概率论第一章PPT课件

概率论与数理统计 概率论与数理统计是研究什么的 概率论 从数量上研究随机现象的统计规律性的科学 数理统计 从应用角度研究处理随机性数据 建立有效的统计方法 进行统计推理 随机现象 不确定性与统计规律性 第一章概率论的基本概念第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其概率分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理第六章数理统计的基本概念第七章参数估计第八章假设检验 主要内容 第一章概率论的基本概念 1 1随机事件及其运算 1 2概率的定义及其性质 1 3古典概型与几何概型 1 4条件概率 1 5独立性 1 1随机事件及其运算 如何研究随机现象呢 1 1 1随机现象自然界的现象按照发生的可能性 或者必然性 分为两类 一类是确定性现象 特点是条件完全决定结果一类是随机现象 特点是条件不能完全决定结果在一定条件下 可能出现这样的结果 也可能出现那样的结果 我们预先无法断言 这类现象成为随机现象 1 1 2随机试验 例1 1 上述试验具有如下特点 1 试验的可重复性 在相同条件下可重复进行 2 一次试验结果的随机性 一次试验的可能结果不止一个 且试验之前无法确定具体是哪种结果出现 3 全部试验结果的可知性 所有可能的结果是预先可知的 且每次试验有且仅有一个结果出现 在概率论中 将具有上述三个特点的试验成为随机试验 简称试验 随机试验常用E表示 样本空间 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间 记为 样本点 试验的每一个可能出现的结果 样本空间中的元素 称为试验E的一个样本点 记为 1 1 3随机事件与样本空间 分别写出例1 1各试验所对应的样本空间 例1 2 例如在试验E2中 令A表示 出现奇数点 A就是一个随机事件 A还可以用样本点的集合形式表示 即A 1 3 5 它是样本空间 的一个子集 事件发生 例如 在试验E2中 无论掷得1点 3点还是5点 都称这一次试验中事件A发生了 基本事件 随机事件仅包含一个样本点 单点子集 如 在试验E1中 H 表示 正面朝上 就是个基本事件 随机事件 样本空间的任意一个子集称为随机事件 简称 事件 记作A B C等 复合事件 包含两个或两个以上样本点的事件 两个特殊的事件 必然事件 不可能事件 既然事件是一个集合 因此有关事件间的关系 运算及运算规则也就按集合间的关系 运算及运算规则来处理 1 包含关系与相等 事件A发生必有事件B发生 记为A B A B A B且B A 1 1 4事件间的关系与运算 2 和 并 事件 事件A与事件B至少有一个发生 记作A B或A B 推广 n个事件A1 A2 An至少有一个发生 记作或 3 积 交 事件 事件A与事件B同时发生 记作A B或AB 推广 n个事件A1 A2 An同时发生 记作A1A2 An或或 4 差事件 A B称为A与B的差事件 表示事件A发生而事件B不发生 5 互不相容事件 也称互斥的事件 即事件A与事件B不能同时发生 AB 推广 n个事件A1 A2 An任意两个都互不相容 则称n个事件两两互不相容 若n个事件A1 A2 An两两互不相容 且则称n个事件A1 A2 An构成一个完备事件组 6 对立 逆 事件 A B 且AB 思考 事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互为对立事件的区别 对立事件一定是互不相容事件 互不相容事件不一定是对立事件 交换律 A B B A AB BA 结合律 A B C A B C AB C A BC 分配律 A B C AC BC AB C A C B C 对偶 DeMorgan 律 7 事件的运算性质 例1 3 某射手向一目标射击3次 Ai表示 第i次射击命中目标 i 1 2 3 Bj表示 三次射击恰命中目标j次 j 0 1 2 3 试用A1 A2 A3的运算表示Bj j 0 1 2 3 解 例1 4 甲 乙 丙三人各向目标射击一发子弹 以A B C分别表示甲 乙 丙命中目标 试用A B C的运算关系表示下列事件 本节课主要讲授 1 随机现象 2 随机试验和样本空间 3 随机事件的概念 4 随机事件的关系和运算 重点 小结 1 2概率的定义及其性质 1 2 1概率的统计定义 频率的性质 一口袋中有6个乒乓球 其中4个白的 2个红的 有放回地进行重复抽球 观察抽出红色球的次数 频率是概率的近似值 概率P A 也应有类似特征 定义2 在相同的条件下进行n次重复试验 当n趋于无穷大时 事件A发生的频率稳定于某个确定的常数p 称此常数p为事件A发生的概率 记作 注1 概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法 更重要的是给了一种估算概率的方法 在实际问题中 事件发生的概率往往是未知的 由于频率具有稳定性 我们就用大量试验中得到的频率值作为概率的近似值 注2 但上述定义存在着明显的不足 首先 人们无法把一个试验无限次的重复下去 因此要精确获得频率的稳定值是困难的 其次 定义中对频率与概率关系的描述是定性的 非数学化的 从而容易造成误解 注3 定义2中的叙述易使人想到概率是频率的极限 概率是否为频率的极限 以什么方式趋于概率呢 1 2 2概率的公理化定义 定义3 若对随机试验E所对应的样本空间 中的每一事件A 均赋予一实数P A 集合函数P A 满足条件 1 非负性公理 P A 0 2 规范性公理 P 1 P 0 3 可列可加性公理 设A1 A2 是一列两两互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 有P A1 A2 P A1 P A2 则称P A 为事件A的概率 性质1 概率的性质 性质2 有限可加性 设A1 A2 An是一列两两互不相容的事件 即AiAj i j i j 1 2 n 有P A1 A2 An P A1 P A2 P An 性质3 互补性 性质4P A B P A P AB 性质5 加法公式 对于任意事件A B 有P A B P A P B P AB 推广 2 设A1 A2 An是n个随机事件 则 例1 5设A B为两个随机事件 P A 0 5 P A B 0 8 P AB 0 3 求P B 解由P A B P A P B P AB 得P B P A B P A P AB 0 8 0 5 0 3 0 6 解由性质6可知 本节课主要讲授 1 概率的统计定义 2 概率的公理化定义 3 概率的性质 重点 小结 1 3古典概型与几何概型 1 3 1古典概型 2 等可能性 每个基本事件发生的可能性相同 理论上 具有下面两个特点的随机试验的概率模型 称为古典概型 或等可能概型 1 有限性 基本事件的总数是有限的 换句话说样本空间仅含有有限个样本点 设事件A中所含样本点个数为r 样本空间 中样本点总数为n 则有 古典概型的概率计算公式 例1 9从1 2 9这9个数字中任意取一个数 取后放回 而后再取一数 试求取出的两个数字不同的概率 解基本事件总数n 92 因为第一次取数有9中可能取法 这时可重复排列问题 设A表示 取出的两个数字不同 A包含的基本事件数9 8因为第一次取数有9中可能取法 为保证两个数不同 第二次取数应从另外的8个数中选取 有8中可能取法 r 9 8 故P A r n 9 8 92 8 9 例1 10袋中有5个白球3个黑球 从中任取两个 试求取到的两个球颜色相同的概率 解从8个球中任意取两个 共有种取法 即基本事件总数 记A表示 取到的两个球颜色相同 A包含两种可能 全是白球或全是黑球 全是白球有种取法 全是黑球有种取法 由加法原理知 A的取法共中 即A包含的基本事件数r 故 解 1 例1 11将r个人随机地分配到n r n 个房间里 设A 某指定的r个房间中各有一人 B 恰有r个房间中各有一人 C 某指定房间恰有k k r 人 求A B C的概率 2 3 说明 不管是放回抽样还是不放回抽样 也不管取球的先后顺序如何 每次取到白球的概率都是一样的 我们日常生活中的抓阄 就是不放回抽样 可见不管第几个去抽 每人抽中白球的机会相等 同抽签次序无关 把有限个样本点推广到无限个样本点的场合 人们引入了几何概型 由此形成了确定概率的另一方法 几何方法 概率的古典定义具有可计算性的优点 但它也有明显的局限性 要求样本点有限 如果样本空间中的样本点有无限个 概率的古典定义就不适用了 1 3 2几何概型 当随机试验的样本空间是某个区域 并且任意一点落在度量 长度 面积 体积 相同的子区域是等可能的 则事件A的概率可定义为 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 就归结为几何概率 例1 13 约会问题 甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面 并约定先到者应等候另一人20分钟 过时即可离去 求两人能会面的概率 解 以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间 以分钟为单位 在平面上建立xOy直角坐标系 见图1 1 因为甲乙都是在0到60分钟内等可能到达 所以由等可能性知这是一个几何概型问题 会面问题 样本空间 x y 0 x y 60 事件A 甲乙将会面 x y x y 20 因此 本节课的重点 小结 1 古典概型事件概率的计算 2 几何概型事件概率的计算 1 4 1条件概率与乘法公式 例1 15一家庭有两个孩子 考虑 1 求两个都是男孩的概率 2 已知其中一个是男孩 求另一个也是男孩的概率 3 已知老大是男孩 求老二也是男孩的概率 1 4条件概率 定义1 已知事件A发生的条件下 事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率 记作P B A 解 用g表示女孩 b表示男孩 则样本空间为 b b b g g b g g 其中括号中第一个位置表示老大 第二个位置表示老二 2 事件B1 其中一个是男孩 B2 另一个也是男孩 显然此时的样本空间为B1 b b b g g b 则事件B1发生的条件下 B2发生的条件概率为P B2 B1 1 3 1 事件A 两个都是男孩 显然P A 1 4 3 事件C1 老大是男孩 C2 老二也是男孩 显然此时的样本空间为C1 b b b g 则事件C1发生的条件下 C2发生的条件概率为P C2 C1 1 2 例如 某班有30名学生 其中20名男生 10名女生 身高1 70米以上的有15名 其中12名男生 3名女生 1 任选一名学生 问该学生的身高在1 70米以上的概率是多少 2 任选一名学生 选出来后发现是个男生 问该同学的身高在1 70米以上的概率是多少 定义2设A B是两个事件 且P B 0 称 为在事件B发生条件下事件A发生的概率 显然 P A 0时 计算条件概率有两个基本的方法 用定义计算 即在原样本空间中计算P AB 与P B 之比 在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算 即在新样本空间B中直接计算A发生的概率 例1 16在全部产品中有4 是废品 有72 为一等品 现从中任取一件为合格品 求它是一等品的概率 解设A表示 任取一件为合格品 B表示 任取一件为一等品 显然B A P A 96 P AB P B 72 则所求概率为 解设A表示 第一次取球取出的是白球 B表示 第二次取球取出的是黑球 所求概率为P B A 由于第一次取球取出的是白球 所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球 由古典概型的概率计算方法得 例1 17盒中有5个黑球3个白球 连续不放回的从中取两次球 每次取一个 若已知第一次取出的是白球 求第二次取出的是黑球的概率 例1 18盒中有黄白两色的乒乓球 黄色球7个 其中3个是新球 白色球5个 其中4个是新球 现从中任取一球是新球 求它是白球的概率 解1设A表示 任取一球为新球 B表示 任取一球为白球 由古典概型的等可能性可知 所求概率为 解2设A表示 任取一球为新球 B表示 任取一球为白球 由条件概率公式可得 性质2若A与B互不相容 则 性质3 条件概率的性质 性质1 若事件 两两互不相容 且P B 0 则 概率的乘法公式当P A 0时 有P AB P A P B A 当P B 0时 有P AB P B P A B 乘法公式还可以推广到n个事件的情况 设P AB 0时 则P ABC P A P B A P C AB 设P A1A2 An 1 0 则P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1A2 An 1 例1 19在10个产品中 有2件次品 不放回的抽取2次产品 每次取一个 求取到的两件产品都是次品的概率 解设A表示 第一次取产品取到次品 B表示 第二次取产品取到次品 则故 例1 20袋中有a只白球 b只黑球 从中任意取一球 不放回也不看 再取第二次 求第二次取到白球的概率 解 设B 第二次取到白球 则要求P B 令A 第一次取到白球 则 第一次取到黑球 例1 21盒中有5个白球2个黑球 连续不放回的在其中取3次球 求第三次才取到黑球的概率 解设Ai i 1 2 3 表示 第i次取到黑球 于是所求概率为 例1 22设P A 0 8 P B 0 4 P B A 0 25 求P A B 解 1 4 2全概率公式与贝叶斯 Bayes 公式 全概率公式设随机试验对应的样本空间为 设A1 A2 An是样本空间 的一个完备事件组 或划分 且P Ai 0 i 1 2 n B是任意一个事件 则 注 全概率公式求的是无条件概率 例1 23盒中有5个白球3个黑球 连续不放回地从中取两次球 每次取一个 求第二次取球取到白球的概率 解设A表示 第一次取球取到白球 B表示 第二次取球取到白球 则 由全概率公式得 例1 24在某工厂中有甲 乙 丙三台机器生产同一型号的产品 它们的产量各占30 35 35 并且在各自的产品中废品率分别为5 4 3 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率 解设A1表示 从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产 A2表示 从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产 A3表示 从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产 B表示 从该厂的这种产品中任取一件为次品 则 P A1 30 P A2 35 P A3 35 P B A1 5 P B A2 4 P B A3 3 由全概率公式得 贝叶斯 Bayes 公式设A1 A2 An是样本空间的一个完备事件组 或划分 B是任一事件 且P B 0 则 注 Bayes公式求的是条件概率 例1 25在例1 23的假设下 若任取一件是废品 分别求它是甲 乙 丙生产的概率 解由贝叶斯公式 在某工厂中有甲 乙 丙三台机器生产同一型号的产品 它们的产量各占30 35 35 并且在各自的产品中废品率分别为5 4 3 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率 设8支枪中有3支未经过试射校正 5支已经试射校正 一射击手用校正过的枪射击时 中靶概率为0 8 而用未校正过的枪射击时 中靶概率为0 3 今假定从8支枪中任取一支进行射击 结果中靶 求所用这支枪是已校正过的概率 练习 例1 26玻璃杯成箱出售 每箱20只 假设各箱含0 1 2只残次品的概率分别是0 8 0 1和0 1 某顾客欲购一箱玻璃杯 在购买时 售货员随机取出一箱 顾客开箱随机地查看四只 若无残次品 则买下该箱玻璃杯 否则退回 试求 1 顾客买下该箱的概率 2 在顾客买下的一箱中 确实没有残次品的概率 解 设B 顾客买下该箱玻璃杯 Ai 抽到的一箱中有i件残次品 i 0 1 2 1 事件B在下面三种情况下均会发生 抽到的一箱中没有残次品 有1件残次品或有2件残次品 显然A0 A1 A2是完备事件组 由题意知 由全概率公式 由贝叶斯公式 玻璃杯成箱出售 每箱20只 假设各箱含0 1 2只残次品的概率分别是0 8 0 1和0 1 某顾客欲购一箱玻璃杯 在购买时 售货员随机取出一箱 顾客开箱随机地查看四只 若无残次品 则买下该箱玻璃杯 否则退回 试求 1 顾客买下该箱的概率 2 在顾客买下的一箱中 确实没有残次品的概率 2 全概率公式及其应用 求无条件概率 小结 3 贝叶斯公式及其应用 求条件概率 1 条件概率及乘法公式 定义1若P AB P A P B 则称A与B相互独立 简称A B独立 1 5 1两事件独立 性质1设P A 0 则A与B相互独立的充分必要条件是P B P B A 设P B 0 则A与B相互独立的充分必要条件是P A P A B 1 5独立性 回忆 由性质2知 事件A与B相互独立 是指事件A的发生与事件B发生的概率无关 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念 两事件相互独立 两事件互斥 例如 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥 两事件相互独立 两事件互斥 由此可见两事件互斥但不独立 又如 两事件相互独立 两事件互斥 例1 27两射手彼此独立地向同一目标射击 设甲射中目标的概率为0 9 乙射中目标的概率为0 8 求目标被击中的概率 解设A表示 甲射中目标 B表示 乙射中目标 C表示 目标被击中 则C A B A与B相互独立 P A 0 9 P B 0 8 故 P C P A B P A P B P AB 0 9 0 8 0 9 0 8 0 98 或利用对偶律亦可 注 A B相互独立时 概率加法公式可以简化 即当A与B相互独立时 例1 28袋中有5个白球3个黑球 从中有放回地连续取两次 每次取一个球 求两次取出的都是白球的概率 解设A表示 第一次取球取到白球 B表示 第二次取球取到白球 由于是有放回抽取 A与B是相互独立的 所求概率为 例1 29设A与B相互独立 A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等 且P A 1 3 求P B 即 解得 解由题意 P AB P AB 因为A与B相互独立 则A与B A与B都相互独立 故 P A P B P A P B 练习 从五个三新二旧的乒乓球中每次取一个 有放回的取两次 求下列事件的概率 1 两次都取到新球 2 第一次取新球第二次取旧球