（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第二章 函数及其应用 2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性练习 新人教B版

2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性核心考点精准研析考点一函数奇偶性的判断1.下列函数为奇函数的是()a.f(x)=xb.f(x)=exc.f(x)=cos xd.f(x)=ex-e-x2.已知函数f(x)=3x-13x,则f(x)()a.是奇函数,且在r上是增函数b.是偶函数,且在r上是增函数c.是奇函数,且在r上是减函数d.是偶函数,且在r上是减函数3.若函数f(x)(xr)是奇函数,函数g(x)(xr)是偶函数,则()a.函数f(g(x)是奇函数b.函数g(f(x)是奇函数c.函数f(x)g(x)是奇函数d.函数f(x)+g(x)是奇函数4.已知定义在r上的函数f(x),对任意的x1,x2r都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是()a.f(x)是奇函数b.f(x)是偶函数c.f(x)+5是奇函数d.f(x)+5是偶函数【解析】1.选d.对于a,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于b, f(-x)=e-x=1ex-f(x),故不是奇函数;对于c,f(-x)=cos(-x)=cos x-f(x),故不是奇函数;对于d,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),是奇函数.2.选a.因为函数f(x)的定义域为r,f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.因为函数y=13x在r上是减函数,所以函数y=-13x在r上是增函数.又因为y=3x在r上是增函数,所以函数f(x)=3x-13x在r上是增函数.3.选c.令h(x)=f(x)g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)g(x)是奇函数.4.选c.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,则fx+(-x)-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-f(x)+5,所以函数f(x)+5是奇函数.判断函数奇偶性的方法(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:f(-x)f(x)=1(f(x)0)判断函数的奇偶性.(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)验证法:即判断f(x)f(-x)是否为0.(4)性质法:在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.考点二函数的周期性及应用【典例】1.已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x0,52时,f(x)=x3-3x,则f(2 018)=()a.2b.-18c.18d.-22.已知函数f(x)是定义在r上的偶函数,若对于x0,都有f(x+2)=-1f(x),且当x0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 017)+f(2 019)的值为()a.0b.-4c.-2d.23.(2019重庆模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x0,3时,f(x)=-x,则f(-16)=_.【解题导思】序号联想解题1由f(x+5)=f(x),想到周期函数2由f(x+2)=-1f(x),想到周期函数3由f(x)的图象关于直线x=3对称,想到f(x)=f(6-x)【解析】1.选d.因为f(x)满足f(x+5)=f(x),所以f(x)是周期为5的函数,所以f(2 018)=f(4035+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2),因为f(x)是奇函数,且当x0,52时,f(x)=x3-3x,所以f(-2)=-f(2)=-(23-32)=-2,故f(2 018)=-2.2.选a.当x0时,f(x+2)=-1f(x),所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x0)的一个周期.所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,f(2 019)=f(3)=-1f(1)=-1,所以f(-2 017)+f(2 019)=0.3.根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),则f(x)的最小正周期是12,故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.答案:21.抽象函数的周期性(1)如果f(x+a)=-f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期t=2a.(2)如果f(x+a)=1f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期t=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期t=2a.(4)如果f(x+a)=f(x-b),则t=|a+b|.(5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则t=4|a-b|.(6)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则t=2|a-b|.2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(ab)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.1.(2020菏泽模拟)定义在r上的函数f(x)的周期为,且是奇函数,f4=1,则f34的值为()a.1b.-1c.0d.2【解析】选b.因为函数f(x)的周期为,所以f34=f-4=f-4,因为f(x)为奇函数,所以 f-4=-f4=-1.2.(2019长春模拟)已知定义在r上的函数f(x)的周期为6,且f(x)=12x-x+1,x-3,0,f(-x),x(0,3),则f(-7)+f(8)=()a.11b.134c.7d.114【解析】选a.根据f(x)的周期是6,故f(-7)=f(-1)=12-1-(-1)+1=4,f(8)=f(2)=f(-2)=12-2-(-2)+1=7,所以f(-7)+f(8)=11.3.已知f(x)是定义在r上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)=_.【解析】因为f(x+4)=f(x-2),所以f(x+2)+4=f(x+2)-2即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(1536+1)=f(1).又f(x)是定义在r上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.答案:6考点三函数性质的综合应用命题精解读考什么:(1)求函数值、解析式或参数值,奇偶性与单调性、奇偶性与周期性交汇等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养.怎么考:函数奇偶性、单调性、周期性以及对称性(奇偶性质的扩展)等知识单独或交汇考查.学霸好方法奇偶函数对称区间上的单调性:奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 求函数值、解析式或参数值【典例】1.(2019全国卷)已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=_.2.设f(x)是定义在r上的奇函数,当x0时,f(x)=()a.2x2-xb.2x2+xc.-2x2-xd.-2x2+x【解析】1.因为ln 20,所以-ln 20时,-x0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因为f(x)是定义在r上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2x2-x.1.如何求奇偶函数对称区间上的解析式?提示:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.2.如何求奇偶函数对称区间上的函数值?提示:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.奇偶性与单调性交汇问题【典例】函数f(x)在(-,+)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()a.-2,2b.-1,1c.0,4d.1,3【解析】选d.由已知,得f(-1)=1,使-1f(x)1成立的x满足-1x1,所以由-1x-21得1x3,即使-1f(x-2)1成立的x满足1x3.解决与抽象函数有关的不等式问题的关键是什么?提示:利用题设条件,想办法去掉“f”符号即可解决.奇偶性与周期性交汇问题【典例】(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()a.-50b.0c.2d.50【解析】选c.f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,图象关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x),则f(x+4)=f(1-(x+3)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1)=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=2.如何求解项数较多的式子的值?提示:因为多项式个数较多,可能与函数的周期性有关,可依据题设条件,先探索函数的周期性,再去求解.1.设函数f(x)是定义在r上的奇函数,且f(x)=log3(x+1),x0,g(x),x0, 则g(-8)=()a.-2b.-3c.2d.3【解析】选a.方法一:当x0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x0,故g(-8)=-log39=-2.方法二:由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.2.(2020石家庄模拟)已知f(x)是定义在r上以3为周期的偶函数,若f(1)1,f(5)=2a-3a+1,则实数a的取值范围为()a.(-1,4)b.(-2,1) c.(-1,2) d.(-1,0)【解析】选a.因为函数f(x)是定义在r上以3为周期的偶函数,所以f(5)=f(-1)=f(1),即2a-3a+11,化简得(a-4)(a+1)0,解得-1a4. 3.设函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则a=_.【解析】因为f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,所以f(1)+f(-1)=0,即(1+1)(1+a)1+(-1+1)(-1+a)-1=0,所以a=-1.答案:-11.若定义在r上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=()a.ex-e-xb.12(ex+e-x)c.12(e-x-ex)d.12(ex-e-x)【解析】选d.由f(x)+g(x)=ex,可得f(-x)+g(-x)=e-x.又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可得f(x)-g(x)=e-x,则两式相减,可得g(x