存贮论模型LINGO方法ppt课件

第十一章存贮论模型 1 确定性模型 它不包含任何随机因素 存贮论的数学模型一般分成两类 2 带有随机因素的随机存贮模型 存贮论模型LINGO方法 某电器公司的生产流水线需要某种零件 该零件需要靠订货得到 为此 该公司考虑到了如下费用结构 1 批量订货的订货费12000元 次 2 每个零件的单位成本为10元 件 3 每个零件的存贮费用为0 3元 件 月 4 每个零件的缺货损失为1 1元 件 月 公司应如何安排这些零件的订货时间与订货规模 使得全部费用最少 例11 1 问题的引入 11 1存贮论模型简介 存贮论模型的基本概念 1存贮模型的基本要素 l 需求率 单位时间内对某种物品的需求量 用D表示 2 订货批量 一次订货中 包含某种货物的数量 用Q表示 3 订货间隔期 两次订货之间的时间间隔 用T表示 2存贮模型的基本费用 l 订货费 组织一次生产 订货或采购的费用 通常认为与订购数量无关 记为CD 2 存贮费 用于存贮的全部费用 通常与存贮物品的多少和时间长短有关 记为Cp 3 短缺损失费 由于物品短缺所产生的一切损失费用 与损失物品的多少和短缺时间的长短有关 记为Cs 11 2经济订购批量存贮模型 EOQ 模型定义 不允许缺货 货物生产 或补充 的时间很短 通常近似为0 经济订购批量存贮模型 EOQ 有以下假设 l 短缺费为无穷 即Cs 2 当存贮降到零后 可以立即得到补充 3 需求是连续的 均匀的 4 每次的订货量不变 订购费不变 5 单位存贮费不变 在一个周期内 最大的存贮量为Q 最小的存贮量为0 且需求的连续均匀的 因此在一个周期内 其平均存贮量为Q 2 存贮费用为CpQ 2 11 2 1基本的经济订购批量存贮模型 EOQ 一次订货费为CD 则在一个周期 T 内的平均订货费为CD T 由于在最初时刻 订货量为Q 在T时刻 存贮量为0 而且需求量为D且连续均匀变化 因此 订货量Q 需求量D和订货周期T之间的关系为 T Q D 一个周期内的总费用 一个单位时间内 如一年 的平均总费用 得费用最小的订货量 令 例11 2 继例11 1 设该零件的每月需求量为800件 1 试求今年该公司对零件的最佳订货存贮策略及费用 2 若明年对该零件的需求将提高一倍 则需零件的订货批量应比今年增加多少 订货次数以为多少 解 取一年为单位时间 由假设 订货费CD 12000元 次 存贮费Cp 3 6元 件 年 需求率D 96000件 年 代入相关的公式得到 编写LINGO程序 程序名 exam1102a lg4 MODEL 1 C D 12000 2 D 96000 3 C P 3 6 4 Q 2 C D D C P 0 5 5 T Q D 6 n 1 T 7 TC 0 5 C P Q C D D Q END 计算结果 Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueC D12000 00D96000 00C P3 600000Q25298 22T0 2635231N3 794733TC91073 60 例11 2 全年的订货次数为 n必须为正整数 比较n 3与n 4时全年的费用 继续用LINGO程序计算 exam1102b Lg4 MODEL 1 sets 2 times 1 2 n Q TC 3 endsets4 data 5 n 3 4 6 C D 12000 7 D 96000 8 C P 3 6 9 enddata10 for times 11 n D Q 12 TC 0 5 C P Q C D D Q 13 END 例11 2 Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueC D12000 00D96000 00C P3 600000N 1 3 000000N 2 4 000000Q 1 32000 00Q 2 24000 00TC 1 93600 00TC 2 91200 00 得到结果 结果解释 全年组织4次订货更好一些 每季度订货一次 每次订货24000件 例11 2 2 若明年需求量增加一倍 则需零件的订货批量应比今年增加多少 订货次数以为多少 用LINGO软件 直接求出问题的整数解 编写LINGO程序 exam1102c lg4 例11 2 MODEL 1 sets 2 order 1 99 TC EOQ 3 endsets4 5 for order i 6 EOQ i D i 7 TC i 0 5 C P EOQ i C D D EOQ i 8 9 TC min min order TC 10 Q sum order i EOQ i TC min eq TC i 11 N D Q 12 13 data 14 C D 12000 15 D 96000 16 C P 3 6 17 enddataEND 例11 2 程序解释 程序第2 行中的99不是必须的 通常取一个适当大的数就可以了 第6 行计算年订货1 2 99次的订货量 第7 行计算在这样的订货量下 年花费的平均总费用 第9 行求出所有费用中费用最少的一个 第10 行求出最小费用对应的订货量 第11 行求出相应的订货次数 经计算得到 Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueD96000 00C P3 600000C D12000 00TC MIN91200 00Q24000 00N4 000000 结果解释 一年组织4次订货 每季度1次 每次的订货量为24000件 最优费用为91200元 模型评价 它在实际使用中的效果并不理想 其原因在于 此模型没有考虑多产品 共同占用资金 库容等实际情况 11 2 2带有约束的经济订购批量存贮模型 考虑多物品 设有m种物品 带有约束的情况 l Di Qi Ci i 1 2 m 分别表示第i种物品的单位需求量 每次订货的批量和物品的单价 2 CD表示实施一次订货的订货费 即无论物品是否相同 订货费总是相同的 3 Cpi i 1 2 m 表示第i种产品的单位存贮费 4 J WT分别表示每次订货可占用资金和库存总容量 5 wi i 1 2 m 表示第i种物品的单位库存占用 1具有资金约束的EOQ模型 对于第i i 1 2 m 种物品 当每次订货的订货量为Qi时 年总平均费用为 每种物品的单价为Ci 每次的订货量为Qi 则CiQi是该种物品占用的资金 因此 资金约束为 综上所述 2具有库容约束的EOQ模型 具有资金约束的EOQ模型为 3兼有资金与库容约束的最佳批量模型 对于这三种模型 可以容易地用LINGO软件进行求解 例11 3 某公司需要5种物资 其供应与存贮模式为确定型 周期利补充 均匀消耗和不允许缺货模型 设该公司的最大库容量 WT 为1500立方米 一次订货占用流动资金的上限 J 为40万元 订货费 CD 为1000元 5种物资的年需求量Di 物资单价Ci 物资的存贮费Cpi 单位占用库wi如表11 1所示 试求各种物品的订货次数 订货量和总的存贮费用 例11 3 解 设Ni是第i i 1 2 5 物品的年订货次数 相应的整数规划模型 数 MODEL 1 sets 2 kinds 1 5 C P D C W Q N 3 endsets4 5 min sum kinds 0 5 C P Q C D D Q 6 sum kinds C Q J 7 sum kinds W Q W T 8 for kinds N D Q gin N 9 data 10 C D 1000 11 D 600 900 2400 12000 18000 12 C 300 1000 500 500 100 13 C P 60 200 100 100 20 14 W 1 0 1 5 0 5 2 0 1 0 15 J 400000 16 W T 1500 17 enddataEND exam1103 lg4 计算结果如下 Localoptimalsolutionfoundatiteration 5903Objectivevalue 142272 8VariableValueReducedCostC D1000 0000 000000J400000 00 000000W T1500 0000 000000C P 1 60 000000 000000C P 2 200 00000 000000C P 3 100 00000 000000C P 4 100 00000 000000C P 5 20 000000 000000D 1 600 00000 000000D 2 900 00000 000000D 3 2400 0000 000000D 4 12000 000 000000D 5 18000 000 000000 C 1 300 00000 000000C 2 1000 0000 000000C 3 500 00000 000000C 4 500 00000 000000C 5 100 00000 000000W 1 1 0000000 000000W 2 1 5000000 000000W 3 0 50000000 000000W 4 2 0000000 000000W 5 1 0000000 000000Q 1 85 714290 000000Q 2 69 230770 000000Q 3 171 42860 000000Q 4 300 00000 000000Q 5 620 68970 000000N 1 7 000000632 6528N 2 13 00000467 4553N 3 14 00000387 7547N 4 40 00000624 9998N 5 29 00000785 9690 RowSlackorSurplusDualPrice1142272 8 1 00000027271 6940 00000034 0356210 00000040 000000632 652850 000000467 455360 000000387 754770 000000624 99988 0 4963044E 07785 9690 结果解释 总费用为142272 8元 订货资金还余7271 694元 库存余4 035621立方米 表11 2 表11 2 物资的订货次数与订货量 注意 LINGO作整数规划的计算较慢 11 2 3允许缺货的经济订购批量存贮模型 所谓允许缺货是指企业可以在存贮降至零后 还可以再等一段时间然后订货 当顾客遇到缺货时不受损失 或损失很小并假设顾客耐心等待直到新的货补充到来 T1不缺货时间 T2缺货时间 T周期 S为最大缺货量 CS缺货损失的单价 Q仍为每次的最高订货量 则Q S为最高存贮量 因为每次得到订货量Q后 立即支付给顾客最大缺货S 图11 3允许缺货模型的存贮曲线 一个周期内 平均存贮量 平均总费用 平均存贮量 平均缺货量 例11 4 继例11 2 将问题改为允许缺货模型 且缺货损失费为每年每件13 2元 其他条件不变 求全年的订货次数 订货量以及最优存贮费用 解 是一个整数规划问题 且取整数 编写LINGO程序 exam1104a lg4 MODEL 1 min 0 5 C P Q S 2 Q C D D Q 0 5 C S S 2 Q 2 N D Q gin N 3 data 4 C D 12000 5 D 96000 6 C P 3 6 7 C S 13 2 8 enddataEND exam1104a lg4 计算结果 Localoptimalsolutionfoundatiteration 853Objectivevalue 81257 14VariableValueReducedCostC P3 6000000 000000Q32000 000 000000S6857 1410 000000C D12000 000 000000D96000 000 000000C S13 200000 000000N3 000000 3085 716RowSlackorSurplusDualPrice181257 14 1 00000020 000000 3085 716 结果解释 即全年组织3次订货 每次的订货量为32000件 最大缺货量为6857 141件 最优费用为81257 14元 请与例11 2相比较 如果只求最小费用的订货周期 最大订货量和最大缺货量 只需对平均总费用求关于Q和S的偏导数 求出其极小点 MODEL 1 sets 2 order 1 99 TC EOQ EOS 3 endsets4 5 for order i 6 EOQ i D i 7 EOS i C P C p C S EOQ i 8 TC i 0 5 C P EOQ i EOS i 2 EOQ i C D D EOQ i 9 0 5 C S EOS i 2 EOQ i 10 11 TC min min order TC 12 Q sum order i EOQ i TC min eq TC i 13 S sum order i EOS i TC min eq TC i 不用求解整数规划 也可以很容易的求出整数解 编写程序 exam1104b Lg4 14 N D Q 15 16 data 17 C D 12000 18 D 96000 19 C P 3 6 20 C S 13 2 21 enddataEND Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueD96000 00C P3 600000C S13 20000C D12000 00TC MIN81257 14Q32000 00S6857 143N3 000000 计算结果 11 2 4带有约束允许缺货模型 允许缺货模型 考虑多种类 带有资金和库容约束的数学模型 设Si CSi分别为第i种物品的最大缺货量 缺货损失单价 其他符号的意义不变 由于Qi是第i种物品的最大订货量 则CiQi是第i种物品占用资金数 Qi Si是第i种物品的最大存贮量 例11 5 继例11 3 假设缺货损失费 CSi 是物品的存贮费 CPi 的2倍 其他参数不变 试求出各种物品的订货次数 订货量和总的存贮费用 解 设Ni是第i物品的年订货次数 数 MODEL 1 sets 2 kinds 1 5 C P D C W C S Q S N 3 endsets4 5 min sum kinds 0 5 C P Q S 2 Q C D D Q 0 5 C S S 2 Q 6 sum kinds C Q J 7 sum kinds W Q S W T 8 for kinds N D Q gin N 9 data 10 C D 1000 11 D 600 900 2400 12000 18000 12 C 300 1000 500 500 100 13 C P 60 200 100 100 20 14 C S 120 400 200 200 40 15 W 1 0 1 5 0 5 2 0 1 0 16 J 400000 17 W T 1500 18 enddataEND 计算结果 编写LINGO程序 exam1105 lg4 Localoptimalsolutionfoundatiteration 1557Objectivevalue 124660 8VariableValueReducedCostC D1000 0000 000000J400000 00 000000W T1500 0000 000000C P 1 60 000000 000000C P 2 200 00000 000000C P 3 100 00000 000000C P 4 100 00000 000000C P 5 20 000000 000000D 1 600 00000 000000D 2 900 00000 000000D 3 2400 0000 000000D 4 12000 000 000000D 5 18000 000 000000C 1 300 00000 000000C 2 1000 0000 000000C 3 500 00000 000000C 4 500 00000 000000C 5 100 00000 000000 W 1 1 0000000 000000W 2 1 5000000 000000W 3 0 50000000 000000W 4 2 0000000 000000W 5 1 0000000 000000C S 1 120 00000 000000C S 2 400 00000 000000C S 3 200 00000 000000C S 4 200 00000 000000C S 5 40 000000 000000Q 1 85 714290 000000Q 2 60 000000 000000Q 3 141 17650 000000Q 4 315 78950 000000Q 5 857 14290 000000S 1 28 571420 000000S 2 20 000000 000000S 3 47 058810 000000S 4 105 26310 000000S 5 285 71420 000000 N 1 7 000000755 1017N 2 15 00000733 3330N 3 17 00000723 1831N 4 38 00000722 9914N 5 21 00000727 8909RowSlackorSurplusDualPrice1124660 8 1 000000288 456440 0000003343 31700 00000040 000000755 101750 000000733 333060 000000723 183170 000000722 991480 000000727 8909 结论 总费用为124660 8元 订货资金还余88 46元 库存余343 317立方米 表11 3 表11 3允许缺货的物资的订货次数与订货量 11 2 5经济订购批量折扣模型 经济订购批量折扣模型中商品的价格是不固定的 是随着订货量的多少而改变的 物品订购的越多 物品的单价也就越低 一年的总费用 年平均存贮费 年平均订货费 商品的购买费用 其中 其中是单调递增的 而是单调递减的 物品的存贮费Cp Q 与物品的价格有关 通常是价格C Q 的r 0 r 1 倍 即 对于折扣模型 经济订购批量折存贮型中求最优订购量的公式仍然成立 但Cp不再是常数 则最优订购量为 然后再根据所在的区间和的值 选择合适的 某公司计划订购一种商品用于销售该商品的年销售量为40000件 每次订货费为9000元 商品的价格与订货量的大小有关 为 例11 6 存贮费是商品价格的20 另问如何安排订货量与订货时间 解 编写出相应的LINGO程序 exam1106 lg4 MODEL 1 sets 2 range 1 4 B C C P EOQ Q TC 3 endsets4 5 data 6 D 40000 7 C D 9000 8 R 2 9 B 10000 20000 30000 40000 10 C 35 225 34 525 34 175 33 825 11 enddata12 13 for range 14 C P R C 15 EOQ 2 C D D C P 0 5 16 注 第9 10 行定义物品的批量订货单价 其中B是上断点 C是对应的价格 即当时 C Ck 注 第15 行中的EOQ是按公式 11 31 计算出的值 17 Q 1 EOQ 1 EOQ 1 B 1 1 EOQ 1 ge B 1 18 for range i i gt 1 19 Q i EOQ i B i 1 EOQ i EOQ i lt B i 1 20 EOQ i B i 1 EOQ i ge B i 21 22 for range i 23 TC i 0 5 C P i Q i C D D Q i C i D 24 TC min min range TC 25 Q star sum range Q TC eq TC min 26 T star Q star D END 注 第17 21 行中定义的Q是将EOQ值调整到对应区间上 第22 23 行中的TC是对应于Q处的存贮费用 第24 行中的TC Inin是最优存贮费用 第25 行中的Q star是最优订货量 第26 行中的T star是最优订货周期 Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueD40000 00C D9000 000R0 2000000TC MIN1451510 Q STAR10211 38T STAR0 2552845B 1 10000 00B 2 20000 00B 3 30000 00B 4 40000 00C 1 35 22500C 2 34 52500C 3 34 17500C 4 33 82500C P 1 7 045000C P 2 6 905000C P 3 6 835000C P 4 6 765000 计算结果 EOQ 1 10109 41EOQ 2 10211 38EOQ 3 10263 54EOQ 4 10316 50Q 1 9999 000Q 2 10211 38Q 3 20000 00Q 4 30000 00TC 1 1480225 TC 2 1451510 TC 3 1453350 TC 4 1466475 RowSlackorSurplus10 00000020 00000030 000000 190 000000 结果解释 最优订货量为10211件 最优存贮费用为1451510元 最优订货周期是平均0 255年一次 请比较计算结果中的EOQ值与Q值 11 3经济生产批量存贮模型 经济生产批量模型 不允许缺货 生产需要一定时间模型 除满足基本假设外 还假定当存贮降到零后 开始进行生产 生产率为P 且P D 生产的产品一部分满足需求 剩余部分才作为存贮 11 3 1基本的经济生产批量存贮模型 设生产批量为Q 生产时间为t 则生产时间与生产率之间的关系为 平均存贮量是最高存贮量的一半 平均固定生产费 与经济订购模型中的平均订货费相同 平均总费用 最高存贮量 推导 得 有一个生产和销售图书设备的公司 经营一种图书专用书架 基于以往的销售记录和今后市场预测 估计今后一年的需求量为4900个 由于占用资金的利息以及存贮库房和其他人力物力的费用 存贮一个书架一年要花费1000元 这种书架是该公司自己生产的 每年的生产量9800个 而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费500元 该公司为了把成本降到最低 应如何组织生产 要求出全年的生产次数 每次的最优生产量 以及最少的年总费用 例11 7 解 D 4900 CP 1000 P 9800 CD 500 代入公式 LINGO程序 程序名 exam1107a lg4 MODEL 1 C D 500 2 D 4900 3 C P 1000 4 P 9800 5 Q 2 2 C D D C P 1 D P 6 N D Q 7 TC 2 2 1 D P C D C P D END 计算得到N为小数 因此比较N 49与N 50 LINGO程序 程序名 exam1107b lg4 MODEL 1 sets 2 times 1 2 N Q TC 3 endsets4 data 5 N 49 50 6 C D 500 7 D 4900 8 C P 1000 9 P 9800 10 enddata11 for times 12 N D Q 13 TC 0 5 1 D P C P Q C D D Q 14 END Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueC D500 0000D4900 000C P1000 000P9800 000N 1 49 00000N 2 50 00000Q 1 100 0000Q 2 98 00000TC 1 49500 00TC 2 49500 00RowSlackorSurplus10 00000020 00000030 00000040 000000 计算结果 结果说明 无论是取N 49 还是取N 50 其年总费用是相同的 都是49500元 某公司生产并销售A B C三种商品 根据市场预测 三种商品每天需求量分别是400 300 300 件 三种商品每天的生产量分别是1300 1100 900 件 每安排一次生产 其固定费用 与生产量无关 分别为10000 12000 13000 元 生产费用每件分别为1 0 1 1 1 4 元 商品的生产速率 需求率和最大生产量满足如下约束 11 3 2带有约束的经济生产批量存贮模型 例11 8 求每种产品的最优的生产叶间与存贮时间 以及总的最优存贮费用 解 建立最优生产批量存贮模型 LINGO程序 程序名 exam1108 lg4 MODEL 1 sets 2 kinds 1 3 C P P C D D Q T T p 3 endsets4 5 min sum kinds 0 5 C P Q 1 D P C D D Q 6 sum kinds D P 1 5 D Q 1 7 for kinds 8 T Q D 9 T p Q P 10 BND 01 Q 99999 11 12 13 data 14 C D 1000 1200 1300 15 D 400 300 300 16 C P 1 0 1 1 1 4 17 P 1300 1100 900 18 enddataEND 注 程序中的第9 行是计算生产时间 第10 是为了保证Q有界 计算结果 Localoptimalsolutionfoundatiteration 54Objectivevalue 20832 10VariableValueReducedCostC P 1 1 0000000 000000C P 2 1 1000000 000000C P 3 1 4000000 000000P 1 1300 0000 000000P 2 1100 0000 000000P 3 900 00000 000000C D 1 1000 0000 000000C D 2 1200 0000 000000C D 3 1300 0000 000000D 1 400 00000 000000D 2 300 00000 000000D 3 300 00000 000000Q 1 20423 750 2698483E 07Q 2 16458 520 6042631E 07Q 3 15239 740 000000 T 1 51 059360 000000T 2 54 861750 000000T 3 50 799140 000000T P 1 15 710570 000000T P 2 14 962290 000000T P 3 16 933050 000000RowSlackorSurplusDualPrice120832 10 1 00000020 000000239985 030 0000000 00000040 0000000 00000050 0000000 00000060 0000000 00000070 0000000 00000080 0000000 000000 结果解释 A B C三种产品的生产 存贮周期分别为51 05936 54 86175和50 79914天 其中生产天数分别为15 71057 14 96229和16 93305天 总的最优生产 存贮费用为20832 10元 11 3 3允许缺货的经济生产批量存贮模型 此模型与经济生产批量存贮模型相比 放松了假设条件 允许缺货 与允许缺货的经济订货批量存贮模型相比 其补充不是订货而是靠生产 设P是生产率 D是需求率 P D V是最大存贮量 T为一个生产 存贮周期 t4为T中缺货量减少的时期 t1为T中的生产时期 存贮增加的时期 t2为T中的存贮时期 存贮减少的时期 t3为T中缺货量增加的时期 设S是最大缺货量 则 设Q是总生产量 则Q中的D P部分满足当时的需求 1 D P 部分用于偿还缺货和存贮 由此得到最大存贮 最大缺货与生产 需求之间的关系 平均存贮量在不缺货期间为V 2 而在缺货期间的存贮量为0 因此一个周期内的平均存贮量为 平均存贮量 进一步代入计算 有 平均存贮量 在不缺货期间内 缺货量为0 而在缺货期间的存贮量为S 2 因此一个周期内的平均缺货量为 进一步代入计算 有 平均缺货量 平均缺货量 一年中的总费用 允许缺货的经济生产批量存贮模型 就是求变量Q S使目标函数TC达到极小 例11 9 继例11 7 假设在例11 7中 生产与销售图书馆设备公司允许缺货 但缺货费为每年每件2000元 其他参数不变 在允许缺货情况下 试求出其的生产 存贮周期 每个周期的最优生产量 以及最少的年总费用 D 4900 CP 1000 P 9800 CD 500和CS 2000 解 TC 存贮费 生产准备费 缺货费 编写LINGO程序 exam1109a lg4 MODEL 1 min 0 5 C P Q 1 D P S 2 Q 1 D P 2 C D D Q 0 5 C S S 2 Q 1 D P 3 T1 Q 1 D P S P D 365 4 T2 Q 1 D P S D 365 5 T3 S D 365 6 T4 S P D 365 7 T T1 T2 T3 T4 8 data 9 C D 500 10 D 4900 11 C P 1000 12 P 9800 13 C S 2000 14 enddataEND 注 程序中的第3 6 行中都乘上365 表示每年按365天计算 这样得到的结果以天计算 计算结果 Localoptimalsolutionfoundatiteration 35Objectivevalue 40414 52VariableValueReducedCostC P1000 0000 000000Q121 24350 000000D4900 0000 000000P9800 0000 000000S20 207240 000000C D500 00000 000000C S2000 0000 000000T13 0104680 000000T23 0104680 000000T31 5052330 000000T41 5052330 000000T9 0314030 000000 结果解释 每个周期为9天 其中9天中有4 5天在生产 每次的生产量为121件 而且缺货的时间有3天 总的费用 包括存贮费 订货费和缺货费 为40414 52元 本例也有目标函数的极小值的解析解 再解例11 9 编写LINGO程序 exam1109b lg4 MODEL 1 S C P C P C S 1 D P Q 2 Q 2 2 C D D C P C S C P C S 1 D P 3 T1 Q 1 D P S P D 365 4 T2 Q 1 D P S D 365 5 T3 S D 365 6 T4 S P D 365 7 T T1 T2 T3 T4 8 data 9 C D 500 10 D 4900 11 C P 1000 12 P 9800 13 C S 2000 14 enddataEND 计算结果 Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueS20 20726C P1000 000C S2000 000D4900 000P9800 000Q121 2436C D500 0000T13 010469T23 010469T31 505235T41 505235T9 031408 两种方法计算结果相同 11 3 4带有约束的允许缺货模型 这类问题的本质就是根据存贮模型的特点 列出相应的约束问题 再根据这些问题 利用LINGO软件得到问题的最优解 11 4单周期随机库存模型 在许多情形中需求量是随机的 11 4 1单周期随机库存模型的基本假设 1 在整个需求期内只订购一次货物 订购量为Q 订购费和初始库存均为0 每单位产品的购价 成本 为C 2 需求量D为一连续的随机变量 且D x的概率密度为f x 当货物出售时 每单位产品的价格为U 3 需求期结束时 没有卖出的货物不存贮而是折价卖出 单位价格为V 11 4 2模型的推导 问题是求订购量Q为多少时 使得总利润最大 当需求量时 利润 一个周期的总利润应该是G Q 的期望值 两端对Q求导数 注意到二阶导数小于0 满足 的Q一定是E Q 的极大值点 对于销售价U 成本价C和折扣价V 应满足U C V 令k U C是物品出售后的利润 令h C V是物品折扣出售的损失 将总利润G Q 的公式改写为 11 4 3模型的求解 例11 10 报童问题 在街中有一报亭 平均每天出售报纸500份 出售报纸的数量 与来往的人流有关 假设服从Poisson分布 每卖出一份报纸能盈利0 15元 如果卖不出去 只能作为费纸处理 每份报纸亏损0 40元 问 报亭应如何安排报纸的订购量 使得报亭的利润最大 积分相当于当x Q时的损失函数 对于Poisson分布 积分可由LINGO中的函数 pps计算 解 先计算Q 若Q不是整数 该函数采用线性插值计算 积分可由函数 ppl计算 写出相应的LINGO程序 exam1110 lg4 由题意 x max 0 Q MODEL 1 data 2 mu 500 3 k 0 15 4 h 0 40 5 enddata6 pps mu Q k k h 7 E G k mu h Q mu k h ppl mu Q END Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueMU500 0000K0 1500000H0 4000000Q485 8747E G70 93096RowSlackorSurplus10 00000020 000000 即报亭每天订购报纸486份 每天盈利70 93元 设在某食品店内 每天对面包的需求服从的正态分布 已知每个面包的售价为1 50元 成本为每个0 90元 对当天末售出的其处理价为每个0 60元 问该商店每天应生产多少面包 使预期的利润为最大 例11 11 解 计算Q 再计算出期望总利润 LINGO只提供了标准正态分布函数 psn Z 和标准正态线性的损失函数 pol Z 用函数 psn和 pol计算式积分 需要作变换 则 根据题意 写出相应的LINGO程序 exam1111 lg4 MODEL 1 data 2 mu 300 3 sigma 50 4 U 1 50 5 C 0 90 6 V 0 60 7 enddata8 psn Z U C U V 9 Z Q mu sigma 10 free Z 11 E G U mu C Q V Q mu U V sigma psl Z END Feasiblesolutionfoundatiteration 0VariableValueMU300 0000SIGMA50 00000U1 500000C0 9000000V0 6000000Z0 4307274Q321 5364E G163 6380RowSlackorSurplus10 00000020 00000030 000000 结果解释 即商店每天生产322个面包 可以使总利润达到最大 预期的最大利润为163元 例11 12 航空机票超订票问题 某航空公司执行两地的飞行任务 己知飞机的有效载客量为150人 按民用航空管理有关规定 旅客因有事或误机 机票可免费改签一次 此外也可在飞机起飞前退票 航空公司为了遇免由此发生的损失 采用超量订票的方法 即每班售出票数大于飞机载客数 但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况 在这种情况下 航空公司让超员旅客改乘其他航班 并给旅客机票价的20 作为补偿 现假设两地的机票价为1500元 每位旅客有0 04的概率发生有事 误机或退票的情况 问航空公司多售出多少张票 使该公司的预期损失达到最小 解 设飞机的有效载客数为N 超订票数为S 即售出票数为N S k为每个座位的盈利值 h为改乘其他航班旅客的补偿值 设x是购票末登机的人数 是一随机变量 其概率密度为f x 当时 有S x个人购后 不能登机 航空公司要为这部分旅客进行补偿 当x S时 有x S个座位没有人坐 航空公司损失的是座位应得的利润 因此 航空公司的损失函数为 满足方程 的S是函数E L S 的极小值点 使航空公司的损失达最小 设每位旅客购票末登机的概率为p 共有m个旅客 则恰有x旅客未登机的概率是即x服从二项分布 因此 积分应用二项分布计算 LINGO软件中提供了二项分布函数 当x和 或 S不是整数时 采用线性插值计算 假设机票价就是航空公司的盈利