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第二章复函数 1 解析函数 1 极限与连续性 单值函数 对于G中的每个z 有唯一的w与其对应 多值函数 至少存在一个z0属于G 与z0对应的w有 两个或两个以上 复变函数极限的定义 当 时 当 时 当 时 设 则 当且仅当 证明 如果 则 使得当 时 命题 所以 反之 若 则 当 时 所以 当 时 连续函数的和 差 积 商 分母不为零 均为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数 例 argz0 2 导数 解析函数 定义 定义 在区域内解析 在一点解析 在闭区域上解析 如果一个函数在一个点可导 则它在这个点连续 证明 设f z 在点a可导 则 注解1 可微 有时也可以称为 单演 而 解析 有时也称为 单值解析 全纯 正则 等 注解2解析性与可导性的关系 在一个点的可导性为一个局部概念 而解析性是一个整体概念 注解3函数在一个点解析 是指在这个点的某个邻域内可导 因此在这个点可导 反之 在一个点的可导不能得到在这个点解析 注解4闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析 四则运算法则 复合函数求导法则 注 利用这些法则 我们可以计算常数 多项式以及有理函数的导数 其结果和数学分析的结论基本相同 反函数求导法则 证明 因为 所以 Cauchy Riemann方程 问题 设 可微 则 首先设h为实数 得 令 得 再令 t为实数 得 令 得 由 得 Cauchy Riemann方程 例 在 处满足上述定理中的条件 但f z 在 不可微 证明 C R条件 证明 设 在点 处有导数 其中a和b为实数 当 时 其中 满足条件 注 2 初等函数 实指数函数的性质 1 指数函数 指数函数的定义域的扩充 由于要求解析 所以利用柯西 黎曼条件 有 所以 因此 定义 称作复指数函数 记作 复指数函数的性质 注 Euler公式 问题 指数函数的几何性态 三角函数 由于Euler公式 对任何实数y 我们有 所以有 定义 三角函数的性质 2 cosz是偶函数 sinz是奇函数 证明 3 cosz和sinz是以2 为周期的周期函数 证明 证明 证明 定义 上述四个函数在各自的定义域内解析 且 定义 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 初等多值函数 1 幅角函数 单值分支 连续单值分支 上沿 下沿 思考题 定义 设 是一个多值函数 是 的任 意一个邻域 是 内任一绕 一周的简单闭曲线 在 上取一点 我们从与 对应的多个值中取出一个与其对应 设为 让点 从 出发 沿 绕 一周 回到 对应 的值从 连续变化为 如果 则称 为 的一个支点 对数函数 定义 注意 由于对数函数是指数函数的反函数 而指数函数是周期为2 的周期函数 所以对数函数必然是多值函数 注意 对数函数的基本性质 注 问题 对数函数的主值 相应于Argz的主值 我们定义Lnz的主值为 连续单值分支 对数函数的主值支 支割线 证明 注 对数函数的映射性质 幂函数 定义 其中 应当理解为对它求
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