（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程练习 新人教B版

9.3 圆的方程核心考点精准研析考点一 求圆的方程1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()a.(x-1)2+(y-1)2=1b.(x+1)2+(y+1)2=1c.(x+1)2+(y+1)2=2d.(x-1)2+(y-1)2=22.(2020长沙模拟)已知三点a(1,0),b(0,3),c(2,3),则abc外接圆的圆心到原点的距离为()a.53b.213c.253d.433.以(a,1)为圆心,且与两条平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为()a.(x-1)2+(y-1)2=5 b.(x+1)2+(y+1)2=5c.(x-1)2+y2=5d.x2+(y-1)2=54.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=33x对称的圆的方程是()a.(x-3)2+(y-1)2=4b.(x-2)2+(y-2)2=4c.x2+(y-2)2=4d.(x-1)2+(y-3)2=45.已知圆c经过p(-2,4),q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆c的方程为_.【解析】1.选d.由题意可得圆的半径为r=2,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.选b.圆心在直线bc的垂直平分线,即x=1上,设圆心d(1,b),由|da|=|db|得|b|=1+(b-3)2,解得b=233,所以圆心到原点的距离为d=12+2332=213.3.选a.因为两平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0的距离为d=|-6-4|5=25.故所求圆的半径为r=5,所以圆心(a,1)到直线2x-y+4=0的距离为5=|2a+3|5,即a=1或a=-4.又因为圆心(a,1)到直线2x-y-6=0的距离也为r=5,所以a=1.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.4.选d.设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=33x对称的点的坐标为(a,b),则有ba-233=-1,b2=33a+22,解得a=1,b=3,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=4.5.设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2-4f0),将p,q两点的坐标分别代入得2d-4e-f=20,3d-e+f=-10.又令y=0,得x2+dx+f=0.设x1,x2是方程的两根,由|x1-x2|=6,得d2-4f=36,联立,解得d=-2,e=-4,f=-8,或d=-6,e=-8,f=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0求圆的方程的两种方法(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的中垂线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解: 若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于d,e,f的方程组,进而求出d,e,f的值.【秒杀绝招】第4题的解答可以画出直线与圆的图形,发现直线的倾斜角为30,所以圆心m(2,0)的对称圆心m,和原点o构成等边三角形,所以xm =2cos 60=1,ym =2sin 60=3.考点二与圆有关的轨迹问题【典例】1.(2020贵阳模拟)已知圆c:(x-1)2+(y-1)2=9,过点a(2,3)作圆c的任意弦,则这些弦的中点p的轨迹方程为_.2.已知直角三角形abc的斜边为ab,且a(-1,0),b(3,0).求:(1)直角顶点c的轨迹方程.(2)直角边bc的中点m的轨迹方程.【解题导思】序号联想解题1看到中点想到中点坐标公式2看到直角想到垂直关系,从而联想到斜率之积为-1或者向量的数量积为0【解析】1.方法一:设p(x,y),圆心c(1,1).因为p点是过点a的弦的中点,所以.又因为=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).所以(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0.所以p点的轨迹方程为x-322+(y-2)2=54.方法二:由已知得,papc,所以由圆的性质知点p在以ac为直径的圆上,圆心c(1,1),而ac中点为32,2,|ac|=(2-1)2+(3-1)2=5,所以半径为52.所求动点p的轨迹方程为x-322+(y-2)2=54.答案:x-322+(y-2)2=542.(1)方法一:设c(x,y),因为a,b,c三点不共线,所以y0.因为acbc,所以kackbc=-1,又kac=yx+1,kbc=yx-3,所以yx+1yx-3=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点c的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0).方法二:设ab的中点为d,由中点坐标公式得d(1,0),由直角三角形的性质知|cd|=12|ab|=2.由圆的定义知,动点c的轨迹是以d(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于a,b,c三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点c的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0).(2)设m(x,y),c(x0,y0),因为b(3,0),m是线段bc的中点,由中点坐标公式得x=x0+32,y=y0+02,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点c的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点m的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y0).求与圆有关的轨迹问题的方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.设定点m(-3,4),动点n在圆x2+y2=4上运动,以om,on为邻边作平行四边形monp,求点p的轨迹.【解析】如图所示,设p(x,y),n(x0,y0),则线段op的中点坐标为x2,y2,线段mn的中点坐标为x0-32,y0+42.由于平行四边形的对角线互相平分,故x2=x0-32,y2=y0+42.从而x0=x+3,y0=y-4.又n(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点-95,125和-215,285(点p在直线om上时的情况).考点三与圆有关的最值问题命题精解读考什么:(1)圆的几何性质;(2)基本不等式;(3)函数的单调性.怎么考:以选择题或填空题的形式考查新趋势:(1)借助几何性质求解.(2)建立函数关系求解.学霸好方法方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示圆的充要条件:a=c0,b=0,且d2+e2-4af0.1.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题.2.过x2+y2=r2上一点p(x0,y0)的切线方程:x0x+y0y=r2. 利用几何法求最值【典例】1.(2020南宁模拟)在平面直角坐标系xoy中,已知(x1-2)2+y12=5,x2-2y2+4=0,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为()a.55b.15c.1215d.1155【解析】选b.由已知得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方,而距离的最小值为|2+4|1+4-5=55,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为15.2.(2020聊城模拟)已知m(m,n)为圆c:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,(1)求m+2n的最大值.(2)求n-3m+2的最大值和最小值.【解析】(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心c(2,7),半径r=22,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=|12+27-t|12+2222,解上式得:16-210t16+210,所以,所求的最大值为16+210.(2)记点q(-2,3).因为n-3m+2表示直线mq的斜率,设直线mq的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则n-3m+2=k.由直线mq与圆c有公共点,所以|2k-7+2k+3|1+k222.可得2-3k2+3,所以n-3m+2的最大值为2+3,最小值为2-3.用代数法求最值【典例】1.若点p为圆x2+y2=1上的一个动点,点a(-1,0),b(1,0)为两个定点,则|pa|+|pb|的最大值为()a.2b.22c.42d.4【解析】选b.由已知得,线段ab为圆的直径.所以|pa|2+|pb|2=4,由基本不等式得|pa|+|pb|22|pa|2+|pb|22=2,当且仅当|pa|=|pb|时取等号,所以|pa|+|pb|22.2.已知圆c过点p(1,1),且与圆m:(x+2)2+(y+2)2=r2(r0)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆c的方程.(2)设q为圆c上的一个动点,求的最小值.【解析】(1)设圆心c(a,b),由已知得m(-2,-2),则a-22+b-22+2=0,b+2a+2=1,解得a=0,b=0,则圆c的方程为x2+y2=r2,将点p的坐标代入得r2=2,故圆c的方程为x2+y2=2.(2)设q(x,y),则x2+y2=2,=(x-1,y-1)(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=2cos ,y=2sin ,所以=x+y-2=2(sin +cos )-2=2sin+4-2,又sin+4min=-1,所以的最小值为-4.1.(2020厦门模拟)已知两点a(0,-3),b(4,0),若点p是圆c:x2+y2-2y=0上的动点,则abp的面积的最小值为()a.6b.112c.8d.212【解析】选b.x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,则圆c为以(0,1)为圆心,1为半径的圆.如图,过圆心c向直线ab作垂线交圆于点p,连接bp,ap,这时abp的面积最小,直线ab的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,圆心c到直线ab的距离d=165,又|ab|=32+42=5,所以abp的面积的最小值为125165-1=112.2.已知点p(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则y-1x-2的最大值与最小值分别为_.【解析】设y-1x-2=k,则k表示点p(x,y)与点a(2,1)连线的斜率.当直线pa与圆相切时,k取得最大值与最小值.设过(2,1)的直线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由|2k|k2+1=1,解得k=33.答案:33,-331.已知点p(t,t),tr,点m是圆x2+(y-1)2=14上的动点,点n是圆(x-2)2+y2=14上的动点,则|pn|-|pm|的最大值是()a.5-1b.2c.3d.5【解析】选b.易知圆x2+(y-1)2=14的圆心为a(0,1),圆(x-2)2+y2=14的圆心为b(2,0),p(t,t)在直线y=x上,a(0,1)关于直线y=x的对称点为a(1,0),则|pn|-|pm|pb|+12-|pa|-12=|pb|-|pa|+1=|pb|-|pa|+1|ab|+1=2.(此时|pn|最大,|pm|最小)2.设点p(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点a(2,0),b(-2,0),则的最大值为_.【解析】由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以=x2+y2-4,由于点p(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2y4,所以,当y=4时,的值最大,最大值为64-