超静定结构的内力计算,不错的讲义ppt课件

第6章超静定结构的内力计算 返回总目录 力法位移法力矩分配法习题 本章内容 教学要求 本章要求学生了解简单超静定结构的计算原理 掌握超静定结构的受力特性和超静定次数的判断 能用力法 位移法 力矩分配法求解简单超静定结构 力法 一 超静定结构 超静定结构 如图6 1所示 又称静不定结构 它是工程实际中常用的一类结构 其几何组成特征是具有多余约束的几何不变体系 其静力解答特征是它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件求出 必须补充变形条件 图6 1超静定结构 超静定结构的类型主要有以下几种 1 超静定梁 如图6 2所示 2 超静定刚架 如图6 3所示 3 超静定拱 如图6 4所示 图6 2超静定梁 图6 3超静定刚架 图6 4超静定拱 力法 4 超静定桁架 如图6 5所示 5 超静定组合结构 如图6 6所示 图6 5超静定桁架 图6 6超静定组合结构 超静定结构的计算方法很多 依据基本未知量选择的不同可以分为两类 一类是以多余未知力为未知量的力法 即本节将要介绍的 另一类是以结点位移为未知量的位移法 其他的计算方法大多由这两种方法派生而来 比如力矩分配法等 二 超静定次数的确定 超静定结构多余约束力的数目 称为超静定次数 结构的超静定次数可以这样来确定 如果结构去掉个多余约束后即变为静定结构 则该结构的超静定次数就为 解除超静定结构多余约束的方法主要有如下几种 1 去掉一根支杆或切断一根链杆 相当于解除一个约束 如图6 7 a b 所示 力法 2 去掉一个固定铰支座或切开一个单铰 相当于解除两个约束 如图6 7 c d 所示 3 去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件 相当于解除三个约束 如图6 7 e f 所示 4 将固定支座改为固定铰支座或将梁式杆件中某截面加一单铰 刚结改成铰结 相当于解除一个约束 如图6 7 g h 所示 注意 1 不能去掉必要约束 使剩余结构成为几何可变体系 2 应把多余约束全部去掉 不能只是去掉其中的一部分 运用该方法确定超静定结构的超静定次数时 应尽量使解除多余约束后的静定结构为我们所熟悉的简支梁 悬臂梁等形式 图6 7解除超静定结构多余约束 力法 例6 1 确定如图6 8 a 所示结构的超静定次数 图6 8超静定结构 解此结构去掉与地面相连的三根支杆后 桁架内部可看做两刚片 如图6 8 b 所示 用四根链杆相连 是一次超静定结构 欲使其成为静定结构 在这四根链杆中任意去掉一根都可以 形成的静定结构如图6 8 c 所示 被截断的杆件的作用力以一对多余未知力X1代替 三 力法的基本原理与力法的典型方程 现以一个二次超静定刚架为例 说明力法的基本原理以及如何建立多次超静定结构的力法方程 再进一步推广到次超静定结构 得到力法典型方程 如图6 9所示的刚架为二次超静定结构 分析时必须解除两个多余约束 现去掉铰支座A 相应的代以多余约束力X1 X2得到如图6 9 b 所示的基本体系 由于原结构在支座A处没有水平位移和竖向位移 因此 基本结构在荷载和多余未知力X1 X2的共同作用下 铰支座A处也没有水平位移和竖向位移 即A点沿X1和X2方向的位移 力法 1 0 2 0 图6 9力法解二次超静定刚架 力法 设各单位未知力X1 1 X2 1和荷载分别作用于基本结构上 A点沿X1方向的位移分别为 11 12 1P 沿X2方向的位移分别为 21 22 2P 如图6 9 c d e 所示 根据叠加原理 上述位移条件可表示为 这就是二次超静定结构的力法方程式 对于n次超静定结构 相应地有n个多余未知力 而对每一个多余未知力结构总有一个已知的位移条件与之相对应 故可建立一个含有n个未知量的方程组 从而可以求解出n个多余约束力 6 1 力法 式 6 1 通常称为力法典型方程 其物理意义是 基本结构在多余未知力和荷载共同作用下 多余约束处的位移和原来超静定结构相应的位移相等 在上述方程中 主对角线上未知力的系数 ii i 1 2 n 称为主系数 它代表单位未知力Xi 1单独作用在基本结构上时 在i处沿Xi自身方向上所引起的位移 其值恒为正 其余的系数 ij i j 称为副系数 它代表基本结构在未知力Xi处 由未知力Xj 1单独作用时引起的沿Xi方向的位移 自由项 iP表示外荷载 或温度改变 支座移动 作用下 基本结构沿未知力Xi方向所引起的位移 副系数 ij i j 和自由项 iP的值可以为正 负或零 根据位移互等定理 副系数存在以下关系 ij ji典型方程中的各系数和自由项 都是基本结构在已知力作用下的位移计算 完全可以通过静定结构的位移计算求出 将求得的系数与自由项代入力法典型方程 解出各多余未知力X1 X2 Xn然后将已求得的多余未知力和荷载共同作用在基本结构上 利用平衡条件 求出其余的反力和内力 在绘制原结构的最后内力图时 可利用基本结构的单位内力图与荷载内力图按叠加法得到 即 力法 6 2 式中 分别为单位未知力Xi 1作用在基本结构上的弯矩 剪力和轴力 分别为外荷载作用在基本结构上的弯矩 剪力和轴力 四 简单超静定结构的力法计算 用力法计算超静定结构可按下列步骤进行 1 确定超静定次数 去掉多余约束并以多余未知力代替 得到原结构的基本体系 2 根据基本结构在多余未知力和荷载共同作用下 在所去掉各多余约束处的位移与原结构相应位移相等的条件 建立力法的典型方程 3 依次做出基本结构在各单位未知力和荷载单独作用下的内力图 然后利用积分法 或图乘法 计算典型方程中的各个系数以及自由项 4 求解典型方程 得出各多余未知力 5 按照分析静定结构的方法 由平衡条件和叠加原理绘制结构的内力图 6 校核 力法 下面结合具体例子说明力法的运用 例6 2 用力法计算如图6 10 a 所示的刚架 各杆的EI相等且为常数 绘制内力图 图6 10超静定刚架 解 1 由几何组成分析知 该结构是二次超静定结构 去掉处的两个多余约束 得到基本结构 如图6 10 b 所示 力法 2 由已知点的位移条件 列出力法的典型方程 3 作基本体系的图 利用图乘法求系数和自由项 并解方程求得X1 X2 力法 将各系数 自由项代入典型方程 得 4 由公式求各截面弯矩值 并绘制弯矩图 如图6 11 a 所示 图6 11内力图 力法 5 根据最后弯矩图 如图6 11 a 所示 取隔离体 由平衡条件求得各杆端剪力和轴力 并作Q图 N图 如图6 11 b c 所示 取AC 如图6 12 a 所示 分别由 MA 0 x 0 y 0 得 取CB 如图6 12 b 所示 分别由 MB 0 x 0 得 取C结点 如图6 12 c 所示 由 y 0得 取结点B 由 X 0 已知得 图6 12求各杆轴力及剪力 力法 同一超静定结构在求解时可选择各种不同形式的基本结构 结果必然相同 五 超静定结构在温度变化 支座移动时的内力计算 对于超静定结构 即使没有荷载作用时也可能产生内力 如支座移动 温度变化以及制造装配方面的误差都可以引起结构的内力 用力法计算由于支座移动 温度变化等引起结构的内力时 其基本思路 原理和步骤与荷载作用下的内力计算基本相同 不同的只是力法的典型方程中自由项的计算 以下只以支座移动时的计算为例来讲述 例6 3 如图6 13 a 所示的等截面梁 已知端支座转动角度为 端支座下沉位移 试求梁的弯矩图 图6 13例6 3图 力法 解 1 AB为一次超静定梁 去掉B支座多余约束 代以多余约束反力X1 基本体系如图6 13 b 所示 2 在X1和 a共同作用下 基本体系与原结构受力相同 为了使两者变形也相同 必须令基本体系在多余约束处的位移与原结构相同 即 针对基本体系讨论B点的竖直位移 1 a 负号表示支座位移a与X1所设方向相反 11X1 1c a由图6 13 c 知 1c l 负号表示 1c与X1假设方向相反 由基本结构图 如图6 13 d 所示 得到 代入力法方程 得 3 求内力 原超静定结构内力与基本体系相同 而支座移动在基本体系 静定结构 中不引起内力 所以最后弯矩为 力法 原结构的弯矩图如图6 13 e 所示 由此可以看出 计算超静定结构由于支座移动引起的内力时 其力法方程右端项应等于原结构相应处的位移 而自由项为基本结构由于支座移动产生的与多余未知力相应的位移 该两项可直接由基本结构中变形关系求出 结构的最后内力全部由多余未知力引起 六 超静定结构的位移计算 超静定结构的力法计算的基本思想是利用静定的基本体系来计算多余未知力 基本体系的内力 变形与原来超静定结构完全相同 因此 在求解超静定结构的位移时 仍可以借助于基本体系 把已求出的多余力当作主动力来看待 采用前面的静定结构求位移的方法即可以求出基本体系的位移 该位移也就是原来超静定结构中相应的位移 求超静定结构的位移仍可用单位荷载法 单位力可加在原结构上 也可加在它的任一静定基本结构上 超静定结构有不同于静定结构的一些特性 1 由于存在多余约束 超静定结构的内力仅由静力平衡条件不能确定 必须同时考虑变形条件才能求出 因此超静定结构的内力与材料性质和截面尺寸有关 即与杆件的刚度有关 七 超静定结构的特性 力法 2 由于存在多余约束 超静定结构在温度变化和支座位移等因素的影响下一般会产生内力 而静定结构除在荷载作用下会产生内力外 在其他因素影响下不会产生内力 这一特性在一定条件下对超静定结构带来不利影响 例如 连续梁当地基基础发生不均匀沉降时 会使结构产生过大的附加内力 但另一方面也可以利用这一特性 通过改变支座的高度来调整结构的内力 使其得到合理的内力分布 3 由于存在多余约束 超静定结构的刚度一般比相应静定结构的刚度要大些 而内力和位移的峰值则小些 且分布趋于均匀 4 超静定结构在多余约束破坏后 体系仍然是几何不变体系 能继续承受荷载 而静定结构中任何一个约束被破坏后 体系成为几何可变从而丧失了承载能力 因此在抗震防灾 国防建设等方面 超静定结构具有较好的抵抗破坏的能力 位移法 一 位移法的基本概念 用位移法分析结构时 先将结构离散成单个的杆件 进行杆件受力分析 然后考虑变形协调条件和平衡条件 将杆件在结点处组装成整体结构 如图6 14 a 所示的结构在荷载的作用下发生如图中虚线所示的变形 由于结点为刚结点 杆件AB AC在结点A处有相同的转角 A 此外 如果不考虑杆件的轴向变形和剪切变形 并假定弯曲变形是微小的 则可以假定受弯直杆两端之间的距离在变形后仍然保持不变 故结点A无线位移 考查每根杆件的变形情况 可以做出各杆的变形图 如图6 14 b 所示 其中AB杆相当于一端固定 另一端铰支的单跨梁 除承受荷载作用外 固定支座A还产生了转角 A 杆件相当于两端固定的单跨梁 固定端产生了转角 这些单跨超静定梁在支座位移和荷载作用下的反力和内力可以用力法求得 不过 这里的转角 A对于AB AC杆都是未知的 因此 对整个结构来说 求解的关键是如何确定转角 A 图6 14位移法分析结构 位移法 如图6 15所示的结构在受外荷载作用后 各杆的变形如图中虚线所示 结点A B处除了产生角位移外 还产生水平位移 由于变形很小 而且假定杆在弯曲后两端的距离不变 可以认为A B两节点只有水平位移且两点的水平位移 相等 因此结构既有角位移 A B 又有线位移 图6 15结构变形 以上两个例子说明 只要结构的某些角位移 线位移先行求出 则各杆的内力可以完全确定 如把结点位移作为基本未知量 由这些结点位移可求上述各单杆内力和约束反力 由它们组装成原结构时应满足结点的平衡条件 从而可得到确定这些未知位移的方程 由此 位移法分析中应解决以下几个问题 位移法 1 以结构的哪些结点位移为基本未知量 2 确定杆件的杆端力与杆端位移以及荷载之间的关系 3 建立求解基本未知量的位移法方程 二 等截面直杆的转角位移方程 如前所述 用位移法计算超静定结构时 把杆件当作单跨超静定梁 则杆端位移可以看作单跨梁的支座位移 这样 杆端内力与杆端位移之间的关系可以利用力法求出 把杆件杆端内力与杆端位移以及荷载之间的关系式 称为转角位移方程 本节利用力法计算结果 由叠加原理推导出位移法中常用的等截面直杆的转角位移方程 1 单跨超静定梁的形常数和载常数 常用的单跨超静定梁的类型有 两端固定的梁 如图6 16 a 所示 一端固定另一端铰支的梁 如图6 16 b 所示 一端固定另一端为定向支座的梁 如图6 16 c 所示 图6 16单跨超静定梁类型 位移法 上述三种超静定梁 无论是荷载作用还是支座位移所引起的内力 都可以用力法求得 为了求解问题的方便 现将计算结果列于表6 1中 表中所列的杆端弯矩和杆端剪力数值 凡是由荷载作用产生的称为载常数 由支座单位位移产生的均称为形常数 表6 1中的杆端弯矩 杆端剪力及单位位移的正负号规定如下 1 MAB MBA分别表示AB杆A端和B端的弯矩 规定顺时针为正 逆时针为负 2 QAB QBA分别表示AB杆AB端和BA端的剪力 规定使杆件顺时针转动为正 反之为负 3 A表示固定端的转角 规定顺时针为正 逆时针为负 4 表示AB杆两端垂直于杆轴的相对线位移 规定使杆件顺时针转动为正 反之为负 在形常数中 称为杆件的线刚度 在应用表6 1时应注意的是 表中的形常数和载常数是根据图示的支座位移和荷载方向求得的 当计算某一结构时 应根据其杆件两端实际的位移方向和荷载方向 判断形常数和载常数应取的正负号 位移法 2 等截面直杆的转角位移方程 1 两端固定杆如图6 17所示两端固定的等截面直杆 假如A B两端的转角分别为 A B 垂直于杆轴方向上的相对线位移是 梁上还存在外荷载的作用 梁AB在上述四种外在因素共同作用下的杆端弯矩 应该等于 A B 和荷载单独作用下的杆端弯矩的叠加 利用表6 1可以得到 式中 为跨间荷引起AB杆的杆端弯矩 式 6 3 称为两端固定杆的转角位移方程 图6 17两端固定的直杆 6 3 位移法 2 一端固定另一端铰支杆如图6 18所示 设A端转角为 A 两端相对位移是 梁上还作用有外荷载 利用表6 1可以得到 式 6 4 称为一端固定另一端铰支杆的转角位移方程 图6 18一端固定 另一端铰支杆 6 4 位移法 图6 18一端固定 另一端铰支杆 位移法 续表 位移法 3 一端固定另一端定向支承杆如图6 19所示 设A端转角为 A 设B端转角为 B 梁上还作用有外加荷载 利用表6 1可以得到 式 6 5 称为一端固定另一端定向支承杆的转角位移方程 6 5 图6 19一端固定 另一端定向支承杆 位移法 以上得到了三种不同约束条件下等截面直杆的转角位移方程式 它们都是杆端弯矩与荷载及杆端位移之间的关系 对于杆端剪力与杆端位移及荷载之间关系可根据静力平衡条件求得 式中 分别表示相应简支梁在跨间荷载作用下的杆端剪力 分别将式 6 3 式 6 4 式 6 5 代入式 6 6 即可求得相应单跨超静定杆的杆端剪力与杆端位移及荷载的关系 6 6 三 位移法计算举例 位移法方程实质上反映了原结构某一部分的静力平衡条件 因此可以直接运用转角位移方程得到杆端力与杆端位移的关系式后 由原结构的结点和某部分的平衡条件建立位移法方程 下面说明这种方法的过程和步骤 位移法 例6 4 用位移法计算如图6 20 a 所示刚架 绘制出最后弯矩图 图6 19一端固定 另一端定向支承杆 解 1 如图6 20 a 所示的刚架结构具有两个基本未知量 即转角 1和线位移 令Z1 1 Z2 并假设位移均为正方向 如图6 20 b 所示 2 应用转角位移方程 将各杆杆端弯矩和杆端剪力表达为含结点位移及荷载的表达式 即 位移法 3 由结点1的平衡条件 M1 0和柱端剪力平衡条件 x 0 如图6 21所示 可以建立两个方程式 图6 21杆12的平衡 位移法 将上述有关杆端弯矩和杆端剪力代入 得 4 解方程组可得 5 然后将Z1 3 63 Z2 8 93代回到各杆杆端弯矩的表达式中 则可以得到 位移法 6 根据上述各杆的杆端弯矩及跨间荷载 可绘制出原结构的最后弯矩图 如图6 22所示 图6 22刚架的最后弯矩图 力矩分配法 一 力矩分配法的基本概念 前面介绍的力法和位移法是计算超静定结构的两种基本方法 无论哪种方法都需要求解联立方程组 力矩分配法采用逐步修正的计算步骤 不需要求解联立方程组 可以直接求出杆端弯矩的近似值 比较适用于连续梁和无结点线位移的刚架的计算 为了说明力矩分配法的概念和计算步骤 先介绍几个名词 1 转动刚度杆端支承不同的杆件对于杆端转动的抵抗能力是不同的 杆端转动刚度系数SAB的定义是 杆AB的A端 或者称近端 产生单位转角时 A端所需施加的力矩值 此值不仅与杆件的弯曲线刚度有关 而且与杆件的另一端 或者称远端 的支承有关 不同支承情况的等截面直杆相应的近端转动刚度系数可以从表6 1中查得 如图6 23 a 图6 23 c 所示 它们分别为 远端为固定支座SAB 4i远端为铰支座SAB 3i远端为定向支座SAB i 图6 23转动刚度 力矩分配法 如果把A端改成固定铰支座或可动铰支座 则SAB的数值不变 可以把A端看作可转动 但不能移动 的刚结点A 这时SAB就代表当刚结点产生单位转角时在杆端Ai引起的杆端弯矩 2 传递系数当杆件AB仅在A端有转角时 引起B端的弯矩MBA称为传递弯矩 它与A端弯矩MAB之比值 称为该杆从A端传至B端的弯矩传递系数 用CAB表示 因此 图6 23 a b c 所示各杆的传递系数分别为 远端为固定支座 远端为定向支座 远端为铰支座 利用传递系数的概念 图6 23中各杆的远端弯矩可以由下式计算 力矩分配法 3 弯矩分配系数 如图6 24 a 所示的刚架 外力偶M作用于结点A 使结点A发生了转角 A 各杆发生如图中虚线所示的变形 由刚结点的特点 各杆的A端均发生转角 A 现将结点A取作隔离体 如图6 24 b 所示 由平衡条件有 图6 24刚架受力图 又由各杆转动刚度定义 当时 近端弯矩分别为 则 力矩分配法 故 式中 SAi表示交于结点A的各杆A端转动刚度之和 则各杆端弯矩为 式中 AB AC AD即为点A处各杆近端弯矩的分配系数 且同一结点各杆端分配系数之和为1 即 AB AC AD 1 力矩分配法 注意的是M为作用于结点A的外力矩 该力矩按各杆A端转动刚度的比例分配给各杆的A端 近端 故称各杆的A端弯矩为分配弯矩 为力矩分配系数 上述计算近端弯矩的过程称为力矩分配 力矩分配法即是将作用于结点的外力矩按交于此点的各杆端的力矩分配系数分配给各杆的近端 得到各杆近端的分配弯矩 然后根据各杆远端的支承情况 将近端的分配弯矩乘以相应的传递系数 得到远端的传递弯矩 二 用力矩分配法计算连续梁和结点无线位移的刚架 以图6 25 a 的连续梁为例来说明其计算步骤 1 固定结点 求约束力矩 在刚结点B处加上附加刚臂 形成位移法的基本结构 然后将荷载加上去 如图6 25 b 所示 此时 各杆端将产生固端弯矩 利用结点B的力矩平衡条件 可以求出刚臂对结点的约束力矩 也称不平衡弯矩 约束力矩以顺时针转向为正 在数值上等于交于结点B的各杆端固端弯矩的代数和 即 力矩分配法 图6 25力矩分配法计算连续梁 力矩分配法 2 放松结点 求分配弯矩和传递弯矩 因结点B本来没有刚臂 也不存在约束力矩MB 为了使其恢复到原来的状态图6 25 a 使结点B处的约束力矩回复到零 在结点B处新加一个与MB大小相等 方向相反的力矩 这相当于消除了刚臂 使结点B产生与原结构相同的转动 此时各杆所产生的杆端弯矩可以按力矩分配法进行计算 注意 跨间荷载引起的结点不平衡力矩要反号分配 传递 而结点上外力矩荷载要正号分配 传递 3 把图6 25 b 图6 25 c 两种情况叠加 就得到如图6 25 d 所示最后的杆端弯矩 计算过程通常在梁的下方列表中进行 详细的计算过程如下 1 计算结点B处各端的弯矩分配系数 为方便计算 令 则iAB 1 iBC 2 将分配系数写在图6 25 a 下的表中第一行内 力矩分配法 2 计算固端弯矩 由表6 1得 将此值写在图6 25 a 下的表中第二行内 3 进行弯矩分配和传递 结点B处约束力矩为 将其反号并乘以分配系数即得到各近端的分配力矩 再将分配力矩乘以各杆的传递系数即得到各远端的传递力矩 力矩分配法 在分配力矩下面划一横线 表示结点已经放松 达到平衡 将这些值写在图6 25 a 下的表中第三行内 4 计算杆端最终弯矩值 并绘制M Q图 将图6 25 a 下的表中对应于每一杆端截面的竖列数值相加 就得到各杆端的最终弯矩值 下面划双横线表示最后结果 注意结点B应满足平衡条件 根据杆端弯矩及跨间荷载可绘出图 如图6 25 d 所示 利用弯矩图 取各杆件为隔离体 由平衡条件求各端剪力 绘出剪力图 如图6 25 e 所示 力矩分配法 5 计算B支座的约束反力 取结点B为隔离体 如图6 25 f 所示 由 y 0 求得B支座的反力为 RB 50 60 110kN 例6 5 用力矩分配法计算图6 26 a 所示无侧移刚架 并绘制弯矩图 图6 26力矩分配法计算无侧移刚架 力矩分配法 解 1 计算弯矩分配系数 弯矩分配系数如图6 26 b 的方框中所示 2 计算固端弯矩 将此值列于图6 26 b 中的第二行 3 进行力矩的分配和传递计算 外力矩80kNm作用在A结点上 已假定在结点A有附加刚臂 故该外力矩对各杆不产生固端弯矩 外力矩直接由附加刚臂承受 并引起约束力矩为 80kNm 由结点A的力矩平衡条件 如图6 26 d 所示 求得总的约束力矩为 MA 80 24 56kNm 力矩分配法 将MA反号进行分配和传递计算 其计算过程可按图6 26 b 所示格式进行 4 计算最终的杆端弯矩并绘制M图 各杆最终的杆端弯矩值为图6 26 b 中下面有双横线的数字 刚架的弯矩图如图6 26 c 所示 由图6 26 d 知MB 0 满足平衡条件 可知计算无误 注意80kNm作用在刚结点A上 不属于杆端 故不参加求最后杆端弯矩的叠加 写在括号中以免混淆 对于具有两个以上结点角位移的连续梁和刚架 可以采用逐个结点轮流放松的方法 即每次只放松一个结点 其他结点仍暂时固定 这样把各结点的约束力矩轮流地进行分配 传递 直到各结点的约束力矩小到可以忽略不计时 即可停止分配和传递 最后根据叠加原理求得结构的各杆端弯矩 解题步骤为 计算汇交于各结点的各杆端的力矩分配系数 ik 并确定各杆传递系数Cik 固定各结点 计算各杆端的固端弯矩 逐次放松各结点 并对每个结点按分配系数将约束力矩反号分配给汇交于该结点的各杆端 然后将各杆端的分配弯矩乘以传递系数传递给另一端 按此步骤循环计算直至各结点上的传递弯矩小到可以忽略为止 力矩分配法 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩和传递弯矩相加 即得各