山东省齐河县高考数学三轮冲刺 专题 双曲线练习（含解析）.doc

双曲线一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )A. (-1,3) B. (-1,3) C. (0,3) D. (0,3)（正确答案）A解：双曲线两焦点间的距离为4，c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=(m2+n)+(3m2-n)，解得：m2=1，方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，(m2+n)(3m2-n)0，可得：(n+1)(3-n)0，解得：-1n0，从而可求n的取值范围本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题2. 若双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )A. 2 B. 3 C. 2 D. 233（正确答案）A解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线不妨设为：bx+ay=0，圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径为：2，双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：22-12=3=|2b|a2+b2，解得：4c2-4a2c2=3，可得e2=4，即e=2故选：A通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力3. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x，且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则C的方程为( )A. x28-y210=1 B. x24-y25=1 C. x25-y24=1 D. x24-y23=1（正确答案）B【分析】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力根据椭圆x212+y23=1得c=3，根据渐近线方程为y=52x，ba=52，结合c2=a2+b2，求得a，b，即可得到C的方程。【解答】解：椭圆x212+y23=1的焦点坐标(3,0)，则双曲线的焦点坐标为(3,0)，可得c=3，双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x，可得ba=52，即c2-a2a2=54，可得ca=32，解得a=2，b=5，所求的双曲线方程为：x24-y25=1故选B4. 已知双曲线x2a2-y25=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B. 3 C. 5 D. 42（正确答案）A解：抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)，依题意，5+a2=9，a2=4双曲线的方程为：x24-y25=1，其渐近线方程为：y=52x，双曲线的一个焦点F(3,0)到其渐近线的距离等于d=|53-0|5+4=5故选A由双曲线x2a2-y25=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，先求出a2，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，由此能求出结果本题考查双曲线的简单性质，求得a2的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题5. 双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是( )A. 5-1 B. 3+52 C. 5+12 D. 3+1（正确答案）C解：由题意可得A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,-b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为b2+c2，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D由面积相等，可得122b2c=12a4b2+c2，即为b2c2=a2(b2+c2)，即有c4+a4-3a2c2=0，由e=ca，可得e4-3e2+1=0，解得e2=352，可得e=1+52，或e=5-12(舍去)故选：A由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得122b2c=12a4b2+c2，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题6. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=34x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的方程为( )A. x29-y216=1 B. x216-y29=1 C. x23-y24=1 D. x24-y23=1（正确答案）B解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=34x，可得ba=34；其右焦点为(5,0)，可得c=5，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，则双曲线C的方程为：x216-y29=1故选：B利用已知条件列出方程，求解即可本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，是基础题7. 已知F1，F2是双曲线E：x2a2-y2b2=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=13，则E的离心率为( )A. 2 B. 32 C. 3 D. 2（正确答案）A解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，MF1与x轴垂直，(2a+x)2=x2+4c2，x=b2a sinMF2F1=13，3x=2a+x，x=a，b2a=a，a=b，c=2a，e=ca=2故选：A设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=b2a，利用sinMF2F1=13，求得x=a，可得b2a=a，求出a=b，即可得出结论本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础8. 已知F1，F2是双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=13，则E的离心率为( )A. 2 B. 32 C. 3 D. 2（正确答案）D【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可.本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键【解答】解：MF1与x轴垂直，sinMF2F1=13，设MF1=m，则MF2=3m，由双曲线的定义得3m-m=2a，即m=a，在直角三角形MF2F1中，9m2-m2=4c2，即2m2=c2，即2a2=c2，则e=2，故选D9. 设双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的离心率是3，则其渐近线的方程为( )A. x22y=0 B. 22xy=0 C. x8y=0 D. 8xy=0（正确答案）A解：双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的离心率是3，可得ca=3，则ab=122双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的离心率是3，则其渐近线的方程为：x22y=0故选：A利用双曲线的离心率，这求出a，b的关系式，然后求渐近线方程本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|=|F1F2|.若直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为( )A. 43 B. 53 C. 2 D. 3（正确答案）B解：解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|=|F1F2|，所以PF1F2为等腰三角形，N为PF1的中点，所以|F1M|=14|PF1|，又因为在直角F1MO中，|F1M|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1M|=b=14|PF1| 又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a ，c2=a2+b2 由可得c2-a2=(c+a2)2，即为4(c-a)=c+a，即3c=5a，解得e=ca=53故选：B先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|=|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题11. 已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点，且其准线被该双曲线截得的弦长是23b，则该双曲线的离心率为( )A. 139 B. 109 C. 133 D. 103（正确答案）D解：由题意可知：抛物线的焦点F(c,0)，准线x=-c，将x=-c代入双曲线方程，解得：y=b2a，则准线被该双曲线截得的弦长为2b2a，2b2a=23b，a=3b，双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=103，则双曲线的离心率e=103，故选D由题意可知：抛物线的焦点F(c,0)，准线x=-c，将x=-c代入双曲线方程，解得：y=b2a，即可求得2b2a=23b，a=3b，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率本题考查双曲线的简单几何性质，主要是离心率公式，考查计算能力，属于基础题12. 设双曲线x2m+y2n=1的离心率为233，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程是( )A. y23-x2=1 B. x24-y212=1 C. y2-x23=1 D. x212-y24=1（正确答案）A解：根据题意，抛物线的方程为x2=8y，则其焦点为(0,2)，又由双曲线x2m+y2n=1的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则有m0，且c=2；双曲线x2m+y2n=1的离心率为233，则有e=ca=2n=233，解可得n=3，又由c2=n+(-m)=4；则m=-1；故双曲线的方程为：y23-x2=1；故选：A根据题意，由抛物线的方程计算可得其焦点坐标，结合题意可得双曲线x2m+y2n=1中有c=2，结合离心率公式可得e=ca=2n=233，解可得n的值，由双曲线的几何性质计算可得m的值，将m、n的值代入双曲线的方程即可得答案本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若MAN=60，则C的离心率为_ （正确答案）233解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30=32b，可得：|ab|a2+b2=32b，即ac=32，可得离心率为：e=233故答案为：233利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力14. 双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切，则此双曲线的离心率为_（正确答案）2【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力.求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a、b关系，然后求解双曲线的离心率【解答】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0)，半径为1，双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切，可得：2bb2+a2=1，可得a2=b2，c=2a，e=2故答案为215. 双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=_（正确答案）53解：双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点为(c,0)，左顶点为(-a,0)，右焦点到双曲线渐近线bx-ay=0的距离为：|bc|a2+b2=bcc=b，右焦点(c,0)到左顶点为(-a,0)的距离为：a+c，由题意可得，b=12(a+c)，即有4b2=a2+c2+2ac，即4(c2-a2)=a2+c2+2ac，即3c2-5a2-2ac=0，由e=ca，则有3e2-2e-5=0，解得，e=53故答案为：53求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题16. 已知双曲线x2m+2-y2m+1=1的离心率为72，则m=_（正确答案）2或-5解：双曲线x2m+2-y2m+1=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，双曲线x2m+2-y2m+1=1的离心率为72，ca=72，当焦点在y轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-3-2m，双曲线x2m+2-y2m+1=1的离心率为72，ca=72，可得-3-2m-1-m=74，即12+8m=7m+7，可得m=-5故答案为：2或-5直接利用双曲线的方程，求出a，b，c利用离心率求解即可本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知双曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx+1(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为2，求AB的长（正确答案）解：(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组y=kx+1x2-y2=1有两个不同的实数根，(1分) 整理得(1-k2)x2-2kx-2=0.(2分) =4k2+8(1-k2)01-k20，解得-2k2且k1.(5分) 双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是(-2,-1)(-1,1)(1,2).(6分) (2)设交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)得x1+x2=2k1-k2=22，即2k2+k-2=0，解得：k=22或k=-2-2k0,b0)，半焦距为c，则c=2，2a=|PF1|-|PF2|=|92+122-52+122|=2，a=1，所以b2=c2-a2=3，故双曲线C的方程为x2-y23=1. 双曲线C的渐近线方程为y=3x. (2)设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程x2-y23=1，可得2x2-2tx-t2-3=0(*) =4t2+8(t2+3)=12t2+240