专题24以几何体为载体的应用题版.doc

专题24 以几何体为载体的应用题在江苏高考的试题中,应用题是每年必考的题型,应用题主要体现了学生运用数学知识解决实际问题的能力.近几年来应用题以几何背景呈现的居多,特别是一些几何体如直棱柱、圆锥、圆柱、球等简单的几何体的面积或体积有关.因此,在复习中要特别重视以几何题为背景的函数应用题.解决此类问题的关键明确各个量之间的关系,运用立体几何的知识点求出各种量,然后表示出面积、体积建立目标函数.1、 例题选讲题型一、多面体有关的应用题例1、(2019苏州三市、苏北四市二调)一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H,M.已知HM5 m,BC10 m,梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH.(1) 求屋顶面积S关于的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k为正的常数),下部主体造价与其高度成正比,比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅,试问：当为何值时,总造价最低？ (1)先通过线面垂直得到FHHM,放在RtFHM中,求出FM,根据三角形的面积公式求出FBC的面积,根据已知条件就可以得到所求S关于的函数关系式(2)先求出主体高度,进而建立出别墅总造价y关于的函数关系式,再通过导数法求函数的最小值(1)规范解答 由题意FH平面ABCD,FMBC,又因为HM平面ABCD,得FHHM.(2分)在RtFHM中,HM5,FMH,所以FM.(4分)因此FBC的面积为10.从而屋顶面积S2SFBC2S梯形ABFE222.2.所以S关于的函数关系式为S.(6分)(2)在RtFHM中,FH5tan,所以主体高度为h65tan.(8分)所以别墅总造价为ySkh16kkk96k80k96k.(10分)记f(),0,所以f(),令f()0,得sin,又0,所以.(12分)列表：f()0f()所以当时,f()有最小值答：当为时,该别墅总造价最低(14分) 理解题意,建立出函数的关系式,是处理最优解类型应用问题的关键,第(1)问,抓住条件”梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍”,只要用表示出FBC面积,即可得到屋顶面积第(2)问,需要先设出总造价为y元,抓住已知条件,求出主体高度并结合第(1)问中求得的屋顶面积,就可以建立函数关系式题型二、与球、圆有关的应用题例2、(2018苏北四市期末)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1,为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180而成,如图2,已知圆O的半径为10 cm,设BAO,0,圆锥的侧面积为S cm2.(1) 求S关于的函数关系式；(2) 为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大,求S取得最大值时腰AB的长度(图1)(图2) (1) 母线长l是OA在AB上的射影的两倍,可用表示底面半径r是l在底面上的射影,可用l和表示从而Srl可用表示；(2) 求导数,找导函数的零点,列表确定极大值,唯一的极大值也是最大值规范解答 (1) 设AO交BC于点D,过O作OEAB,垂足为E.在AOE中,AE10cos,AB2AE20cos.(2分)在ABD中,BDABsin20cossin,(4分)所以S220sincos20cos400sincos2.(6分)(2) 由(1)得S400sincos2400(sinsin3)(8分)令xsin(0x,所以4x2,即x,所以44x2.答：四根木条总长的取值范围为.(6分)(2) 解法1 设AB所在的木条长为am,则BC所在的木条长为(3a)m.因为a(0,2),3a(0,2),所以a(1,2)(8分)S矩形ABCD4 ,(11分)设f(a)a46a3a224a20,则f(a)4a318a22a242(a1)(2a3)(a4),令f(a)0,得a或a1(舍去)或a4(舍去)(14分)列表如下：af(a)0f(a)极大值所以当a时,f(a)maxf,即Smax.答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分)解法2 设AB所在的木条长为am,BC所在的木条长为bm.由条件知,2a2b6,即ab3.因为a,b(0,2),所以b3a(0,2),从而a,b(1,2)(8分)由于AB2,BC2,S矩形ABCD4,(10分)因为,(14分)当且仅当ab(1,2)时,S矩形ABCD.答：窗口ABCD面积的最大值为 m2.(16分) 第(1)问中,最容易出错的地方是忽略“四根木条将圆分成9个区域”这一条件,从而导致变量的取值范围出错 本题的本质是直线与圆的位置关系问题,第(1)问是由圆心到直线的距离的要求来求弦长的范围；而第(2)问是已知弦长的要求来求圆心到直线的距离的范围,弄清这一本质,问题就很容易求解4、为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧,顶点为水渠最底端(如图),渠宽为4m,渠深为2m（1） 考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填土,使其成为横断面为等腰梯形的新水渠,新水渠底面与地面平行(不改变渠宽),问新水渠底宽为多少时,所填土的土方量最少？（2） 考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽解析：建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的方程为,由已知点在抛物线上,得,所以抛物线的方程为. (1)为了使填入的土最少,内接等腰梯形的面积要最大,设点, 则此时梯形APQB的面积 , ,令,得,当时,单调递增,当时, 单调递减,所以当时,有最大值,改挖后的水渠的底宽为m时,可使填土的土方量最少. （2） 为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,设切点,则函数在点M处的切线方程为, 分别令得,所以梯形OABC的面积, 当且仅当时,等号成立,此时.所以设计改挖后的水渠的底宽为m时,可使挖土的土方量最少. 5、一个帐篷的形状如图,下部分是高为1m的正六棱柱,上部分是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?解析 设OO1为xm,则