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对数函数的图像和性质 一 回忆学习指数函数时用的实例 细胞分裂问题 细胞的个数y是分裂次数x的函数 y 2x 实际上 在此变化过程中 细胞分裂的次数x也可以是细胞个数y的函数这个函数可以写成对数的形式 x log2y 不过习惯上 我们总用x表示自变量 y表示函数 这个函数就是 y log2x 一般地函数y logax a 0 且a 1 叫做对数函数 其中x是自变量 函数的定义域是 0 对数函数的定义 用描点法画对数函数y log2x和y log0 5x的图象 对数函数y logax a 0 a 1 4 01时 y 0 4 00 x 1时 y 0 3 过点 1 0 即x 1时 y 0 1 定义域 0 2 值域 R x y o 1 0 x y o 1 0 5 在 0 上是减函数 5 在 0 上是增函数 对数函数的图象和性质 底数a 1时 底数越大 其图象越接近x轴 底数0 a 1时 底数越小 其图象越接近x轴 补充性质二 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称 补充性质一 图形 例1比较下列各组数中两个值的大小 1 log23 4 log28 5 2 log0 31 8 log0 32 7 3 loga5 1 loga5 9 a 0 a 1 解 考察对数函数y log2x 因为它的底数2 1 它在 0 上是增函数 log23 4 log28 5 考察对数函数y log0 3x 因为它的底数为0 3 即0 0 3 1 它在 0 上是减函数 log0 31 8 log0 32 7 解 当a 1时 函数y logax在 0 上是增函数 则有loga5 1 loga5 9当0 a 1时 函数y logax在 0 上是减函数 则有loga5 1 loga5 9 3 loga5 1 loga5 9 a 0 a 1 分析 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1 而已知条件中并未指出底数a与1哪个大 因此需要对底数a进行讨论 练习1 比较下列各题中两个值的大小 log106log108 log0 56log0 54 log0 10 5log0 10 6 log1 51 6log1 51 4 练习2 已知下列不等式 比较正数m n的大小 1 log3mlog0 3n 3 logamlogan a 1 答案 1 m n 2 m n 3 m n 4 m n 例2比较下列各组中两个值的大小 log67 log76 log3 log20 8 解 log67 log66 1log76 log77 1 log67 log76 log3 log31 0log20 8 log21 0 log3 log20 8 注 当不能直接进行比较时 可考虑这些数与1或0的大小 间接比较两个对数的大小 练习3 将0 32 log20 5 log0 51 5由小到大排列 顺序是 log20 5 log0 51 5 0 32 小结 对数函数的图象和性质 比较两个对数
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