（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第二章 函数及其应用 2.8 函数与方程练习 新人教B版

2.8 函数与方程核心考点精准研析考点一判断函数零点所在区间1.已知实数a1,0b1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是()a.(-2,-1)b.(-1,0)c.(0,1)d.(1,2)2.设函数f(x)=13x-ln x,则函数y=f(x)()a.在区间1e,1,(1,e)内均有零点b.在区间1e,1,(1,e)内均无零点c.在区间1e,1内有零点,在区间(1,e)内无零点d.在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点3.(2020扬州模拟)设函数y=x2与y=12x-2的图象交点为(x0,y0),则x0所在区间是()a.(0,1)b.(1,2)c.(2,3)d.(3,4)4.若ab1,0b1,f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=1a-1-b0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.选d.令f(x)=0得13x=ln x.作出函数y=13x和y=ln x的图象,如图,显然y=f(x)在1e,1内无零点,在(1,e)内有零点.3.选b.因为函数y=x2与y=12x-2的图象交点为(x0,y0),则x0是方程x2=12x-2的解,也是函数f(x)=x2-12x-2的零点.因为函数f(x)在(0,+)上单调递增,f(2)=22-1=30,f(1)=1-2=-10,所以f(1)f(2)0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.4.选a.因为ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理.(2)数形结合法.【秒杀绝招】用特殊值法可解t2.考点二确定函数零点的个数【典例】1.函数f(x)=|x-2|-ln x零点的个数为()a.0b.1c.2d.32.(2019全国卷)函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零点个数为()a.2b.3c.4d.53.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x-1,1时,f(x)=2|x|-1,则函数f(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是()a.9b.10c.11d.18【解题导思】序号联想解题1由f(x)=|x-2|-ln x的零点,想到|x-2|=ln x.2由f(x)=2sin x-sin 2x,想到化简,令f(x)=0求sin x与cos x的值.3由f(x)=f(x)-|lg x|的零点个数,想到f(x)=|lg x|.【解析】1.选c.作出函数y=|x-2|与g(x)=ln x的图象,如图所示.由图象可知两个函数的图象有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.2.选b.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,则sin x=0或cos x=1,又x0,2,所以x=0,2,共三个零点.3.选b.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lg x|的大致图象如图,由图象可知,它们共有10个不同的交点,因此函数f(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图象的交点个数判断.1.函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()a.0b.1c.2d.3【解析】选b.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-10,即f(0)f(1)0,则函数y=f(x)+3x的零点个数是()a.0b.1c.2d.3【解析】选c.令f(x)+3x=0,则x0,x2-2x+3x=0或x0,1+1x+3x=0,解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.3.已知f(x)=|lgx|,x0,2|x|,x0,则函数y=2f(x)2-3f(x)+1的零点个数是_.【解析】由2f(x)2-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.由图象知y=12与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2f(x)2-3f(x)+1的零点有5个.答案:5考点三函数零点的应用命题精解读考什么:(1)由函数的零点有无、个数求参数值或范围、图象的交点、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.怎么考:多以选择、填空题的形式考查.新趋势:以函数图象与性质为载体,图象与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.学霸好方法已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.由零点的个数求参数值或范围【典例】已知函数f(x)=ex,x0,lnx,x0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()a.-1,0)b.0,+)c.-1,+)d.1,+)【解析】选c.画出函数f(x)的图象,y=ex在y轴右侧的图象去掉,再画出直线y=-x,并上下移动,可以发现当直线过点(0,1)时,直线与函数图象有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图象有两个交点,即方程f(x)=-x-a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足-a1,即a-1.已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题的关键是什么?提示:关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个数,或两个函数图象交点的个数问题,再去求解.由函数有无零点求参数【典例】若函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数a的取值范围是_.【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,所以方程4x-2x-a=0在-1,1上有解,即方程a=4x-2x在-1,1上有解.方程a=4x-2x可变形为a=2x-122-14,因为x-1,1,所以2x12,2,令2x=t,t12,2,a=t-122-14,0t-1232,0t-12294,-14t-122-142,所以a=t-122-14的范围为-14,2,所以实数a的取值范围是-14,2.答案:-14,2函数有(或无)零点如何求参数的范围?提示:先分离参数,再依据有(或无)零点得出等式(或不等式),最后得出结论.与函数零点有关的比较大小【典例】(2019承德模拟)已知a是函数f(x)=2x-log12x的零点,若0x00c.f(x0)0d.f(x0)的符号不确定【解析】选c.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log12x的图象,由图象可知,当0x0a时,有2x0log12x0,即f(x0)0.与函数零点有关的函数值如何比较大小?提示:在同一平面直角坐标系中画出图象,根据图象所处的上下位置确定.1.若函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为()a.(0,4)b.(0,+)c.(3,4)d.(3,+)【解析】选c.令g(x)=|2x-4|,其图象如图所示,若f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a(3,4).2.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-x-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是()a.x2x1x3b.x1x2x3c.x1x3x2d.x3x2x1【解析】选b.令y1=2x,y2=ln x,y3=-x-1,因为函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-x-1的零点分别为x1,x2,x3,则y1=2x,y2=ln x,y3=-x-1的图象与y=-x的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,在同一平面直角坐标系内分别作出函数y1=2x,y2=ln x,y3=-x-1及y=-x的图象如图,结合图象可得x1x21)在(0,+)上恰有4个互不相同的零点,则实数a的值为_.【解析】当x0,32时,f(x)=1-|2x-1|=2x,0x1)在(0,+)上恰有4个互不相同的零点,所以函数y=f(x)与y=logax(a1)在(0,+)上恰有4个不同的交点,分别画出两函数图象如图所示,由图可知,当x=72时,有loga72=1,所以a=72.答案:724.方程2x+3x=k的解在1,2)内,则k的取值范围是_.【解析】令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在r上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)0,即(5-k)(10-k)0,解得5k10.又当f(1)=0时,k=5.则方程2x+3x=k的解在1,2)内,k的取值范围是5,10).答案:5,10)1.(2020包头模拟)已知函数f(x)=ln x+3x-8的零点x0a,b,且b-a=1,a