆上一点的坐标为，原点坐标为，则表示圆上一点和原点之间的距离的平方，根据图象可知此距离的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的距离，利用两点间的距离公式求出圆心到原点的距离，利用半径减去求出的距离，然后平方即为的最小值【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：，设圆心为点a，则圆心坐标为，圆的半径，设圆上一点的坐标为，原点o坐标为，如图所示：则，所以，则的最小值为，故选c13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于基础题根据正弦定理和两角和的正弦公式计算即可【解答】解：，由正弦定理可得，故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查子集，集合关系中的参数取值问题，是基础题由求出a的元素，再由，若，求出a的值，注意空集的情况【解答】解：，又，时，显然；时，由于，或5，则或，综上，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题根据等差数列的前n项和公式进行转化即可【解答】解：在等差数列中，故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用，属于中档题以pa，pb，pc为棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积【解答】解：如图，pa，pb，pc两两垂直，设，则，解得，三棱锥，pa，pb，pc两两垂直，且，以pa，pb，pc为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为，所以外接球的表面积为故答案为17.【答案】解：，由题意知解得故所求的解析式为；由可得，令，得或，x200极大值极小值当时，有极大值，当时，有极小值；由知，得到当或时，为增函数；当时，为减函数，函数的图象大致如图，由图可知当时，与有三个交点，所以实数k的取值范围为【解析】本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系、函数的零点与方程的根的关系、函数图象的应用，考查计算能力，属于中档题先对函数进行求导，然后根据，可求出a，b的值，进而确定函数的解析式；根据中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而函数的极值；由得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围18.【答案】解：，可得：，由余弦定理可得：，又，；由及正弦定理可得，由余弦定理可得，解得：，【解析】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式，属于中档题由已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得a的值；由及正弦定理可得，又，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解19.【答案】解：椭圆c：过点，且离心率，可得：解得，则，椭圆方程为：；直线方程为，设、，联立方程组，整理得：，因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得当点p在直线ab上时，故或利用弦长公式得：，p到l的距离，当且仅当，即时，面积取到最大值，最大值为2【解析】本题主要考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题利用已知条件列出方程组，然后求解a，b即可得到椭圆方程；联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可20.【答案】解：由已知的两边同时除以，得，且当时，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列；由，得，所以，故所以，【解析】本题主要考查了数列递推关系，等差数列的定义、通项公式、裂项相消法，考查了计算能力，属于中档题由已知的两边同时除以，得到，即可证明结论；由，得，可得，利用裂项相消法即可得出数列的前n项和21.【答案】解：因为是奇函数，所以，即，又由知，所以，经检验，时，是奇函数由知，易知在上为减函数，又因为是奇函数，所以等价于，因为为减函数，由上式可得：，即对一切有：，从而判别式，所以k的取值范围是【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，属于中档题利用奇函数的定义，在中运用特殊值求a，b的值首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围22.【答案】解：曲线c的参数方程为为参数，化为标准方程是：；时，直线l的参数方程化为一般方程是：；联立方程，解得或，所以椭圆c和直