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初中复习讲义-二次函数(学生版)补:1.两条直线平行,两条直线垂直,2.两点间距离公式;若点则3.点到直线的距离公式:若直线:,点,则点到的距离为:4.两条平行线之间的距离公式:若,则间的距离为:5.点在图像上满足函数解析式(重点)一、函数解析式求法问题一般我们根据题设条件来设函数解析式,分别从:一般式:顶点式;,二次函数的顶点坐标为:交点式(双根式):,二次函数与轴的交点为:对称式:,二次函数的对称点为:二、三角形问题研究1.三角形面积。常采用方法:分割法(这里就有很多种分割方法,具体哪一种比较简单,需要同学们慢慢理解),直接法(点到直线的距离,一般是求三角形的高)例1:(2016贵阳模拟改编)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(4,0),B(0,4),C(2,0)三点(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,AMB的面积为S求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值解:(1)满足交点式,则设函数解析式为:,将A(4,0),B(0,4),C(2,0)带入得: (2)方法一:分割法:连接则,S=SAOM+SOBMSAOB又点在二次函数上且横坐标为,则,且,,带入数据得:所以当时,取的最大值为4。 方法二:直接法,利用点到直线的距离直接求三角形AMB的面积同样,求出直线的解析式:则三角形AMB的高为:,,,带入数据得:,所以当时,取的最大值为4。 方法三:函数中三角形面积的特殊求法:同样,求出直线的解析式:,过作的垂线交于则:方法是将三角形AMB分解成三角形AMN和三角形MBN.后面于前面的内容相同。变式训练1.(2015酒泉改编)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与轴相交于点M(1)求抛物线的解析式和对称轴;(2)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由变式训练2.(2018山东泰安改编)如图,在平面直角坐标系中,二次函数交x轴于点A(3,0)、B(1,0),在y轴上有一点E(0,1),连接AE(1)求二次函数的表达式;(2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点,求ADE面积的最大值;变式训练3.(2015葫芦岛改编)如图,直线与轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线经过B、C两点(1)求抛物线的解析式;(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当BEC面积最大时,请求出点E的坐标和BEC面积的最大值?变式训练4.(2010年江苏无锡)如图,矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(-4,0)和(2,0),BC=,设直线AC与直线x=4交于点E。(1)求以直线x=4为对称轴,且过C与原点O的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E;(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N,M是该抛物线上位于C、N之间的一动点,求CMN面积的最大值。2.直角三角形问题(证明互相垂直也可以用)。解题思路:常规方法是利用勾股定理,函数中可以利用两条直线垂直,的方法。例:(2015年湘潭改编)如图,二次函数的图象交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,连接BC,动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动,动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动,P、Q同时出发,连接PQ,当点Q到达C点时,P、Q同时停止运动,设运动时间为t秒(1)求二次函数的解析式;(2)如图1,当BPQ为直角三角形时,求t的值;解:(1)将A(1,0)、B(3,0)带入解析式得:(2)方法一:分别算出每条边的长度,再利用勾股定理解出t,这里注意没有告诉哪个角为直角,所以我们都要去算(主要是用几何方法做)。,由(1)知C(0,-3),这里主要是算PQ,过Q作QH垂直于AB于H,那么根据相似三角形得:,为斜边:解得:为斜边:解得:舍去)不能为斜边,综上所述:方法二:利用点和坐标,用两条直线垂直的方法。B(3,0),,过Q作QH垂直于AB于H,,B(3,0),为斜边:为斜边:则P和Q的纵坐标相同,不能为斜边,综上所述:变式训练1:(2015营口改编)如图,一条抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且当x=1和x=3时,y的值相等,直线与抛物线有两个交点,其中一个交点的横坐标是6,另一个交点是这条抛物线的顶点M(1)求这条抛物线的表达式(2)动点P从原点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动,当一个点到达终点时,另一个点立即停止运动,设运动时间为t秒若使BPQ为直角三角形,请求出所有符合条件的t值变式训练2:(2015年山东莱芜)已知抛物线()经过点,其对称轴为直线,为轴上一点,直线与抛物线交于另一点.(1) 求抛物线的解析式(2) 试在线段AD下方的抛物线上求一点E,使得的面积最大,并求出最大面积;(3) 在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得是直角三角形?如果存在求出点F的坐标,如果不存在,请说明理由。变式训练3:(2018年浙江湖州)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知ABC,ABC=90,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=2,ADC与ABC关于AC所在的直线对称(1)当OB=2时,求点D的坐标;(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OB的长;(3)如图2,将第(2)题中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y=(k0)的图象与BA的延长线交于点P问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由 变式训练4:(2015郴州改编)如图,已知抛物线经过点A(4,0),B(0,4),C(6,6)(1)求抛物线的表达式;(2)证明:四边形AOBC的两条对角线互相垂直;变式训练5:(2015遵义)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A(4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,2)(1)求抛物线的解析式;(2)若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC上方,当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时,求点D的坐标及此时三角形的面积;(3)以AB为直径作M,直线经过点E(1,5),并且与M相切,求该直线的解析式变式训练6:(2010年重庆綦江县改编)已知:抛物线的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式;(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;(2019年德阳市)如图,已知抛物线经过点A(2,0)、B(4,0)、C(0,8)(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;(2)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴的右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于M,使PM=EF,请求出点P的坐标;(3)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(2)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度,向下最多平移多少个单位长度3.等腰三角形。解题思路:我们主要是利用两条边相等,或是两个角相等,主要是利用边相等,注意有些题没有说那些边相等,需要多次讨论,多计算出三条边的平方值,然后两两相等。例:(2019嘉定模拟)如图,已知直线与抛物线相交与点,和点(1) 求抛物线的函数表达式(2) 若点P位于直线AB上方抛物线上的一动点,当三角形PAB面积S最大时,求S与点P的坐标;(3) 在x轴上是否存在点Q,使得三角形QAB为等腰三角形,若存在求出Q的坐标,不存在说明理由。 解:(1)点B在直线上带入求出,又点A、B在抛物线上带入求出则抛物线表达式为:(2) 设点,由专题1我们用第三种方法,过P作PH垂直于x轴交AB与H,现在只需要求PH的长度,写出H点坐标,联立直线与抛物线解出A、B两点坐标为,所以当(此时点P在范围内)时,三角形ABP的面积最大为。(3)设点这里没说那两条时腰这需要讨论:时:时:时:(-1舍去)综上所述:变式训练1:(2019年资阳市)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点(1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到什么位置时,PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PEx轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由变式训练2:(2019年成都市)如图,抛物线经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将BCD沿直线BD翻折得到BCD,若点C恰好落在抛物线的对称轴上,求点C和点D的坐标;(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的对称轴上,当CPQ为等边三角形时,求直线BP的函数表达式变式训练2:(2019年重庆)在平面直角坐标系中, 抛物线 与x轴交于A,B两点(点A 在点B左侧),与y轴交于点C ,顶点为D对称轴与文轴交于点Q(1)如图1,连接AC,BC.若点P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P 作轴交BC于点E,作于点F,过点B作BG /AC交y轴于点G.点H ,K分别在对称轴和y 轴上运动,连接PH,HK.当三角形PEF的周长最大时,求的最小值及点H 的坐标(2)如图2,将抛物线沿射线AC 方向平移,当抛物线经过原点0 时停止平移,此时抛物线顶点记为,N为直线DQ上一点,连接点能否构成等腰三角形? 若能, 直接写出满足条件的点N 的坐标;若不能,请说明理由变式训练3:(2019年菏泽)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x1 (1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内,且,求PBE的面积(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由 变式训练4:(2019年黄冈)如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x10,x20)(1)求b的值(2)求x1x2的值(3)分别过M,N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M1和N1判断M1FN1的形状,并证明你的结论(4)对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m(m是常数),使m与以MN为直径的圆相切?如果有,请求出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由变式训练5:(2019福建)已知抛物y=ax2+bx+c(b0)与轴只有一个公共点. (1) 若公共点坐标为(2,0),求a、c满足的关系式;(2) 设A为抛物线上的一定点,直线l:y=kx+1k与抛物线交于点B、C两点,直线BD垂直于直线y=1,垂足为点D.当k0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且ABC为等腰直角三角形.求点A的坐标和抛物线的解析式;证明:对于每个给定的实数k,都有A、D、C三点共线.(证明三点共线的方法:用任意两点确定直线算出直线方程,然后验证第三点是否在直线上)综合训练1.(2019年武汉)已知抛物线(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线经过点A,交抛物线C1于另一点B请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q,连接AQ若APAQ,求点P的横坐标若PAPQ,直接写出点P的横坐标(3)如图2,MNE的顶点M、N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME、NE均与y轴不平行若MNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为m、n,求m与n的数量关系2.如图(1)所示,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tanOAC=2。(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使APC=90,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图(2)所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线ll,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t当t为何值时,BCN的面积最大?最大面积为多少?3.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA2,OC6,连接AC和BC(1)求抛物线的解析式;(2)点D在抛物线的对称轴上,当ACD的周长最小时,点D的坐标为 (3)点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE求BCE面积的最大值及此时点E的坐标;(4)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由4.(2018年成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,以直线对称轴的抛物线与直线交于A(1
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