（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第12讲 函数与方程导学案 新人教A版

第12讲函数与方程【课程要求】1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数2利用函数的零点求解参数的取值范围对应学生用书p31【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)()答案 (1)(2)(3)(4)2必修1p92a组t5函数f(x)lnx的零点所在的大致区间是()a(1，2) b(2，3)c.和(3，4) d(4，)解析f(2)ln210，且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2，3)内答案b3必修1p88例1函数f(x)ex3x的零点个数是_解析由已知得f(x)ex30，所以f(x)在r上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点答案14必修1p92a组t4函数f(x)x的零点个数为_解析作函数y1x和y2的图象如图所示，由图象知函数f(x)有1个零点答案15(多选)下列图象表示的函数中不能用二分法求零点的是()解析a中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；b中函数的图象不连续，因此不能用二分法求零点；d中函数在x轴下方没有图象，因此不能用二分法求零点，故选abd.答案abd6已知函数f(x)x(x0)，g(x)xex，h(x)xlnx的零点分别为x1，x2，x3，则()ax1x2x3bx2x1x3cx2x3x1dx3x1x2解析作出yx与y1，y2ex，y3lnx的图象如图所示，可知选c.答案c【知识要点】1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使_f(x)0_的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有_零点_(3)函数零点的判定(函数存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是_连续不断_的一条曲线，并且有_f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点_(x1_，0)，(x2，0)_(x1，0)_无交点零点个数_2_1_0_对应学生用书p32函数零点区间的判定和求解例1(1)已知函数f(x)则函数f(x)在区间上有_个零点解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；所以函数f(x)在区间0，1上只有1个零点答案1(2)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()a(a，b)和(b，c)内b(，a)和(a，b)内c(b，c)和(c，)内d(，a)和(c，)解析ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选a.答案a小结函数零点的判定方法：(1)解方程法：若对应方程f(x)0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数1若x0是方程x的解，则x0属于区间()a.b.c.d.解析令g(x)，f(x)x，则g(0)1f(0)0，gf，gf，结合图象可得x0.答案c2已知函数f(x)则函数yf(f(x)1在区间上的零点的个数是()a4b3c2d1解析由f(f(x)10，得f(f(x)1，由f(2)f1，得f(x)2或f(x).若f(x)2，则x3或x；若f(x)，则x或x.综上可得函数yf(f(x)1在区间上的零点的个数是2，故选c.答案c函数零点个数的判断和求解例2(1)已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()a2b3c4d5解析由已知条件可得g(x)3f(2x)函数yf(x)g(x)的零点个数即为函数yf(x)与yg(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示由图可知函数yf(x)与yg(x)的图象有2个交点，所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2，故选a.答案a(2)函数f(x)4cos2cos2sinx|ln(x1)|的零点个数为_解析f(x)2(1cosx)sinx2sinx|ln(x1)|sin2x|ln(x1)|，x1，函数f(x)的零点个数即为函数y1sin2x(x1)与y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点答案2小结判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程f(x)0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数yh(x)与函数yg(x)的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式来判断3函数y(x1)2logax(其中a1)零点的个数是()a0b1c2d3解析函数y(x1)2logax(其中a1)零点的个数就是y(x1)2的图象与ylogax(其中a1)图象交点个数，在同一坐标系内画出y(x1)2的图象与ylogax(其中a1)图象，如图，由图可知，y(x1)2的图象与ylogax(其中a1)图象有两个交点，所以函数y(x1)2logax(其中a1)零点的个数是2.答案c4已知a1，方程exxa0与lnxxa0的根分别为x1，x2，若mxx2x1x2，则m的取值范围为_解析方程exxa0的根，即yex与yax图象交点的横坐标，方程lnxxa0的根，即ylnx与yax图象交点的横坐标，而yex与ylnx的图象关于直线yx轴对称，如图所示：x1x2a，xx2x1x2a2，又a1，mxx2x1x21.答案 (1，)二次函数的零点问题例3(1)若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是_解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得m.答案(2)已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)2021(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()aacbdbabcdccdabdcabd解析f(x)2021(xa)(xb)x2(ab)xab2021，又f(a)f(b)2021，c，d为函数f(x)的零点，且ab，cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知cabd，故选d.答案d小结解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组5已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a，若yf(x)在区间(1，0)及内各有一个零点，则实数a的取值范围是_解析依题意，要使yf(x)在区间(1，0)及内各有一个零点，只需即解得a.故实数a的取值范围为.答案6已知yf(x)是定义域为r的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x，若方程f(x)a恰有3个不同的解，则a的取值范围是_解析设x0，则x0，所以f(x)x22x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)方程f(x)a恰有3个不同的解，即yf(x)与ya的图象有3个不同的交点作出yf(x)与ya的图象如图所示，故若方程f(x)a恰有3个不同的解，只需1a1，故a的取值范围为(1，1)答案 (1，1)函数零点的应用例4(1)(多选)设函数f(x)exx2，g(x)lnxx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()ag(a)0cf(b)0解析因为函数f(x)exx2在r上单调递增，且f(0)120，所以f(a)0时，a(0，1)又g(x)lnxx23在(0，)上单调递增，且g(1)20，所以g(a)0，所以g(b)0时，b(1，2)，又f(1)e10，所以f(b)0.答案ad(2)已知函数f(x)lnxax2ax恰有两个零点，则实数a的取值范围是()a(，0) b(0，)c(0，1)(1，) d(，0)1解析由题意，显然x1是函数f(x)的一个零点，取a1，则f(x)lnxx2x，f(x)0恒成立则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除a、d；取a1，则f(x)lnxx2x，f(x)，令f(x)0，得x1，则f(x)在(0，1)上递增，在(1，)上递减，f(x)maxf(1)0，即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除b，故选c.答案c(3)已知f(x)x2kx|x21|，若f(x)在(0，2)上有两个不同的零点x1，x2，则k的取值范围是_解析不妨设0x1x22，f(x)f(x)在(0，1是单调函数，故f(x)0在(0，1上至多一个解；若1x1x22，则x1x20，故不符合题意；0x11x22，由f(x1)0可得k，k1，由f(x2)0可得k2x2，k0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.答案 (，228已知函数f(x)exx22x，g(x)lnx2，h(x)x2，且1x3，若f(a)g(b)h(c)0，则实数a，b，c的大小关系是()aabcbbaccacbdcba解析同一坐标系内，分别作出函数yex，yx22x，ylnx，y2，yx的图象，如图可得a是yex，yx22x图象交点横坐标；b是ylnx，y2图象交点横坐标；c是y2，yx图象交点横坐标；即a，b，c分别