数值分析试卷及其答案2

1、（本题5分）试确定作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解 因为 =3.= =3.所以 （2分）这里，由有效数字的定义可知作为的近似值具有3位有效数字。 （1分）而相对误差限 （2分）2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：；解 设由矩阵乘法得： （3分）由解得 （3分）3、（本题6分）给定线性方程组1）写出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib迭代格式为 （2分）Gauss-Seidel迭代格式为 （2分）2）由于所给线性方程组的系数矩阵 是严格对角占优的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收敛的。（2分）4、（本题6分）已知方程在附近有一个根。将此方程改写成如下2个等价形式： 构造如下两个迭代格式：1）2）判断这两个迭代格式是否收敛；解 1）记，则， （2分） 所以该迭代格式是局部收敛的。 （1分） 2）记，则， （2分） 所以该迭代格式是发散的 （1分）5、（本题6分）设（1）写出解的牛顿迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。解 （1）因，故，由牛顿迭代公式 ， （1分） 得， （2分） （2）因迭代函数， ， （1分） 故 此牛顿迭代格式是线性收敛的。 （2分）6、（本题9分）给定数据x 0 2 3 5f(x) 1 -3 -4 2（1） 写出的3次Lagrange插值多项式；（2） 写出的3次Newton插值多项式；解 （1）由题意知 （3分） （2分）（2）用牛顿插值公式，构造差商表0 12 3 5 2 3 （3分）则有 （1分）7、（本题6分）作一个5次多项式使得 解 构造有重节点的牛顿插商表1 31 3 22 2 1 5 114 3 2 4 3 2 0 （4分） 则有 （2分）8、（本题6分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合：012345615141414141516解 设，则上表可化为01231000012 这时，取，并设所求二次多项式为 ，容易得到 ， ， ， （3分） 得正规方程组如下： 解得 即 （2分） 回代得 （1分）9、（本题5分）给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式解 由于 所以 （1分） （1分） （1分） （1分） 故求积公式为 （1分）10、（本题6分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分： 解 （1）用梯形公式 ， （3分） （2）用辛普森公式 （3分）11、（本题8分）求高斯型求积公式的系数解 令： （1分） 由 得 再由 （2分） （1分） 得 所以的根为 （2分） （2分）12、（本题6分）设为次多项式，为个互异点，为的次插值多项式。若，试证。解：因为为次多项式，所以， （2分）又因为，故有 （2分）由插值关系可知： （2分）所以，13、（本题10分）设，求及谱半径。解 由定义得 （2分） （2分）又由于，而 （2分） 所以，。 （2分）因为 所以 （2分）14、（本题6分）写出用4阶经典龙格-库塔法求解初值问题的计算公式，并取步长，计算的近似值，小数点后至少保留4位。解 ，于是 （4分） 故，由于 故 （2分）15、（本题9分）给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数解 幂法计