平面向量的极化恒等式及其应用

平面向量的极化恒等式及其应用一. 极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.证法1 （向量法）设 则.即 .证法2 （解析法） 证法3 （余弦定理）推论1：由知，,即 推论2： - 极化恒等式. 即 推论3：在中，是边的中点，则- 极化恒等式的几何意义.亦即向量数量积的第二几何意义.二. 平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.三. 三角形中线的一个性质： .推论1： .推论2： .【应用】已知点是直角三角形斜边上中线的中点，则.四. 三角形“四心”的向量形态1. 是平面上一定点，是平面上不同的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的-A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心2. 是平面上一定点，是平面上不同的三点，动点P满足 ，.则动点P的轨迹一定通过的-A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心3. 是平面上一定点，是平面上不同的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的- A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心4. 是所在平面上一点，若，P是的-A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心5. 是所在平面内的一点，满足，则点是的-（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心五. 典型案例分析问题1 在中，是的中点，则【变式】已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则问题2 已知正三角形内接于半径为2的圆，点是圆上的一个动点，则的取值范围是-【变式】（2010福建文11题）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为 （ ）A. 2 B. 3 C. 6 D. 8问题3 （2013浙江理7）在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则A. B. C. D. 【变式】（2008浙江理9题）已知是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 （ ） A. 1 B. 2 C. D. .问题3 已知直线与抛物线交于点，点为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是 （ ）【B】A. B. ，其中是抛物线过点的切线 C. D. （2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）问题4 在正三角形中，是上的点，,则（2011年上海第11题）【】问题5 在中，是的中点，则.（2007年天津文科第15题）【】问题6 正方体的棱长为，是它内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为-.（2013年浙江省湖州市高三数学二模）【2】.问题7 点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是-. （2013年北京市朝阳区高三数学二模）【】.问题8 如图，在平行四边形中，已知，则.的值为-.（2014年高考江苏卷第12题）【22】问题9 如图，在半径为的扇形中，,为弧上的动点，与交于点，则最小值为-【】.问题10 已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【椭圆与双曲线焦点三角形的几个结论】：在椭圆中，设，则，.在双曲线，设，则，.课外探究1. 已知点是椭圆上任意一点，是圆的直