单位圆与周期性_4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

4 2单位圆与周期性4 3单位圆与正弦函数 余弦函数的基本性质 1 0 O P M x y 前面我们学习了周期现象 角的一边可以绕角的顶点旋转 得到了终边相同的角 如图所示 今天我们学习正弦函数 余弦函数的周期性及性质 观察右图 在单位圆中 由任意角的正弦函数 余弦函数定义不难得到下列事实 终边相同的角的正弦函数值相等 即 终边相同的角的余弦函数值相等 即 探究点1周期函数 把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数 正弦函数 余弦函数是周期函数 称为正弦函数 余弦函数的周期 例如 等都是它们的周期 其中是正弦函数 余弦函数正周期中最小的一个 称为最小正周期 一般地 对于函数f x 如果存在非零实数T 对定义域内的任意一个x值 都有f x T f x 我们就把f x 称为周期函数 T称为这个函数的周期 说明 若不加特别说明 本书所指周期均为函数的最小正周期 特别提醒 1 T是非零常数 2 任意x D都有x T D T 0 可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件 3 任取x D 就是取遍D中的每一个x 可见周期性是函数在定义域上的整体性质 理解定义时 要抓住每一个x都满足f x T f x 成立才行 4 周期也可推进 若T是f x 的周期 那么2T也是y f x 的周期 1 函数f x c c为常数 x R 问函数f x 是不是周期函数 若是 有无最小正周期 答 是 无最小正周期 2 等式sin 30 120 sin30 是否成立 如果成立 能否说明120 是正弦函数y sinx x R的一个周期 为什么 答 成立 不能说明 因为不符合定义中的每一个x 思考 例求下列三角函数值 1 2 解 1 练习求下列三角函数值 2 探究点2 正弦函数y sinx 余弦函数y cosx的基本性质 由上节点学习知道 定义域为全体实数R 1 定义域 1 0 O P cosx sinx x M x y 2 值域 最大 小 值 观察下图 设任意角x的终边与单位圆交于点P cosx sinx 当自变量x变化时 点P的横坐标是cosx cosx 1 纵坐标是sinx sinx 1 这说明 正弦函数 余弦函数的值域为 1 1 4 单调性 观察右图 在单位圆中 设任意角x的终边与单位圆交于点P cosx sinx 因此 正弦函数在区间上是增加的 在区间上是减少的 思考 在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢 例1 写出下列函数取最大值 最小值时的自变量x的集合 并说出最大值 最小值分别是什么 解 1 因为y cosx 1 x R的最大值 最小值由y cosx决定 所以使函数取得最大值的的集合为 使函数取得最小值的的集合为 最大值为 最小值为 所以使函数取得最大值的的集合是最大值为3 2 函数y sinx x R取得最大值 最小值时 函数则取得最小值 最大值 使函数取得最小值的的集合是 最小值为 3 1 对于函数与y 2sinx 当x 时 y取最大值 当x 时 y取最小值 2 2 2 求下列函数的值域