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基本不等式基础练习题 1 若两个正实数x y满足 1 则x 2y的最小值是 2 已知x 0 y 0 且 则2x 3y的最小值为 3 设a 0 b 0 若 是2a与2b的等比中项 则 的最小值为 4 若两正数a c满足a 2c 2ac 8 则ac的最大值为 5 已知x 2 则 x的最小值为 6 已知x 0 3 则函数y 的最小值为 7 已知实数x y满足x2 y2 xy 1 则x 2y的最大值为 8 已知x y R 且xy2 8 则4x y的最小值为 9 若实数x y满足xy 1 则x2 2y2的最小值为 10 若正数x y满足2x y 3 0 则 的最小值为 11 已知f x log2 x 2 若实数m n满足f m f 2n 3 则m n的最小值是 12 已知a b都是正实数 函数y 2aex b的图象过点 0 1 则 的最小值是 13 已知正数x y满足x 2y 2 则 的最小值为 14 已知a b 0 ab 1 则 的最小值为 15 设x y均为正实数 且 则xy的最小值为 16 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则x 2y的最小值是 17 已知x y R 且 1 则xy的最小值是 18 已知正实数x y满足xy 2x y 4 则x y的最小值为 19 已知log2x log2y 1 则x y的最小值为 20 已知正实数x y满足 x 1 y 1 16 则x y的最 小值为 21 已知x y R 且x 2y 1 则2x 4y的最小值是 22 己知x 0 y 0 且x y 5 则x y的最大值是 23 若正数x y满足x 3y 5xy 则x y的最小值为 24 已知a b c d R 且a2 b2 2 c2 d2 2 则ac bd的 最大值为 25 已知x 0 y 0 且x 2y xy 则log4 x 2y 的最小 值是 26 在等比数列 an 中 若S7 14 正数a b满足a b a4 则 ab的最大值为 27 已知函数f x 2x 1 1过定点A 且点A在直线l mx ny 1 m 0 n 0 上 则 的最小值是 28 实数x y满足x2 y2 4 则x y xy的最大值为 29 已知直线ax by 1经过点 1 2 则2a 4b的取值范 围是 30 已知正数a b c满足a b ab a b c abc 则c的取值 范围是 参考答案与试题解析 一 填空题 共30小题 1 2015 资阳模拟 若两个正实数x y满足 1 则x 2y的最小值是 8 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 根据 1可得x 2y x 2y 然后展开 利用基本不等式可求出最值 注意等号 成立的条件 解答 解 两个正实数x y满足 1 x 2y x 2y 4 4 2 8 当且仅当 时取等号即x 4 y 2 故x 2y的最小值是8 故答案为 8 点评 本题主要考查了基本不等式的应用 解题的关键是 1 的 活用 同时考查了运算求解的能力 属于基础题 2 2013 东莞二模 已知x 0 y 0 且 则2x 3y的最小值为 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 把 代入可得 2x 3y 2x 3y 29 由基本不等式可得答案 解答 解 由题意可得2x 3y 2x 3y 29 2 29 29 6 当且仅当 即x y 时取等号 故2x 3y的最小值为 故答案为 点评 本题考查基本不等式的应用 把 代入原式构造可利用基本不等式的情形是解决问题的关 键 属基础题 3 2015 中山市二模 设a 0 b 0 若 是2a与2b的等比中项 则 的最小值为 4 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 利用等比中项的性质 乘1法 与基本不等式的性质即可 得出 解答 解 由题意知 又a 0 b 0 当且仅当a b 时取等号 的最小值为4 故答案为 4 点评 本题考查了等比中项的性质 乘1法 与基本不等式的性 质 属于基础题 4 2015 德阳模拟 若两正数a c满足a 2c 2ac 8 则ac的最大值 为 2 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 两正数a c满足a 2c 2ac 8 利用基本不等式的性质可得 化为 解出即可 解答 解 两正数a c满足a 2c 2ac 8 化为 0 解得 ac 2 当且仅当a 2c 2取等号 ac的最大值为2 故答案为 2 点评 本题考查了基本不等式的性质 一元二次不等式的解 法 属于基础题 5 2015 恩施州一模 已知x 2 则 x的最小值为 4 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 变形利用基本不等式的性质即可得出 解答 解 x 2 x x 2 2 4 当且仅当x 3时取等号 故答案为 4 点评 本题考查了基本不等式的性质 属于基础题 6 2015 金家庄区模拟 已知x 0 3 则函数y 的最小值为 3 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 函数的性质及应用 分析 利用 当且仅当 时取等号 x y m n都为正数 解答 解 x 0 3 函数y 3 当且仅当 即x 1时取等号 函数y 的最小值为3 故答案为 3 点评 本题考查了变形利用基本不等式的性质 属于基础题 7 2015 杭州一模 已知实数x y满足x2 y2 xy 1 则x 2y的最大 值为 2 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 x 2y m 则x m 2y代入x2 y2 xy 1 可得3y2 3my m2 1 0 利用 0 解出即可 解答 解 设x 2y m 则x m 2y代入x2 y2 xy 1 可得3y2 3my m2 1 0 9m2 12 m2 1 0 解得 2 m 2 x 2y的最大值为2 故答案为 2 点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系 一 元二次不等式的解法 属于基础题 8 2015 衡阳模拟 已知x y R 且xy2 8 则4x y的最小值为 6 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 利用基本不等式的性质即可得出 解答 解 xy2 8 x x y R 4x y 3 6 当且仅当x y 4时取等号 4x y的最小值为6 故答案为 6 点评 本题考查了基本不等式的性质 属于基础题 9 2014 上海 若实数x y满足xy 1 则x2 2y2的最小值为 2 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 由已知可得y 代入要求的式子 由基本不等式可得 解答 解 xy 1 y x2 2y2 x2 2 2 当且仅当x2 即x 时取等号 故答案为 2 点评 本题考查基本不等式 属基础题 10 2014 德州一模 若正数x y满足2x y 3 0 则 的最小值为 3 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 由题意可知2x y 3 所以想到把要求最小值的式子分子 分母同时乘以3 把分子的3同时换成2x y 展开后利用 基本不等式可求最小值 解答 解 由2x y 3 0 得2x y 3 又 x y为正数 所以 当且仅当x y时取等号 因为2x y 3 0 所以此时 x y 1 所以 的最小值为3 故答案为3 点评 本题考查了基本不等式的应用 训练了学生灵活变形和处 理问题的能力 解答此题的关键是对已知条件的灵活运 用 属中档题 11 2014 阳泉二模 已知f x log2 x 2 若实数m n满足 f m f 2n 3 则m n的最小值是 7 考点 基本不等式 对数的运算性质 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 由题意得m 2 n 1 m 2 n 1 4 再由基本 不等式得 2 变形可得m n的最小值 解答 解 f x log2 x 2 若实数m n满足f m f 2n 3 m 2 n 1 log2 m 2 log2 2n 2 3 log2 m 2 2 n 1 3 m 2 2 n 1 8 m 2 n 1 4 2 当且仅当m 2 n 1 2时 取等号 m n 3 4 m n 7 故答案为 7 点评 本题考查对数的运算性质 基本不等式的应用 考查计 算能力 12 2014 日照一模 已知a b都是正实数 函数y 2aex b的图象过 点 0 1 则 的最小值是 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 把点 0 1 代入函数关系式即可得出a b的关系 再 利用基本不等式的性质即可得出 解答 解 函数y 2aex b的图象过点 0 1 1 2a b a 0 b 0 3 当且仅当 b 时取等号 故答案为 点评 熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键 13 2014 镇江一模 已知正数x y满足x 2y 2 则 的最小值为 9 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 利用 乘1法 和基本不等式即可得出 解答 解 正数x y满足x 2y 2 9 当且仅当x 4y 时取等号 的最小值为9 故答案为 9 点评 本题考查了 乘1法 和基本不等式的性质 属于基础题 14 2014 温州三模 已知a b 0 ab 1 则 的最小值为 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 本题是基本不等式问题 可以利用a b 0得到a b 0 正数 再利用条件ab为定值将a2 b2转化为 a b 2与ab 化简后 运用基本不等式解决问题 解答 解 a b 0 ab 1 a b 0 当且仅当a b 时取等号 故答案为 点评 本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思 想 注意不等式成立的条件 一正二定三相等 15 2014 江西一模 设x y均为正实数 且 则xy的最小值为 16 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 将等式左边通分 化简等式后 使用基本不等式 化为 关于 的一元二次不等式 解出 的范围 解答 解 x y均为正实数 且 进一步化简得 xy x y 8 0 x y xy 8 2 令t t2 2t 8 0 t 2 舍去 或 t 4 即 4 化简可得 xy 16 xy的最小值为16 点评 本题考查基本不等式的应用 体现转化的数学思想 属 于基础题 16 2014 浙江模拟 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则x 2y的最小 值是 4 考点 基本不等式 简单线性规划的应用 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 首先分析题目由已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 求x 2y 的最小值 猜想到基本不等式的用法 利用a b 2 代入已知条件 化简为函数求最值 解答 解 考察基本不等式x 2y 8 x 2y 8 2 当且仅当x 2y时取等号 整理得 x 2y 2 4 x 2y 32 0 即 x 2y 4 x 2y 8 0 又x 2y 0 所以x 2y 4 当且仅当x 2y时取等号 则x 2y的最小值是 4 故答案为 4 点评 此题主要考查基本不等式的用法 对于不等式a b 2 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛 需要同学们 多加注意 17 2014 宿州三模 已知x y R 且 1 则xy的最小值是 8 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 由x y R 且 1 可得 y 2 代入并利用基本不等式即可得出 解答 解 x y R 且 1 y 2 xy y 4 8 当且仅当y 4 x 2 时取等号 xy的最小值是8 故答案为 8 点评 本题考查了基本不等式的性质 属于基础题 18 2014 苏州一模 已知正实数x y满足xy 2x y 4 则x y的最小 值为 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 变形利用基本不等式即可得出 解答 解 正实数x y满足xy 2x y 4 0 x 2 x y x x 1 3 3 3 当且仅当x 时取等号 x y的最小值为 故答案为 点评 本题考查了基本不等式的性质 属于基础题 19 2014 宝山区二模 已知log2x log2y 1 则x y的最小值为 2 考点 基本不等式 对数的运算性质 菁优网版权所有 专题 函数的性质及应用 分析 由log2x log2y 1 得出xy 2 且x 0 y 0 由基本不 等式求出x y的最小值 解答 解 log2x log2y 1 log2 xy 1 xy 2 其中x 0 y 0 x y 2 2 当且仅当x y 时 成立 x y的最小值为 故答案为 2 点评 本题考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用问 题 解题时应注意基本不等式的应用条件是什么 是基 础题 20 2014 淮安模拟 已知正实数x y满足 x 1 y 1 16 则 x y的最小值为 8 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 变形利用基本不等式即可得出 解答 解 正实数x y满足 x 1 y 1 16 x y 8 当且仅当y 3 x 5 时取等号 x y的最小值为8 故答案为 8 点评 本题考查了变形利用基本不等式的性质 属于基础题 21 2014 重庆三模 已知x y R 且x 2y 1 则2x 4y的最小值 是 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 首先判断2x 0 4y 0 然后知2x 4y 2 即得答案 解答 解 由2x 0 4y 0 2x 4y 2 所以2x 4y的最小值为 故答案为 点评 本题考查均值不等式的性质和应用 解题时要注意公式 的正确应用 22 2014 淄博三模 己知x 0 y 0 且x y 5 则x y的最大值是 4 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 利用基本不等式转化为一元二次不等式 解出即可 解答 解 x 0 y 0 且x y 5 x y 令x y t 0 上述不等式可化为t2 5t 4 0 解得1 t 4 当且仅当x y 2时取等号 因此t即x y的最大值为4 故答案为 4 点评 本题考查了基本不等式的性质 一元二次不等式的解 法 转化法 属于中档题 23 2014 浙江模拟 若正数x y满足x 3y 5xy 则x y的最小值为 考点 基本不等式 基本不等式在最值问题中的应用 菁优网版权所有 专题 常规题型 函数的性质及应用 分析 将x 3y 5xy转化为 1 再由x y x y 展开后利用基本不等式可求出x y的最小值 解答 解 正数x y满足x 3y 5xy x y x y 当且仅当 即 时取等号 此时结合x 3y 5xy 得 x y 可知x y的最小值为 故答案为 点评 本题为2012年浙江文科试题第 9 题的一个变式 容易 做错 应注意等号成立的条件 1 的替换是一个常用的 技巧 应学会灵活运用 24 2014 咸阳二模 已知a b c d R 且a2 b2 2 c2 d2 2 则 ac bd的最大值为 2 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 利用基本不等式即可得出 解答 解 2 当且仅当a c b d 1时取等号 ac bd的最大值为2 故答案为 2 点评 本题考查了基本不等式的性质 属于基础题 25 2014 荆州模拟 已知x 0 y 0 且x 2y xy 则log4 x 2y 的最小值是 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 根据基本不等式求出xy 8 然后利用对数的基本运算和 对数的换底公式进行计算即可 解答 解 x 0 y 0 且x 2y xy x 2y xy 平方得 xy 2 8xy 解得xy 8 log4 x 2y log4 xy 故答案为 点评 本题主要考查基本不等式的应用以及对数的基本计算 考查学生的计算能力 26 2014 凉山州一模 在等比数列 an 中 若S7 14 正数a b满足 a b a4 则ab的最大值为 1 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 利用等比数列的通项公式和基本不等式即可得出 解答 解 设等比数列 an 的首项为a1 公比为q S7 14 a4 a4 2 2 2 1 a4 2 正数a b满足a b a4 2 a4 a b 解得ab 1 当且仅当a b 1时取等号 此时ab的最大值为1 故答案为 1 点评 本题考查了等比数列的通项公式和基本不等式 属于中档 题 27 2014 淮南二模 已知函数f x 2x 1 1过定点A 且点A在直 线l mx ny 1 m 0 n 0 上 则 的最小值是 4 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 利用20 1可得函数f x 2x 1 1过定点A 1 2 由于点A在直线l mx ny 1 m 0 n 0 上 可得 m 2n 1 再利用 乘1法 和基本不等式的性质即可得出 解答 解 f 1 20 1 2 函数f x 2x 1 1过定点A 1 2 由点A在直线l mx ny 1 m 0 n 0 上 m 2n 1 m 2n 2 4 当且仅当m 2n 取等号 的最小值是4 故答案为 4 点评 本题考查了指数的运性质和基本不等式的性质 属于中 档题 28 2014 宁波模拟 实数x y满足x2 y2 4 则x y xy的最大值 为 考点 基本不等式 菁优网版权所有 专题 三角函数的图像与性质 分析 由实数x y满足x2 y2 4 利用三角函数代换x 2