高考数学复习全套课件 第八章第二节双曲线ppt课件

掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 1 双曲线的定义 1 第一定义平面内与两个定点F1 F2的距离的等于常数2a 2a F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 2 第二定义平面内与一个定点F和一条的距离的比是常数e e 1 的动点C的轨迹叫做双曲线 差的绝对值 定直线l F不在l上 思考探究1 在双曲线的第一定义中 如果常数2a F1F2 2a F1F2 2a 0时 则动点M的轨迹是什么 提示 如果2a F1F2 则M的轨迹是以F1 F2为端点的两条射线 如果2a F1F2 则轨迹不存在 如果2a 0 则M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 2 双曲线的标准方程和几何性质 如下表所示 2c 2c c 0 c 0 0 c 0 c x a y R y a x R x轴 y轴 原点 a 0 a 0 0 a 0 a A1A2 B1B2 2a 2b e 1 ex1 a ex1 a ex1 a ex1 a ey1 a ey1 a ey1 a ey1 a 思考探究2 双曲线的离心率的大小与双曲线 开口 大小有怎样的关系 提示 离心率越大 双曲线的 开口 越大 1 双曲线 1的焦距为 A 3B 4C 3D 4 解析 由已知得c2 a2 b2 12 c 2 故焦距为4 答案 D 2 已知双曲线的离心率为2 焦点是 4 0 4 0 则双曲线方程为 A 1B 1C 1D 1 解析 由已知有c 4 e 2 a 2 b2 12 双曲线方程为 1 答案 A 3 过双曲线x2 y2 8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上 若 PQ 7 F2是双曲线的右焦点 则 PF2Q的周长是 A 28B 14 8C 14 8D 8 解析 由双曲线定义知 PF2 PF1 4 QF2 QF1 4 PF2 QF2 PF1 QF1 8 又 PF1 QF1 PQ 7 PF2 QF2 7 8 PF2Q的周长为14 8 答案 C 4 已知双曲线 y2 1 则其渐近线方程是 离心率e 解析 由 y2 0 得y x即为渐近线方程 又a 2 b 1 c e 答案 y x 5 若双曲线的渐近线方程为y 3x 它的一个焦点是 0 则双曲线方程是 解析 由条件知 双曲线焦点在x轴上 且c 又 3 c2 a2 b2 10a2 10 a2 1 b2 9 双曲线方程为x2 1 答案 x2 1 1 在运用双曲线的定义时 应特别注意定义中的条件 差的绝对值 弄清是指整条双曲线 还是双曲线的哪一支 2 求双曲线标准方程的方法 1 定义法 根据题目的条件 若满足定义 求出相应a b c即可求得方程 2 待定系数法 待定系数法的步骤定位 确定焦点位置 设方程 由焦点位置设方程 定值 根据条件确定相关参数 待定系数法求双曲线方程的常用方法 与双曲线 1共渐近线的可设为 0 若渐近线方程为y x 则可设为 0 若过两个已知点则设为 1 mn 0 特别警示 在双曲线的标准方程中 若x2的系数是正的 那么焦点在x轴上 如果y2的系数是正的 那么焦点在y轴上 且对于双曲线 a不一定大于b 已知动圆M与圆C1 x 4 2 y2 2外切 与圆C2 x 4 2 y2 2内切 求动圆圆心M的轨迹方程 思路点拨 课堂笔记 设动圆M的半径为r 则由已知 MC1 r MC2 r MC1 MC2 2 又C1 4 0 C2 4 0 C1C2 8 2 C1C2 根据双曲线定义知 点M的轨迹是以C1 4 0 C2 4 0 为焦点的双曲线的右支 a c 4 b2 c2 a2 14 点M的轨迹方程是 1 x 若将本例中的条件改为 动圆M与圆C1 x 4 2 y2 2 及圆C2 x 4 2 y2 2 一个内切 一个外切 那么动圆圆心的轨迹方程如何 解 由例题可知 当圆M与圆C1外切与圆C2内切时 MC1 MC2 2 当圆M与圆C1内切 与圆C2外切时 MC2 MC1 2 MC1 MC2 2 C1C2 8 圆心的轨迹是以C1 4 0 C2 4 0 为焦点的双曲线 a c 4 b2 c2 a2 14 动圆圆心的轨迹方程为 1 已知双曲线的一条渐近线方程是x 2y 0 且过点P 4 3 求双曲线的标准方程 思路点拨 课堂笔记 法一 双曲线的一条渐近线方程为x 2y 0 当x 4时 y 2 yp 3 双曲线的焦点在y轴上 从而有 b 2a 设双曲线方程为 1 由于点P 4 3 在此双曲线上 1 解得a2 5 双曲线方程为 1 法二 双曲线的一条渐近线方程为x 2y 0 即 y 0 双曲线的渐近线方程为 y2 0 设双曲线方程为 y2 0 双曲线过点P 4 3 32 即 5 所求双曲线方程为 y2 5 即 1 1 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 六点 两个焦点 两个顶点 两个虚轴的端点 四线 两条对称轴 两条渐近线 两形 中心 焦点以及虚轴端点构成的三角形 双曲线上一点和两焦点构成的三角形 研究它们之间的相互联系 2 在双曲线的几何性质中 应充分利用双曲线的渐近线方程 简化解题过程 同时要熟练掌握以下三方面内容 1 已知双曲线方程 求它的渐近线 2 求已知渐近线的双曲线的方程 3 渐近线的斜率与离心率的关系 如k 双曲线 1 a 1 b 0 的焦距为2c 直线l过点 a 0 和 0 b 且点 1 0 到直线l的距离与点 1 0 到直线l的距离之和s c 求双曲线的离心率e的取值范围 思路点拨 课堂笔记 直线l的方程为 1 即bx ay ab 0 由点到直线的距离公式 且a 1 得点 1 0 到直线l的距离d1 同理可得点 1 0 到直线l的距离d2 s d1 d2 又s c得 c 即5a 2c2 于是得 5 2e2 即4e4 25e2 25 0 解得e2 5 又e 1 e的范围是e 1 直线与双曲线的位置关系设双曲线方程 1 a 0 b 0 直线Ax By C 0 将直线方程与双曲线方程联立 消去y得到关于x的方程mx2 nx p 0 1 若m 0 当 0时 直线与双曲线有两个交点 当 0时 直线与双曲线只有一个公共点 当 0时 直线与双曲线无公共点 2 若m 0 直线与双曲线只有一个公共点 此时直线与双曲线的渐近线平行 2 与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题 常采用解方程组的思想方法 转化为判别式进行 与弦长有关的问题 常常利用根与系数关系 以整体代入的方法求解 这样可以避免求交点 使运算过程得到简化 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 2 0 实轴长为2 1 求双曲线的方程 2 若直线l y kx 与双曲线C左支交于A B两点 求k的取值范围 3 在 2 的条件下 线段AB的垂直平分线l0与y轴交于点M 0 m 求m的取值范围 思路点拨 课堂笔记 1 设双曲线C的方程为 1 a 0 b 0 由已知得 a c 2 再由a2 b2 c2 b2 1 双曲线C的方程为 y2 1 2 设A xA yA B xB yB 将y kx 代入 y2 1 得 1 3k2 x2 6kx 9 0 由题意知解得 k 1 当 k 1时 l与双曲线左支有两个交点 3 由 2 得 xA xB yA yB kxA kxB k xA xB 2 AB的中点P的坐标为 设直线l0的方程为 y x m 将P点坐标代入直线l0的方程 得m k 1 2 1 3k2 0 m 2 m的取值范围为 2 双曲线和椭圆一样 都是解析几何的重要组成部分 双曲线的定义 标准方程和几何性质都是每年高考的重点内容 09年重庆高考中将双曲线几何性质与三角函数 不等式融为一体 考查了学生对数学知识的迁移 组合能力以及综合运用所学知识分析 解决问题的能力 是一个新的考查方向 考题印证 2009 重庆高考 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为F1 c 0 F2 c 0 若双曲线上存在点P使 则该双曲线的离心率的取值范围是 解析 由正弦定理得 PF1 e PF2 又 PF1 PF2 2a e 1 e 1 PF2 2a PF2 由双曲线性质知 PF2 c a c a 即 e 1 得e2 2e 11 得1 e 1 答案 1 1 自主体验 已知点P是双曲线 1 a 0 b 0 右支上一点 F1 F2分别为双曲线的左 右焦点 I为 PF1F2的内心 若成立 则 的值为 A B C D 解析 设 PF1F2的内切圆半径为R S PF1 R S PF2 R S F1F2 R PF1 PF2 F1F2 PF1 PF2 F1F2 答案 B A B C D 1 2010 合肥摸拟 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线的方程为4x 3y 0 则此双曲线的离心率为 解析 因为双曲线 1的一条渐近线的方程为4x 3y 0 所以 故双曲线的离心率e 答案 D 2 若双曲线 1 a 0 b 0 的右支上存在一点 它到右焦点及左准线的距离相等 则双曲线离心率的取值范围是 A 1 B C 1 1 D 1 解析 设右支上一点P x0 y0 P到左准线距离为 x0 P到右焦点距离为ex0 a x0 ex0 a x0 a a e2 2e 1 0 解得1 e 1 又 e 1 1 e 1 答案 C 3 双曲线 y2 1 n 1 的两焦点为F1 F2 P在双曲线上 且满足 PF1 PF2 2 则 PF1F2的面积为 A 1B C 2D 4 解析 不妨设 PF1 PF2 则 PF1 PF2 2 又 PF1 PF2 2 PF1 PF2 又 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 S PF1 PF2 1 答案 A 4 过点 2 2 且与双曲线 y2 1有公共渐近线的双曲线方程是 解析 由题意 设双曲线方程为 y2 0 由点 2 2 在双曲线上 4 2 所求双曲线方程为 1 答案 1 5 P为双曲线x2 1右支上一点 M N分别是圆 x 4 2 y2 4和 x 4 2 y2 1上的点 则 PM PN 的最大值为 解析 双曲线的两个焦点为F1 4 0 F2 4 0 为两个圆的圆心 半径分别为r1 2 r2 1 PM max PF1 2 PN min PF2 1 故 PM PN 的最大值为 PF1 2 PF2 1 PF1 PF2 3 5 答案 5 6 直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1相交于A B两点 O为坐标原点 1 若 0 求a的值 2 若A B在双曲线的左 右两支上 求a