辽宁沈阳170中学导数应用专项训练题新人教

2010高考导数应用专项训练题1.（09北京卷文18）设函数.（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点.2.（09福建卷文21）已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （）求的单调区间; （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；3.（09海南宁夏卷理21）已知函数如，求的单调区间；若在单调增加，在单调减少，证明6.4.（09湖南卷文19）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.（）求b的值；（）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。5.（09江西卷理17）设函数求函数的单调区间;若，求不等式的解集6.（09辽宁卷理21）已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性;（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。7. （09全国卷理22）设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：8. （09山东卷理21）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。9. （09陕西卷理20）已知函数，其中若在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间；（）若的最小值为1，求a的取值范围.10. （09天津卷理20）已知函数其中当时，求曲线处的切线的斜率;当时，求函数的单调区间与极值.11. （09重庆卷理18）设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线（）求的值；（）若函数，讨论的单调性.12. （09重庆卷文19）已知为偶函数，曲线过点，（）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；（）若当时函数取得极值，确定的单调区间13.利用导数证明不等式设函数, 证明对任意的正整数,不等式都成立.2010高考导数应用专项训练题参考答案1.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）,曲线在点处与直线相切，（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.2.解：（I）依题意，得 由得（）由（I）得 故 令，则或 当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（）当时，得 由，得 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由得 令 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线， 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点.3.解：（）当时，故 当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 4.解: （）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是 （）由（）知，.（）当c 12时，此时无极值。 （ii）当c12时，有两个互异实根,.不妨设，则2.当x时， 在区间内为增函数； 当x时，在区间内为减函数;当时，在区间内为增函数. 所以在处取极大值，在处取极小值.因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由 得.于是 .当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为5.解： (1) , 由,得 .因为 当时,； 当时,； 当时,；所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .由 , 得：. 故：当 时, 解集是：；当 时，解集是： ；当 时, 解集是： 6.解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a5,故，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有12分7.解:当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；（II）方法一：由（I），设，则当时，在单调递增；当时，在单调递减。故.方法二：A B C x 8. 解:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.9. 解（）在x=1处取得极值，解得（） 当时，在区间的单调增区间为当时，由（）当时，由（）知，当时，由（）知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是10. （I）解：（II）以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值（2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值11. 解:（）因又在x=0处取得极限值，故从而由曲线y=在（1，f（1）处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即（）由（）知，令（1）当（2）当K=1时，g（x）在R上为增函数（3）方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数12. 解: （）为偶函数,故即有 解得又曲线过点,得有从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得 所以实数的取值范围:（）因时函数取得极值,故有即,解得又 令,得当时, ,故在上为增函数当时, ,故在上为减函数当时, ,故在上为增函数13.利用导数证明不等式解: 令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.