功率谱密度和白噪声过程

第三次作业情况 28班 李春月 周元 曲拓 周子晨 施一益 王虎森 王超高工班 蔡文龙 尚文轩 存在问题 积分运算 积分限 三角函数公式各态历经性 均值与自相关 步骤太少 作业雷同 26 27 平稳过程的功率谱密度白噪声过程 主讲人 张有光电话 82317226办公室 新主楼F1018 第五讲 主要内容 一 平稳过程的功率谱密度二 谱密度与自相关函数三 平稳过程的互谱密度四 白噪声过程 一 平稳过程的功率谱密度 1 能量型信号2 信号的频谱3 信号的能谱4 功率型信号5 平均功率的谱表示和功率谱密度6 平稳过程的功率谱密度 1 能量型信号 我们称有限能量的信号为能量型信号 即 其中 s t 为信号 W为总能量 2 信号的频谱 在的情况下 能量型信号s t 的傅立叶变换存在 即 我们称F 为s t 的频谱 3 信号的能谱密度 能量型信号的能谱E 为 由巴塞伐尔等式 可得到 能量守恒 4 功率型信号 能量无限 平均功率有限的信号称为功率型信号 即 Ps为信号的平均功率 5 平均功率的谱表示 功率型信号不满足绝对可积条件 为了能够利用傅立叶变化给出平均功率的谱表示式 构造截尾函数 平均功率的谱表示 sT t 能够满足绝对可积条件 sT t 的频域结构 sT t 的平均功率 平均功率的谱表示 由巴塞伐尔等式 可得到 两边同除以2T 并由截尾函数的定义 得到 平均功率的谱表示 令T趋于无穷 功率型信号s t 在 上的平均功率可表示为 功率型信号的平均功率谱密度 功率谱密度 功率型信号的平均功率谱密度 简称功率谱密度 定义为 6 平稳过程的功率谱密度 平稳随机过程的样本函数是功率型的 我们定义 为平稳过程X t 的平均功率 6 平稳过程的功率谱密度 由于平稳随机过程的均方值是常数 平稳过程的功率谱密度 定义 为平稳随机过程X t 的功率谱密度 这样 Px又可以写成 平均功率谱的表达式 平稳过程的功率谱密度 为双边功率谱密度 但在实际中 负频率不存在 故引入单边谱密度 二 谱密度与自相关函数 1 功率谱密度与自相关函数的关系 维纳 辛钦公式2 功率谱密度两种定义的等价条件3 功率谱密度的性质 1 谱密度与自相关函数的关系 平稳过程的功率谱密度是它的自相关函数的傅立叶变换 谱密度与自相关函数的关系 由傅立叶逆变换公式 有上述两式统称为维纳 辛钦公式 返回 注释 对比 信号与系统 中维纳辛钦公式 2 功率谱密度两种定义的等价条件 对于第一种定义 将其展开 功率谱密度两种定义的等价条件 通过变量置换 最后得到 只要则上式中第二项为零 故此时 也就是说 平稳随机过程在自相关函数绝对可积的情况下 维纳 辛钦公式成立 此时功率谱密度的两种定义等价 功率谱密度两种定义的等价条件 功率谱的意义 3 功率谱密度的性质 若过程X t 是实平稳的 则自相关函数是实偶函数 因此功率谱密度也是实偶函数 即 功率谱密度的性质 由于R 和S 都是偶数 于是维纳 辛钦公式还可以写成 例2 4 1 设随机相位余波的功率谱密度 其是在区间内均匀分布 解 例2 4 2 随机电报信号自相关函数求功率谱密度 例2 4 3 已知功率谱 应用留数定理 留数和 例2 4 4 若平稳随机过程功率谱 表2 1 三 互谱密度 1 互谱密度的定义2 互谱密度的维纳 辛钦公式形式定义3 互谱密度的性质 1 互谱密度的定义 定义设随机过程X t 和Y t 是联合平稳的 则定义互谱密度为 2 互谱密度的维纳 辛钦公式 随机过程X t 和Y t 的互谱密度是它们的互相关函数RXY 的傅立叶变换 2 互谱密度的维纳 辛钦公式 当若X t 是一个二端电压 Y t 是流经该器件的电流 则上式左边就是消耗的功率 两个正交随机过程性质 随机过程X t 和Y t 正交 此时有 3 互谱密度的性质 1 2 3 奇函数偶函数 先证明 令 从定义和施瓦茨不等式 四 白噪声过程 1 白噪声过程的定义2 白噪声过程的自相关函数3 白噪声的相关系数 1 白噪声过程的定义 若一个均值为零的平稳过程具有恒定功率谱密度 则称W t 为白噪声过程 其中N0表示单边功率谱密度 相当于 信号与系统 中的冲击响应函数 2 白噪声过程的自相关函数 根据维纳 辛钦公式 白噪声过程的自相关函数 2 白噪声过程的自相关函数 白噪声的自相关函数和功率谱密度 3 白噪声过程的相关系数 白噪声的相关系数 可见白噪声在任意两个相邻时刻的取值都不相关 还句话说 白噪声随时间的起伏变化较快 频域来说频谱很宽 注释 白噪声平均功率 白噪声是一种理想化的数学模型 在物理上不可实现 因为按照白噪声的定义它的平均功率是无限大 由于白噪声数学表述上的简洁性 是很多物理现象的一种近似 如电子管中的散弹噪声 通信传播中的信道干扰 显然白噪声是各态历经过程 它可以看成是大数定律中随机序列推广到连续时间的情形 4 非白噪声 非白噪声成为有色噪声 或相关噪声 其功率谱密度 其功率谱密度不再是均匀的 而是频率 的函数 5 矢量白噪声 定义