线性代数5.1ppt课件

第5章矩阵的对角化 5 1 1特征值与特征向量的概念及计算 5 1 2特征值与特征向量的性质 5 1特征值与特征向量 注 1 特征值与特征向量的概念 5 1 1特征值与特征向量的概念及计算 1 特征向量x 0 特征值问题是对方阵而言的 2 若x是矩阵A的属于特征值l的特征向量 k 0 则非零向量kx也是矩阵A的属于特征值l的特征向量 成立 则称l为矩阵A的一个特征值 定义5 1设A是n阶方阵 如果存在复数l和n维列向量 使得等式 非零向量x称为矩 阵A的属于特征值l的特征向量 简称为特征向量 例5 1若 因此 是矩阵A的特征值 是A的属于 的特征向量 属于的特征向量 是A的 的属于特征值的特征向量 l 是A的属于特征值l的线性无关特征向量 例5 2 证明 对任意不全为零的 都是矩阵 证明由已知 而 所以 是属于l的特征向量 2 特征方程与特征多项式 为A的特征根 特征值 在复数域内 A有n个特征值 可能有重复 为 l为矩阵A的特征值 x为A的属于特征值l的特征向量 是l的n次多项式 通常称为矩阵A的特征多项式 记作 或 称为A的特征方程 它的根称 的非零解 3 特征值与特征向量的求法 步骤 1 2 对每一特征值 求出的一个基 l为矩阵A的特征值 x为A的属于特征值l的特征向量 特征值l0的特征向量为 为任意一组不全为零的数 求解 得A的全部特征值 础解系 其中 计算矩阵A的特征多项式 3 为 的非零解 则A的属于 0 0 A的特征多项式为 所以A的特征值为 注对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素 分析 解方阵A的特征多项式为 所以 方阵A有两个特征值 解齐次线性方程组 例5 3求出二阶方阵 的特征向量 的全部特征值和相应 当 时 得基础解系 所以属于的全部特征向量 行 解齐次线性方程组 当 时 得基础解系 是 所以属于 的全部特征向量 是 行 例5 4求出三阶方阵 相应的特征向量 的全部特征值和 解 所以A的特征值为 A的特征多项式为 当时 得基础解系 解齐次线性方程组 所以属于 的全部特征向量 是 行 得基础解系 说明 不同时为零 二重根2对应着两个线性无关的特征向量 的全部特征向量是 当时 解齐次线性方程组 所以属于 行 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为 例5 5求出三阶方阵 应的特征向量 的全部特征值和相 得基础解系 当时 解方程组 的全部特征向量 所以属于 是 行 说明 二重根1对应着一个线性无关的特征向量 当时 得基础解系 向量是 解方程组 的全部特征 所以属于 行 例5 6求出三阶方阵 相应的特征向量 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为 的全部特征值和 得基础解系 当时 解方程组 的全部特征向量 所以属于 是 行 得基础解系 当时 解方程组 的全部特征向量 所以属于 是 得基础解系 当时 解方程组 的全部特征向量 所以属于 是 证明 例5 7 是的特征值 是的属于的特征向量 是的特征值 是的属于的特征向量 则 所以 例 必有一个特征值为 则 必有一个特征值为 的特征值 是 例5 7 是的特征值 是的属于的特征向量 是的特征值 是的属于的特征向量 则 5 1 2特征值与特征向量的性质 定理5 1方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关 证明 是属于这两个特征值的特征向量 则有 设 由于 所以 从而 所以线性无关 分别 证明 设方阵A的互不相同的特征值 的特征向量为 则 即 设有常数 得 定理5 2方阵A的m个不同特征值 特征向量线性无关 所对应的 所对应 使 系数行列式 因时 线性无关 所以特征向量 定理5 3 称为 的迹 记 这里 证明 1 若n阶方阵 的全部特征值是 那么 比较等式两边多项式中 项的系数 可知 证明 2 又 所以 定理5 3 称为 的迹 记 这里 若n阶方阵 的全部特征值是 那么 定义5 2 对于n阶方阵A 是A的特征值 则 的代数重数 的几何重数 的基础解系所含 个数 的特征向量 作为特征多项式的根的重数 向量 例5 8方阵 的特征多项式为 A有一个三重特征值 解方程组 得到基础解系 特征值2的代数重数是3 几何重数是1 特征值1的代数重数是1 几何重数是1 特征值2的代数重数是2 几何重数是2 任一特征值的代数重数不小于它的几何重数 例5 4中 的特征值为 当时 解 得基础解系 得基础解系为 当时 解 定理5 4任一特征值的代数重数不小于它的几何重数 证明设n阶方阵A的特征值的几何重数是 那么 有m个线性无关的特征向量 不妨记为 再另选 构成n阶可逆方阵 个向量 则有 其中B是矩阵 阶方阵 由于P是可 C是 逆矩阵 所以满足上式的B C总是存在的 的根 所以 仍有可能是多项式 的代数重数 由于 特征子空间 如果是方阵A的特征值 则 即 特征子空间的维数就是特征值的几何重数 例5 9 特征值2的几何重数是1 特征子空间为 例5 8中 方阵 的三重特征值为2 解方程组 得到基础解系 的解空间称为A的特征子空间 记作 特征值1的