（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 核心素养测评十三 利用导数研究函数的单调性 新人教B版

核心素养测评十三 利用导数研究函数的单调性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=f(x)=x3-x2+12的图象大致是()【解析】选a.因为f(0)=12,所以排除c;因为f(x)=3x2-2x,令f(x)0,所以 x(-,0)或 x23,+时f(x)单调递增,令f(x)0,所以函数f(x)=xex在(0,+)上为增函数;对于c,f(x)=3x2-1,令f(x)0,得x33或x0,得0x1,所以函数f(x)=-x+ln x在区间(0,1)上单调递增.3.函数f(x)=cos x-x在(0,)上的单调性是() a.先增后减b.先减后增 c.单调递增d.单调递减 【解析】选d.易知f(x)=-sin x-1,x(0,), 则f(x)0c.a0d.a0【解析】选a.因为f(x)=ax2-1x=ax-1x,所以f(x)=a+1x2.因为函数f(x)=ax2-1x在(0,+)上单调递增,所以f(x)=a+1x20在(0,+)上恒成立且不恒为零,即a-1x2在(0,+)上恒成立且不恒为零,所以a0.【变式备选】若函数f(x)=kex+x在(0,+)上单调递减,则k的范围为()a.k-1b.k-1c.k1d.k1【解析】选b.f(x)=kex+1.由题意得kex+10在(0,+)上恒成立,即k-1ex,x(0,+).当x(0,+)时,-1ex(-1,0),所以k-1.5.(多选)(2020济南模拟)定义在(0,+)上的函数fx的导函数为fx,且x+1fx-fx5b.若f1=2,x1,则fxx2+12x+12c.f3-2f17d.若f1=2,0xx2+12x+12【解析】选cd.设函数gx=fx-x2x+1,则gx=fx-2xx+1-fx-x2x+12=x+1fx-fx-x2+2xx+12,因为x+1fx-fxx2+2x,所以gxg2g3,整理得2f2-3f15,f3-2f17,故a错误,c正确.当0xg1=12,即fx-x2x+112,即fxx2+12x+12.故d正确,从而b不正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数y=f(x)(xr)的图象如图所示,则不等式xf(x)0的解集为_.【解析】由f(x)图象特征可得,在-,12和2,+)上f(x)0, 在12,2上f(x)0,所以xf(x)0等价于x0,f(x)0或x0,f(x)0,解得0x12或x2,所以xf(x)0的解集为0,122,+).答案:0,122,+)【变式备选】设函数y=f(x),xa,b其导函数的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调递减区间是_.【解析】因为函数y=f(x)的减区间是导函数小于零的区间,由题干图知函数y=f(x)的单调递减区间是(x2,x4).答案:(x2,x4)7.已知函数f(x)=ax+ln x,则当a0时, f(x)的单调递增区间是_,单调递减区间是_.【解析】由已知得f(x)的定义域为(0,+).当a-1a时,f (x)0,当0x0,所以f(x)的单调递增区间为0,-1a,单调递减区间为-1a,+.答案:0,-1a-1a,+8.已知函数fx=aex-ln x-1,设x=1是fx的极值点,则a=_,fx的单调增区间为_.【解析】由题意可得:fx=aex-1x,因为x=1是fx的极值点,所以f1=ae-1=0a=1e,即fx=ex-1-ln x-1fx=ex-1-1x,令fx0,可得x1,所以fx的单调递增区间为1,+.答案:1e1,+三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,br)的图象过点p(1,2),且在点p处的切线斜率为8.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)因为函数f(x)的图象过点p(1,2),所以f(1)=2.所以a+b=1.又函数图象在点p处的切线斜率为8,所以f (1)=8.又f (x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.解由组成的方程组,可得a=4,b=-3.(2)由(1)得f (x)=3x2+8x-3,令f (x)0,可得x13;令f (x)0,可得-3x0得x-1, 由f(x)0得x-1,所以f(x)在(-,-1)上递减,在(-1,+)上递增.当-1ea0得x-1,由f(x)0得ln(-a)x-1,所以f(x)在(ln(-a),-1)上递减,在(-,ln(-a),(-1,+)上递增.当a=-1e时,f(x)0,所以f(x)在r上递增.当a0得xln(-a),由f(x)0得-1x0).由y0,可得1-3x20,即0x33.所以函数y=2ln x-3x2的单调增区间为0,33.2.(5分)(2020东莞模拟)已知函数f(x)=e|x|-ax2,对任意x10,x20,且x1x2,都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1)0,则实数a的取值范围是()a.-,-e2b.-e2,0c.0,e2d.-,e2【解析】选d.由题意可知函数f(x)是(-,0)上的单调递减函数,且当x0时,f(x)=e-x-ax2,f(x)=-1ex-2ax=-2axex+1ex0,可得:2axex+10,即a-12xex恒成立,令g(x)=xex(x0),则g(x)=ex(x+1),据此可得函数g(x)在区间(-,-1)上单调递减,在区间(-1,0)上单调递增,函数g(x)的最小值为g(-1)=-1e,则-12xexmax=e2,故实数a的取值范围是-,e2.3.(5分)已知y=f(x)是定义在r上的函数,且f(2)=5,对任意的x都有f(x)12,则f(x)12x+4的解集是_.【解题指南】构造函数f(x)=f(x)-12x-4,则f(x)0,故而f(x)为减函数,且f(2)=0,从而得出f(x)0的解集,即f(x)12x+4的解集.【解析】设f(x)=f(x)-12x-4,则f(x)=f(x)-122时,f(x)0,即f(x)12x+4,当x0,即f(x)12x+4.答案:(2,+)【变式备选】函数f(x)的定义域为r,f(-1)=2,对任意xr,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为_.【解析】由f(x)2x+4,得f(x)-2x-40,设f(x)=f(x)-2x-4,则f(x)=f(x)-2,因为f(x)2,所以f(x)0在r上恒成立,所以f(x)在r上单调递增,而f(-1)=f(-1)-2(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-40等价于f(x)f(-1),所以x-1.答案:(-1,+)4.(10分)已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在区间(1,+)上为增函数,求a的取值范围.(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围.(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.【解析】(1)因为f (x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+)上为增函数,所以f (x)0在(1,+)上恒成立,即3x2-a0在(1,+)上恒成立,所以a3x2在(1,+)上恒成立,所以a3,即a的取值范围是(-,3.(2)由题意得f (x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,所以a3x2在(-1,1)上恒成立.因为-1x1,所以3x20.因为f(x)=x3-ax-1,所以f (x)=3x2-a.由f (x)=0,得x=3a3,因为f(x)在区间(-1,1)上单调递减,所以3a3=1,即a=3.5.(10分)已知函数f(x)=a2x2+(a+1)x+2ln(x-1).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线与直线2x-y+1=0平行,求出这条切线的方程.(2)讨论函数f(x)的单调区间.【解析】 (1)f(x)=ax+a+1+2x-1,得切线斜率为k=f(2)=3a+3,据题设,k=2,所以a=-13,故有f(2)=23,所以切线方程为y-f(2)=2(x-2),即6x-3y-10=0.(2)f(x)=ax+a+1+2x-1=ax2+x-a+1x-1=(x+1)(ax-a+1)x-1(x1).当a=0时,f(x)=x+1x-1,由于x1,所以f(x)=x+1x-10,可知函数f(x)在定义区间(1,+)上单调递增,当a0时,f(x)=a(x+1)x-a-1ax-1.若a0,则a-1a1时,有f(x)0,函数f(x)在定义区间(1,+)上单调递增,若a1,得当x1,a-1a时,f(x)0;当xa-1