河北省九校2019届高三上学期第二次联考试题理科数学版.pdf

河北省九校 2019 届高三上学期第二次联考试题 理科数学 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 已知复数z满足 1 2iiz i是虚数单位 则z的共轭复数是 A i 1 B 1 i C 12i D 1 i 1 答案 B 解析 2 2i2i i 1 2i i 1 ii1 i 1 i i 1 i 1 i1 2 zz 2 已知集合 2 2 0 Mx xNx xx 则下列正确的是 A RMN B R RMN C R RNM D MNM 2 答案 B 解析 2 0 01 Nx xxxx 所以 0 R Nx x 或1 x 所以 R RMN 3 已知向量 1 3 2 am b 且 abb 则m A 8 B 6 C 6 D 8 3 答案 D 解析 因为 1 3 2 am b 所以 4 2 abm 又 abb 所以 3 4 2 2 0abbm 解得8m 4 圆C的半径为 2 圆心在x轴的正半轴上 直线3440 xy 与圆C相切 则圆C的方程为 A 22 230 xyx B 22 40 xyx C 22 40 xyx D 22 230 xyx 4 答案 C 解析 由题意设所求圆的方程为 22 4 0 xmym 则 34 2 5 m 解得2m 或 14 3 m 舍 去 故所求圆的方程为 22 2 4xy 即 22 40 xyx 5 如图 矩形的长为 6 宽为 4 在矩形内随机撒 300 颗黄豆 数得落在椭圆外的黄豆数为 96 以此试验 数据为依据可估计出椭圆的面积为 A 16 32 B 15 32 C 8 68 D 7 68 5 答案 A 解析 由题意 可估计椭圆的面积为 96 16 416 32 300 6 函数 3 2lnyxx x 的单调递减区间是 A 3 1 B 0 1 C 1 3 D 0 3 6 答案 B 解析 定义域为 0 令 2 222 3223 3 1 10 xxxx y xxxx 得01x 7 将偶函数 sin 3 0 f xx 的图象向右平移 12 个单位长度后 得到的曲线的对称中心为 A 0 34 Z k k B 0 312 Z k k C 0 36 Z k k D 7 0 336 Z k k 7 答案 A 解析 因为函数 sin 3 f xx 为偶函数且0 所以 2 f x的图象向右平移 12 个单 位长度后得到 sin 3sin 3 1224 g xxx 令3 4 Z xkk 得 34 Z k xk 所以曲线 yg x 的对称中心为 0 34 Z k k 8 执行如图所示的程序框图 如果输入的 a b k分别为 1 2 4 输出的 15 8 M 那么判断框中应填入的条件为 A nk B nk C 1nk D 1 nk 开始开始 输入输入a b k 1n 1 Ma b ab bM 1nn 输出输出M 结束结束 是是 否否 8 答案 A 解析 1332838 1 2 4 11 2 22 3 2223323 abknMabnMabn 3315815 4 28838 Mabn 结束循环 输出 15 8 M 此时4n 而输入的4k 故结合选项知 判断框应填入nk 9 第十四届全国运动会将于 2021 年在陕西举办 为宣传地方特色 某电视台派出 3 名男记者和 2 名女记 者到民间进行采访报导 工作过程中的任务划分为 负重扛机 对象采访 文稿编写 编制剪辑 四项工作 每项工作至少一人参加 但2名女记者不参加 负重扛机 工作 则不同的安排方案书共有 A 150 B 126 C 90 D 54 9 答案 B 解析 根据题意 负重扛机 可由 1 名男记者或 2 名男记者参加 当由 1 名男记者参加 负重扛机 工 作时 有 1 3 C种方法 剩余 2 男 2 女记者可分为 3 组参加其余三项工作 共有 23 43 C A种方法 故由 1 名男记 者参加 负重扛机 工作时 共有 123 343 108C C A 种方法 当由 2 名男记者参加 负重扛机 工作时 剩余 1 男 2 女 3 名记者各参加一项工作 有 23 33 18CA 种方 法 故满足题意的不同安排方案数共有108 18126 种 10 若函数 x f xkxxe 有两个正实数零点 则k的取值范围是 A 0 B 1 0 e C 0 1 D 0 e 10 答案 C 解析 令 0 x f xkxxe 得 x kxxe 当0 x 时 1 1 x x xe k xxe 令 1 1 x g x xe 则 2 1 0 x x g x x e 所以 g x在 0 上单 调递增 且当0 x 时 g x 当x 时 1g x 作出 yg x 的图象如图所示 由题意知 直线yk 与 yg x 的图象有两个交点 所以01k 1 O 11 已知点 0 0 Fcc 是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左焦点 过F且平行于双曲线渐近线的 直线与圆 222 xyc 交于点F和另一个点P 且点P在抛物线 2 4ycx 上 则该双曲线的离心率是 A 5 B 35 2 C 51 2 D 51 2 11 答案 C 解析 如图 由 222 xyc 及 2 4ycx 及题意可取 52 252 Pcc 又点P在过F与渐近线 平行的直线 b yxc a 上 所以252 52 b ccc a 252 51 b a 2222 2 222 4 52 5151 11 2262 5 cabb ee aaa 12 已知三棱柱 111 ABCABC 的所有顶点都在球O的球面上 该三棱柱的五个面所在平面截球面所得圆 的大小相同 若球O的表面积为20 则三棱柱的体积为 A 6 3 B 12 C 12 3 D 18 12 答案 A 解析 设球O的半径为R 则由 2 420R 得 2 5R 设正三棱柱的高为h 底面边长为a 五个面 截球所得小圆半径均相等 设为r 则 222 4rah 3 3 ra 所以 22 3ah 又 2 2222 222 5 5 23444 hahhh Rrh 可得2h 所以 2 12a 所以三棱柱的体积 2 33 12 26 3 44 Va h 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 已知点 sin35 cos35 P 为角 终边上一点 若0360 则 P F O 13 答案 55 解析 由题意知cossin35cos55 sincos35sin55 点P在第一象限 55 14 已知两条不同的直线 m n 两个不重合的平面 给出下面五个命题 mn mn mnmn mn mn mm mn mn 其中正确命题的序号是 14 答案 解析 命题 显然正确 命题 m n可能为异面 故 为假命题 命题 可能n 故 为假命题 命题 由线面垂直 线面平行的性质以及面面垂直的判定知 为真 命题 命题 由 mn m 得n 又 所以n 故 为真命题 综上 正确的命题为 15 学校艺术节对同一类的 A B C D 四项参赛作品只评一项一等奖 在评奖揭晓前 甲 乙 丙 丁 四位同学对这四项参赛作品预测如下 甲说 是 C 或 D 作品获得一等奖 乙说 B 作品获得一等奖 丙说 A D 两项作品未获得一等奖 丁说 是 C 作品获得一等奖 若这四位同学中只有两位说的话是对的 则获得一等奖的作品是 15 答案 B 解析 若获得一等奖的是 A 则甲 乙 丙 丁四位同学说的话都是错 若获得一等奖的是 B 则乙 丙两位同学说的对 符合题意 若获得一等奖的是 C 则甲 丙 丁三位同学说的都对 若获得一等奖的是 D 则只有甲同学说的话对 故获得一等奖的作品是 B 16 已知ABC 中 2 7sin4sinBAAC 则cos A 16 答案 11 4 解析 在ABC 中 由7sin4sinAC 及正弦定理可得74ac 即 7 4 ca 因为2BA 所以sinsin22sincosBAAA 结合正弦定理得 sin cos 2sin2 Bb A Aa 又 2222222 497493 2cos2 1642164 b abcbcAbabaab a 22 1111 42 baba 11 cos 24 b A a 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考 生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 已知 n a是各项都为正数的数列 其前n项和为 n S 且 n S为 n a与 1 n a 的等差中项 1 求数列 n a的通项公式 2 设 1 n n n b a 求 n b的前n项和 n T 17 解析 1 由题意知 1 2 nn n Sa a 即 2 21 nnn S aa 当1n 时 由 式可得 1 1S 当2n 时 1nnn aSS 代入 式 得 2 11 2 1 nnnnn SSSSS 整理得 22 1 1 nn SS 所以数列 2 n S是首项为 1 公差为 1 的等差数列 2 11 n Snn 因为 n a各项均为正数 所以 n Sn 4 分 所以 1 1 2 nnn aSSnnn 又 11 1aS 也符合上式 1 n ann 6 分 2 1 1 1 1 1 nn n n n bnn ann 当n为奇数时 1 21 32 12 1 n Tnnnnn 当n为偶数时 1 21 32 12 1 n Tnnnnn 所以 n b的前n项和为 1 n n Tn 12 分 18 本小题满分 12 分 等边三角形ABC的边长为 3 点 D E分别是边 AB AC上的点 且满足 1 2 ADCE DBEA 如图甲 将 ADE 沿DE折起到 1 ADE 的位置 使二面角 1 ADEB 为直二面角 连接 11 AB AC 如图乙 1 求证 BD 平面 1 ADE 2 在线段BC上是否存在点P 使平面 1 PAE与平面 1 ABD所成的角为60 若存在 求出PB的长 若不存在 请说明理由 A BC D E E C B D A1 甲甲乙乙 18 解析 1 因为等边三角形ABC的边长为 3 且 1 2 ADCE DBEA 所以1 2ADAE 在ADE 中 60DAE 由余弦定理得 222 122 1 2 cos603DE 从而 222 ADDEAE 所以ADDE 即BDDE 2 分 因为二面角 1 ADEB 是直二面角 所以平面 1 ADE 平面BCED 又平面 1 ADE 平面 BCDEDE BDDE 所以BD 平面 1 ADE 6 分 2 存在 由 1 的证明可知 1 BD DA DE两两垂直 以D为坐标原点 分别以 1 DB DE DA所在的直线为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 设2PBa 作PHBD 于点H 连接 11 AH AP PE 则 3 2BHa PHa DHa 所以 1 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 3 0 DAPaaE 所以 11 2 3 1 0 3 1 APaaAE 显然平面 1 ABD的一个法向量为 0 1 0 m 设 nx y z 为平面 1 PAE的一个法向量 由 1 1 2 30 30 n APa xayz n AEyz 得 3 2 3 1 0 zy a xay 取2ya 则3 1 xa 3 2 za 3 1 2 3 2 naaa 8 分 所以 22222 221 cos60cos 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 m n aa m n mnaaaaa 222 3 1 4 2 4 2 aaa 解得1a 所以存在点P 且2PB 使平面 1 PAE与平面 1 ABD所成的角为60 12 分 E C B D A1 x y z P 19 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的离心率为 2 2 点 0 1 P在短轴CD上 且1PC PD 1 求椭圆E的方程 2 过点P的直线l与椭圆E交于 A B两点 若 1 2 PBAP 求直线l的方程 19 1 由题意知 2 2 c e a 得22acb 不妨取 0 0 CbDb 则 22 1 1 11 2 2PC PDbbbba 所以椭圆E的方程为 22 1 42 xy 4 分 2 当直线l的斜率不存在时 1 0 21 0 21 2 PBAPPBAP 不符合题意 6 分 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为1ykx 设 1122 A x yB xy 联立方程得 22 1 42 1 xy ykx 整理得 22 12 420kxkx 由根与系数的关系 得 1212 22 42 1212 k xxx x kk 8 分 由 1 2 PBAP 得 221121 11 1 1 22 xyxyxx 2 11 22 84 1212 kk xx kk 解得 2 114 1414 kk 所以直线l的方程为 14 1 14 yx 12 分 20 本小题满分 12 分 已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 1 3 某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试 验 每次试验种一粒种子 每次试验结果相互独立 假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的 如果 种子没有发芽 则称该次试验是失败的 1 第一小组做了四次试验 求该小组恰有两次失败的概率 2 第二小组做了四次试验 设试验成功与失败的次数的差的绝对值为 X 求 X 的分布列及数学期望 3 第三小组进行试验 到成功了四次为止 在第四次成功之前共有三次失败的前提下 求恰有两次连 续失败的概率 20 解析 1 该小组恰有两次失败的概率 22 2 4 12248 338127 PC 3 分 2 由题意可知X的取值集合为 0 2 4 则 22 2 4 12248 0 338127 P XC 33 13 44 121232840 2 33338181 P XCC 44 2116 117 4 338181 P X 7 分 故 X 的分布列为 X 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 84017148 024 27818181 E X 即所求的数学期望为148 81 9 分 3 由题意可知 在第四次成功之前共有三次失败的前提下 共有 3 6 20C 个 基本事件 而满足恰 有两次连续失败的基本事件共有 2 4 12A 个 从而由古典概型可得所求概率 123 205 P 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 x f xxexaxb 曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程为4230 xy 1 求 a b的值 2 证明 lnf xx 21 解析 1 1 2 x fxxeaa 由题意知 0 12 3 0 2 fa fb 解得 3 1 2 ab 4 分 2 由 1 知 2 3 2 x f xxexx 设 2 ln x h xxexxx 则只需证明 3 2 h x 2 121 1 21 1 1 21 1 1 1 2 xxxx xxxx h xxexxexexe xxxx 设 1 2 x g xe x 则 2 1 0 x g xeg x x 在 0 上单调递增 11 34 11 240 230 43 gege 存在 0 1 1 4 3 x 使得 0 0 0 1 20 x g xe x 且当 0 0 xx 时 0 0 g xh xh x 单调递减 当 0 xx 时 0 0 g xh xh x 单调递增 0 2 min00000 ln x h xh xx exxx 由 0 0 1 20 x e x 得 0 0 1 2 x e x 22 00000000 0 1 2ln1 lnh xxxxxxxx x 9 分 设 2 1 1 1 ln 4 3 xxxx x 则 1 21 1 21 xx xx xx 所以当 1 1 4 3 x 时 0 xx 在 1 1 4 3 上单调递减 2 00 111173 1 lnln3 333392 h xx 因此 3 2 h x 即 lnf xx 12 分 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所作的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在直角坐标系中 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线 2 sin2 cos Ca 0 a 过点 2 4 P 的直线 2 2 2 2 4 2 xt l yt t为参数