定积分的概念与性质(精)ppt课件

第五章定积分 第一节定积分的概念与性质 第二节微积分基本公式 第三节定积分的换元法和分部积分法 第四节反常积分 第一节定积分的概念与性质 三 定积分的性质 一 定积分问题举例 二 定积分的定义 一 定积分问题举例 曲边梯形设函数y f x 在区间 a b 上非负 连续 由直线x a x b y 0及曲线y f x 所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 如何计算其面积 在初等函数里面 我们只会计算规则图形的面积 如长方形 圆形等 如何计算不规则图形的面积 是我们需要解决的问题 解决步骤 1 分割 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2 近似 在第i个窄曲边梯形上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 3 求和 4 取极限 令 则曲边梯形面积 元素法 1化整为零 2以直代曲 以常代变 3积零为整 y f x 分法越细 越接近精确值 1 曲边梯形的面积 f i 元素法 4取极限 y f x 令分法无限变细 分法越细 越接近精确值 1化整为零 2以直代曲 以常代变 3积零为整 f i 1 曲边梯形的面积 元素法 4取极限 y f x 令分法无限变细 分法越细 越接近精确值 1化整为零 2以直代曲 以常代变 3积零为整 f i S S 1 曲边梯形的面积 2 变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v v t 是时间t的连续函数 且v t 0 计算物体在时间段 T1 T2 内所经过的路程S 1 分割 T1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2 Dti ti ti 1 2 近似 物体在时间段 ti 1 ti 内所经过的路程近似为 DSi v i Dti ti 1 i ti 物体在时间段 T1 T2 内所经过的路程近似为 3 求和 4 取极限 记 max Dt1 Dt2 Dtn 物体所经过的路程为 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 分割 近似 求和 取极限 所求量极限结构式相同 特殊乘积和式的极限 1 曲边梯形的面积 2 变速直线运动的路程 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题 将其一般化 就得到定积分的概念 1 定积分的定义 i 1 2 n 作和 max Dx1 Dx2 Dxn 在小区间 xi 1 xi 上任取一点xi 记Dxi xi xi 1 i 1 n 个分点 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 设函数f x 在区间 a b 上有界 极限存在 且极限值与区间 a b 的分法和xi的取法无关 则称此极限为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记为 即 二 定积分的定义 在区间 a b 内插入n 1 如果当 0时 上述和式的 此时称f x 在 a b 上可积 定积分仅与被积函数及积分区间有关 而与积分 变量用什么字母表示无关 即 2 函数的可积性 定理1 如果函数f x 在区间 a b 上连续 则函数f x 在区间 a b 上可积 定理2 如果函数f x 在区间 a b 上有界 且只有有限个间断点 则函数f x 在区间 a b 上可积 1 定积分的定义 二 定积分的定义 3 定积分的几何意义 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 解把区间 0 1 分成n等份 分点为和小区间长度为 例1 利用定义计算定积分 取 作积分和 解函数y 1 x在区间 0 1 上的定积分是以y 1 x为曲边 以区间 0 1 为底的曲边梯形的面积 因为以y 1 x为曲边 以区间 0 1 为底的曲边梯形是一个直角三角形 其底边长及高均为1 所以 例2用定积分的几何意义求 两点规定 三 定积分的性质 性质1 性质2 性质3 注 值得注意的是不论a b c的相对位置如何上式总成立 性质4 推论1 如果在区间 a b 上f x g x 则 如果在区间 a b 上f x 0 则 性质5 推论2 这是因为 f x f x f x 所以 性质6设M及m分别是函数f x 在区间 a b 上的最大值及最小值 则 性质7 定积分中值定理 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 则在积分区间 a b 上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为 由性质6变形得 积分中值公式 由介值定理 至少存在一点x a b 使 两端乘以b a即得积分中值公式 注 可把 故它是有限个数的平均值概念的推广 积分中值定理对 因 解 例3估计积分的值 解 例4估计积分的值 内容小结 1 定积分的定义 乘积和式的极限 2 定积分的性质 3 积分中值定理 连