同济-高等数学-第三版(5.6)第六节 反常积分

第六节反常积分 本节概要 定积分理论建立了一种处理定义在有限区间上的连续分布量f x 的相关量U的一种方法 即通过局部线性化dU f x dx来达到对所求量U的一种无限逼近为能够构造积分和及保证和式极限存在 通常总要求积分区间为有限区间 被积函数为有界函数 但在一些实际问题中却可能出现积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间上无界的情形 于是就有了反常积分的概念 考虑点电荷电场的电场强度 由于场的存在 每点就具有了能量 电场中各点的能量大小就是电场强度的概念 电场中一点具有的能量大小取决于该点位置及所受电场力的大小 设点电荷电场中某点单位电荷所受电场力为f r k r2 则该点电场强度定义为将该单位电荷移出电场 即移到无穷远处时电场力所作的功 由定积分物理意义知 单位电荷受电场力作用 从点r移动到r dr时电场力所作的功为dW f r dr 于是 质点从r a处沿矢径移动到点r b处时 电场力所作的功为将单位电荷从点r a处沿矢径移动到无穷远处时电场力所作的功即该点的电场强度为 从几何上看 这种无穷区间上的积分对应于一个开口的曲边梯形 即由曲线f r k r2 x轴及直线x a所围成的不封闭的曲边梯形 按面积一般概念 开口曲边梯形无法定义其面积 但由于x轴是曲线f r k r2的一条渐近线 该曲线与直线x a及x轴所夹的 区域 可认为有一种广义的面积 这种广义面积可通过如下方式进行讨论 作辅助直线x b a 0 考虑由直线x a x b x轴及曲线f x k x2所围成的曲边梯形面积A b 由定积分的几何意义 曲边梯形面积A b 对应于函数f x k x2在有限闭区间 a b 上的定积分 即显然 b越大 A b 的值越接近于开口曲边梯形的 广义面积 因此有由此可见 开口曲边梯形是可以有 广义面积 的 即开口曲边梯形的广义面积可以有确定的值A 1 无穷区间上反常积分的定义 设函数f x 在区间 a 上连续 取b a 如果极限存在 则称此极限为函数f x 在无穷区间 a 上的反常积分 记作 这时也称反常积分收敛 如果此极限不存在 就称反常积分发散 此时该记号不具有数值意义 a 上的反常积分 设函数f x 在区间 b 上连续 取a b 如果极限存在 则称此极限为函数f x 在在无穷区间 b 上的反常积分 记作 这时也称反常积分收敛 如果此极限不存在 就称反常积分发散 b 上的反常积分 设函数f x 在区间 上连续 如果反常积分都收敛 则称上述两反常积分的和为函数f x 在无穷区间 上的反常积分 记作 这时也称反常积分收敛 如果反常积分有一个发散 就称反常积分发散 上的反常积分 无穷区间上的反常积分计算本质上是变上 下限函数的极限计算 即先按定义将无穷区间上的反常积分写成定积分与极限计算的组合形式 再先按定积分计算法及牛顿 莱布尼兹公式求出原函数及其增量 再计算相应的极限 此外 某些无穷区间上的反常积分也可通过变量代换直接转化为定积分进行计算 例 计算反常积分由定义先考虑定积分的计算 于是求得 例 计算反常积分先考虑对应的积分计算 由于被积函数含有反三函数因子 不便直接积分 为此考虑先通过代换消去反三函数因子 再进行积分 令 arctanx t 即x tant dx sec2tdt 则当x 0 时 t 0 2 于是有通过代换原反常积分转化成了常义积分 因此只需计算定积分即可 例 计算反常积分按定义 讨论此反常积分敛散性应分别考察两反常积分对于第一个反常积分 因为故反常积分发散 由定义 原反常积分发散 是 a a 上的奇函数 故 上述解法是错误的 其原因在于 虽然有 因为其中两极限过程a b 是相互独立的 考虑由曲线x轴 y轴及直线x 1所围成的开口曲边梯形的面积A 从概念上讲 曲线x轴 y轴及直线x 1不构成封闭图形 因而并不能定义所谓的面积 但从几何上看 由于y轴是曲线的一条渐近线 因此此开口曲边梯形可以具有某种 广义面积 这种广义面积可通过如下方式进行讨论 作辅助直线x 00越小 此曲边梯形的面积A 越接近于开口曲边梯形的面积A 于是由极限概念有 所谓上开口曲边梯形对应于曲边梯形的曲边函数有无穷间断点的特殊情形 函数虽有无穷间断点x 0 但其在区间 0 1 上连续 通过作辅助线x 上开口的曲边梯形面积问题可归结为定积分计算和相应极限计算 0考察 因此上开口曲边梯形面积可能有意义 此具体问题及处理问题的方法具有一般性 当被积函数在积分区间内有无穷间断点时 相应积分和极限可能有意义 由此可建立无界函数反常积分概念 瑕点与瑕积分的概念 如果函数f x 在点a的任意邻域内都无界 那么点a称为f x 的瑕点 也称无界间断点 无界函数的反常积分又称为瑕积分 1 无界函数反常积分的定义 区间左端点为无界间断点的反常积分 设函数f x 在区间 a b 上连续 点a为f x 的瑕点 取t 0 如果极限存在 则称此极限为函数f x 在区间 a b 上的反常积分 仍记作 这时也称反常积分收敛 如果上述极限不存在 就称此反常积分发散 区间右端点为无界间断点的反常积分 设函数f x 在区间 a b 上连续 点b为f x 的瑕点 取t 0 如果极限存在 则称此极限为函数f x 在区间 a b 上的反常积分 仍记作 这时也称反常积分收敛 如果上述极限不存在 就称此反常积分发散 无界间断点在积分区间内部的反常积分 设函数f x 在区间 a c c b 上连续 点c为f x 的瑕点 如果两反常积分都收敛 则定义如果两个反常积分有一个发散 就称反常积分发散 C P U Math Dept 杨访 无界函数反常积分与定积分的记号是完全一样的 都表示为 二者的区别仅在于被积函数的性质的差别 对定积分而言 要求被积函数f x 在区间 a b 上有界 即f x 在区间 a b 上可以有间断点 但不能有无穷间断点 对无界函数的反常积分而言 其特点是被积函数f x 在区间 a b 上有无穷间断点 若f x 是初等函数 则无穷间断点通常是分母零点 无界函数反常积分与定积分的区别 按无界函数反常积分被积函数f x 在积分区间 a b 上瑕点位置的不同 相应反常积分有不同的定义 其几何意义也有区别 瑕点位置与无界函数反常积分的几何意义 左端点为瑕点 若瑕点x c位于积分区间 a b 内部 即当a c b时 相应反常积分有三点需注意 第一 当且仅当两反常积分都收敛时 才能称反常积分收敛 此时积分记号才具有数值的意义 第二 式子定义式 不能混淆为定积分关于积分区间的可加性 第三 式子中的两极限过程是独立的 不可混淆为一个极限过程 瑕点在积分区间内部时应注意的问题 无界函数的反常积分与定积分形式完全一样 因此考虑其计算时应先确定被积函数的瑕点 对含多个瑕点的反常积分 应先将其分解为若干个只含一个瑕点的反常积分 再考虑按定义计算 无穷区间上反常积分的计算一般也是变上 下限函函数的极限计算 即先按定积分计算法求出原函数增量 再计算相应的极限 在某些情形下 无穷区间上的反常积分也可直接通过代换化为定积分计算 例 计算反常积分由于被积函数为初等函数 考虑其瑕点主要考察积分区间内的分母零点 令 3x2 2x 1 3x 1 x 1 0 在 1 2 内可解得 x 1 由于故本题是个无界函数的反常积分 x 1是被积函数在积分区间 1 2 内唯一的瑕点