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复数相等的充要条件及应用山东省诸城实验中学 崔永美两个复数，相等的充要条件是且。复数相等的充要条件是把复数问题转化成实数问题的主要途径，巧妙运用这个充要条件可解决如下问题：一、 求系数的值例1、 已知 ，求实数的值。分析：本题是复数相等的充要条件的直接应用。解析：因为为实数，所以为实数。由复数相等的充要条件得解得点评：两个复数相等时，应分清两复数的实部和虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等，从而求出系数的值。练一练：已知，求实数的值。解析：因为为实数，所以都为实数。由复数相等的充要条件得解得二、 求满足条件的复数（相当于求方程的复数解）例2、 已知是实数，是纯虚数，且满足，求与。分析：本题要注意“是纯虚数”这个条件，按常规解法，可设出的代数形式，代入已知等式（方程），利用复数相等的充要条件求解。解析：因为是纯虚数，可设则可化为，由复数相等的充要条件得解得 所以点评：本例题审题要认真，“是实数，是纯虚数”是本题与例1的不同之处，也是易错点。是纯虚数，可设（若为复数可设为）代入已知等式（方程），利用复数相等的充要条件求解。练一练：已知复数的共轭复数是，且满足，求。解析：设，则所以方程可化为即所以由得代入得所以三、 求复系数方程的实数解 例3 已知关于的方程,若该方程有实数根，求锐角及方程的实数根。分析：本题是虚系数一元二次方程，可将实根设出，代入方程，根据复数相等的充要条件求解。 解析： 设该方程的实根为，则， 即， 由复数相等的充要条件，得解得 又为锐角，所以所以锐角，实数根为-1. 点评：复数问题实数处理是我们学习复数时要掌握的主要的思想。求复系数方程的实数解，关键是先设出实根，然后依据复数相等的充要条件建立实数方程组，通过解方程组，达到解题的目的。练一练：关于的方程有非零实根，求实数的值及方程的实根。解析：设方程的实根为代入方程得即由复数相等的充要条件，得解得即实数的值为2，方程的实根为-3。四、 求参数的取值范围 例4、 已知复数，,若，试证明：。分析：依据复数相等的充要条件，可写出参数的关于的表达式。 证明：因为，所以。 可得 因为，所以即 点评：本题是复数与三角函数知识的综合题。仍然是利用复数相等的充要条件来化归并解决问题。在求的取值范围时，请注意对三角函数知识进行回顾。练一练：已知复数试求的取值范围。解析：设则由复数相等得由得所以则五、 求复平面上的点的轨迹方程 例5、已知关于的一元二次方程，当方程有实根时，求点的轨迹方程。分析：方程有实根，说明存在满足方程，利用复数相等的充要条件列出之间的关系，再消去得到的等量关系，即为轨迹方程。解析：设实根为，则即根据复数相等的充要条件得由得代入得即 所以所求的轨迹方程为点评：复数的代数实质是有序实数对，几何实质是复平面内的点。利用复数相等的充要条件将题设转化为动点的坐标关于参数的方程组，然后消去参数，便可得的
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